§ 28 Multilineare und Alternierende Abbildungen
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§ 28 Multilineare und Alternierende Abbildungen. Auf dem Wege zum Begriff der Determinante:. (28.1) Definition: V und W seien wieder K-Vektorräume. Eine Abbildung.

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28 multilineare und alternierende abbildungen

§ 28 Multilineare und Alternierende Abbildungen

Auf dem Wege zum Begriff der Determinante:

(28.1) Definition: V und W seien wieder K-Vektorräume.

Eine Abbildung

heißt multilinear, wenn sie in jedem Argument linear ist, dh. wenn für feste v1, v2, ... , vj-1, vj+1, ... , vp aus V die Abbildung

von V nach W stets linear ist.

Man spricht stattdessen auch von p-linear, wenn die Anzahl p der Faktoren betont werden soll, so zum Beispiel von bilinear oder 2-linear, trilinear, 5-linear, etc.

Der Begriff der Multilinearität gibt auch Sinn für Abbildungen


Kapitel v 28

Kapitel V, § 28

Wichtiger Fall für die Einführung von Tensoren:

(28.1) Beispiele:

1o Lineare Abbildungen sind 1-linear.

2o Bilinearformen, wie in § 25 studiert. Das Kreuzprodukt

ist auch bilinear. Und auch die in § 26 eingeführte Determinante.

3o Hier eine Trilinearform:

mit ελμν wie oben.

4o Es seien p Linearformen f1, f2, ... , fp auf V gegeben.

Dann ist das Produkt

stets p-linear.


Kapitel v 281

Kapitel V, § 28

5o V habe die geordnete Basis b = (b1,b2, ... ,bn) . Dann hat jede p-lineare Abbildung

die Form

mit den eindeutig bestimmten

So lassen sich p-lineare Abbildungen also definieren!

30.01.02 

Eine p-lineare Abbildung lässt sich im Fall V = Kn auch verstehen als Abbildung von Kpxn nach W .

Das ist (mit W = K) der Blickpunkt, der für die Determinanten eingenommen wird.

Für die Determinante von (2,2)-Matrizen (§ 26) gilt aber zusätzlich: Sie ist alternierend!

(28.3) Definition: Eine p-lineare Abbildung φvon Vp nach W ist alternierend (oder antisymmetrisch), wenn stets

für Vektoren v1,v2, ... ,vn aus V und j < k .


Kapitel v 282

Kapitel V, § 28

(28.4) Satz: K sei Körper der Charakteristik ungleich 2 . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent für eine p-lineare Abbildung

1o φ ist alternierend.

2o Für alle v1,v2, ... ,vp aus V ist φ(v1,v2, ... ,vp) = 0 , wenn

vj = vk für ein Paar (j,k), j < k .

3o Für alle v1,v2, ... ,vp aus V und für j < k ist stets

φ(v1,v2, ... , vj, ... ,vp) = φ(v1,v2, ... , vj + vk, ... ,vp) .

4o Für alle v1,v2, ... ,vp aus V und sk aus K mit sj = 0 ist stets

φ(v1,v2, ... , vj, ... ,vp) = φ(v1,v2, ... , vj + skvk, ... ,vp) .

5o Für alle v1,v2, ... ,vp aus V mit rg(v1,v2, ... ,vp) < p ist φ(v1,v2, ... ,vp) = 0 .

6o Für alle v1,v2, ... ,vp aus V ist φ(v1,v2, ... ,vp) = 0 , wenn

vj = vj+1 für ein j < p .


Kapitel v 283

Kapitel V, § 28

7o Für alle v1,v2, ... ,vp aus V und j < p ist

φ(v1,v2, ... ,vj, vj+1, ... ,vp) = – φ(v1,v2, ... ,vj+1, vj, ... ,vp) .

8o Für alle v1,v2, ... ,vp aus V und jede Permutation σ aus Sp gilt

φ(v1,v2,... ,vp) = sgn(σ)φ(vσ(1),vσ(2), ... ,vσ(p)) .

 28.01.02

Zusatz: Für allgemeine Körper sind 1o, 7o und 8o zueinander äquivalent und ebenso 2o, 3o, 4o, 5o, 6o . Ferner folgt 1o, 7o bzw. 8o aus 2o, 3o, 4o, 5o oder 6o .

(28.5) Folgerung: Einen-lineare und alternierende Abbildung

auf einem Vektorraum der Dimension n mit Basis b ist von der Form

Dabei ist φ0 = φ(b1,b2, ... ,bn) aus W ( char(K) nicht Null).


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