Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia

1. Universidade Federal do ParáInstituto de Tecnologia Estatística AplicadaI Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes Campus de Tucuruí – CTUC Curso de Engenharia Mecânica ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades

2. Universidade Federal do ParáInstituto de Tecnologia Capítulo IV Modelos de Distribuições Campus de Tucuruí – CTUC Curso de Engenharia Mecânica ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

3. IV – Modelos de Distribuições • Introdução • Distribuições teóricas discretas • Distribuições teóricas contínuas ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

4. IV – Modelos de Distribuições • Introdução • Distribuições teóricas discretas • Distribuições teóricas contínuas ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

5. 4.1 Introdução • Existem variáveis aleatórias que têm uma função de distribuição pertencente a uma classe de distribuições teóricas. • As distribuições teóricas, como o próprio nome indica, foram submetidas a estudos prévios e têm propriedades conhecidas; portanto, podem servir como modelo em determinadas situações em que a distribuição esteja identificada, poupando tempo na análise do problema estudado. ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

6. 4.1 Introdução • As distribuições teóricas que aqui serão estudadas são: • Caso discreto • Distribuição binomial • Distribuição hipergeométrica • Distribuição de Poisson • Caso contínuo • Distribuição uniforme • Distribuição exponencial • Distribuição normal • Distribuição qui-quadrado • Distribuição t de Student • Distribuição F ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

7. IV – Modelos de Distribuições • Introdução • Distribuições teóricas discretas • Distribuições teóricas contínuas ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

8. A prova de Bernoulli é uma experiência aleatória que serve de base a várias distribuições teóricas (distribuição binomial, distribuição binomial negativa e distribuição geométrica). • Consideremos uma experiência aleatória na qual existem apenas dois acontecimentos em que estamos interessados: o acontecimento A que será designado por sucesso e o acontecimento contrário, , que será designado por falha. O sucesso ocorre com probabilidade p, e o insucesso com probabilidade q = 1− p . 4.2 Distribuições Teóricas Discretas • Prova de Bernoulli ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

9. O espaço de resultados está assim particionado em dois acontecimentos em que: 4.2 Distribuições Teóricas Discretas • Prova de Bernoulli • A uma experiência aleatória com estas características dá-se o nome de prova de Bernoulli. ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

10. 4.2 Distribuições Teóricas Discretas • Prova de Bernoulli • Principais características: ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

11. 4.2 Distribuições Teóricas Discretas • Prova de Bernoulli • Sucessão de provas de Bernoulli: Defini-se como o processo caracterizado por repetidas provas que têm lugar nas seguintes condições: • Cada prova resultem em somente dois resultados possíveis, designados como “sucesso” e “falha”. • A probabilidade de um sucesso em cada prova, designada por p, permaneça constante. A probabilidade de falha designa-se por q = 1− p. • As provas sejam independentes, isto é, os resultados obtidos numa sequência de provas não influenciam os resultados da(s) provas(s) subsequente(s). ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

12. 4.2 Distribuições Teóricas Discretas • Distribuição binomial • Trata-se de uma distribuição de probabilidade adequada aos experimentos que apresentam apenas dois resultados: sucesso ou falha. • Este modelo fundamenta-se nas seguintes hipóteses: • H1. n provas independentes e do mesmo tipo são realizadas; • H2. cada prova admite apenas dois resultados – sucesso ou falha; • H3. a probabilidade de sucesso é p e de falha é 1 – p = q. ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

13. 4.2 Distribuições Teóricas Discretas • Distribuição binomial • Considerando-se uma sucessão de nprovas de Bernoulli, a variável aleatória que representa o número de sucessos obtidos nessas nprovas de Bernoulli tem distribuição binomial. • Avariável aleatória X, que é igual ao número de provas que resultam em um sucesso, tem uma distribuição binomial com parâmetros p e n em que 0 < p < 1 e n = {1, 2, 3, ..., n}. • A função de probabilidade de X é ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

14. 4.2 Distribuições Teóricas Discretas • Distribuição binomial • Principais características: • De acordo com as hipóteses, observa-se que X é a soma de n variáveis do tipo “Bernoulli”, daí ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

15. 4.2 Distribuições Teóricas Discretas • Distribuição binomial • Exemplo: Cada amostra de ar tem 10% de chance de conter uma certa molécula rara. Considere que as amostras sejam independentes em relação à presença da molécula rara. Encontre a probabilidade de que, nas próximas 18 amostras, exatamente 2 contenham a molécula rara. • Seja X = número de amostras de ar que contenham a molécula rara nas próximas amostras analisadas (sucessos); então, X é a variável aleatória binomial com p = 0,1 e n = 18. Assim, ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

16. 4.2 Distribuições Teóricas Discretas • Distribuição binomial • Exemplo: Determine a probabilidade de que no mínimo 4 amostras contenham a molécula rara. • Neste caso, a probabilidade requerida é ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

17. 4.2 Distribuições Teóricas Discretas • Distribuição binomial • Exemplo: Determine a probabilidade de que o número de amostras que contenham a molécula rara esteja entre 3 e 6. • Neste caso, a probabilidade requerida é ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

18. 4.2 Distribuições Teóricas Discretas • Distribuição hipergeométrica • Suponhamos que temos um conjunto de N elementos e que M destes elementos têm uma certa característica em que estamos interessados (sucesso); logo os outros N-M elementos não têm essa característica. • Ao retirarmos n elementos do conjunto inicial de N elementos (retirar de forma aleatória e sem reposição) consideremos X a variável aleatória que representa o número de elementos que são retirados e que têm a característica em que estamos interessados. • A variável aleatória definida nas condições anteriores tem distribuição hipergeométrica com parâmetros N, M e n. ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

19. 4.2 Distribuições Teóricas Discretas • Distribuição hipergeométrica • A probabilidade da variável aleatória assumir o valor x é dada por: • Demonstra-se que se a variável aleatória X tem distribuição hipergeométrica com parâmetros N, M e n, então: ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

20. 4.2 Distribuições Teóricas Discretas • Distribuição hipergeométrica • Exemplo: Na produção de 1000 parafusos em uma máquina A foi observado que 100 apresentam algum tipo de defeito. Como vão ser utilizados 10 parafusos de cada vez, determine a probabilidade de todos serem perfeitos. • Neste caso, N = 1000, M = 100 e n = 10, a probabilidade requerida, portanto, será: ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

21. 4.2 Distribuições Teóricas Discretas • Distribuição de Poisson • A distribuição de Poisson (que deve o seu nome ao físico francês Simon Poisson) está associada a um grande conjunto de situações práticas cujos alguns exemplos são os seguintes: • Número de mensagens que chegam em um servidor no intervalo de uma hora. • Número de partículas defeituosas em um cm3 de volume de um certo líquido. • Número de defeitos em um metro de comprimento, de um fio produzido por uma máquina têxtil. ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

22. 4.2 Distribuições Teóricas Discretas • Distribuição de Poisson • Todos os exemplos apresentados têm uma característica comum: a variável aleatória em estudo representa o número de ocorrências de um certo evento ao longo de um intervalo (tempo, comprimento, área ou volume). • Os valores que a variável aleatória pode assumir são valores inteiros não negativos: 0, 1, ..., n,... . ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

23. 4.2 Distribuições Teóricas Discretas • Distribuição de Poisson • Outras características que identicam uma distribuição de Poisson são: • O número de ocorrências em intervalos não sobrepostos são variáveis independentes. • A probabilidade de um certo número de ocorrências se verificar é a mesma para intervalos da mesma dimensão; isto é, a probabilidade depende apenas da amplitude do intervalo e não da posição em que se situa nesse intervalo. • As ocorrências do fenômeno descrito verificam-se uma a uma e nunca em grupos. ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

24. 4.2 Distribuições Teóricas Discretas • Distribuição de Poisson • Se o número médio de ocorrências no intervalo em estudo for λ > 0, a variável aleatória X, que é igual ao número de ocorrências no intervalo, terá uma distribuição de Poisson, com parâmetro λ, sendo a função de distribuição de X dada por • Características: ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

25. 4.2 Distribuições Teóricas Discretas • Distribuição de Poisson • Exemplo: Mensagens chegam a um servidor de computadores de acordo com a distribuição de Poisson, com uma taxa média de 10 por hora. • Qual a probabilidade de 3 mensagens chegarem em 1 hora? • Qual a probabilidade de 6 mensagens chegarem em 30 minutos? ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

26. 4.2 Distribuições Teóricas Discretas • Distribuição de Poisson • Exemplo: • Seja X a representação do número de mensagens em 1 hora. Então E(X) = 10.1 = 10 mensagens e • Seja X a representação do número de mensagens em 30 minutos (0,5 hora). Então E(X) = 10.0,5 = 5 mensagens e ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

27. IV – Modelos de Distribuições • Introdução • Distribuições teóricas discretas • Distribuições teóricas contínuas ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

28. 4.3 Distribuições Teóricas Contínuas • Distribuição uniforme • Consideremos uma variável aleatória contínua, cujos valores podem ocorrer dentro dum intervalo limitado (aberto ou fechado) (a,b). Se quaisquer dois subintervalos de igual amplitude têm a mesma probabilidade, então a variável aleatória tem distribuição uniforme. • Diz-se que a variável aleatória contínua X tem distribuição uniforme no intervalo (a,b) se a sua função de densidade de probabilidade for dada por: ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

29. 4.3 Distribuições Teóricas Contínuas • Distribuição uniforme • Os parâmetros caracterizadores desta distribuição são a e b, que satisfazem a condição −∞ < a < b < +∞. • Sua função de distribuição cumulativa F(x) é dada por: • Características: Se a variável aleatória X tem distribuição uniforme no intervalo (a,b) então: ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

30. 4.3 Distribuições Teóricas Contínuas • Distribuição uniforme • Exemplo: Um ponto é escolhido ao acaso no segmento de reta (0,2). Qual a probabilidade de que este ponto esteja entre 1 e 1,5? • Seja X a representação da variável escolher um ponto de (0,2). A função densidade de probabilidade de X é dada por: Então: ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

31. 4.3 Distribuições Teóricas Contínuas • Distribuição Exponencial • A distribuição exponencial está intimamente ligada à distribuição de Poisson. Se o número de ocorrências de um certo acontecimento segue uma distribuição de Poisson, a “medida de espaço” entre duas ocorrências consecutivas ou a “medida de espaço” até à primeira ocorrência segue uma distribuição exponencial. • A distribuição exponencial é também usualmente utilizada na descrição do tempo de vida de aparelhos, de organismos etc. (lei de falhas exponencial). • A distribuição de probabilidade de um intervalo entre dois sucessos consecutivos de uma lei de Poisson é a distribuição exponencial. ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

32. 4.3 Distribuições Teóricas Contínuas • Distribuição Exponencial • Sua função densidade de probabilidadea é dada por onde λ é o parâmetro caracterizador da distribuição, sendo λ > 0. • Características: ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

33. f(x) λ x 0 4.3 Distribuições Teóricas Contínuas • Distribuição Exponencial • O gráfico de f(x) é dado por: • Função distribuição cumulativa: ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

34. f(x) λ x 0 e-λxo xo 4.3 Distribuições Teóricas Contínuas • Distribuição Exponencial • Conhecida a função distrbuição cumulativa de x, pode-se facilmente determinar ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

35. 4.3 Distribuições Teóricas Contínuas • Distribuição Exponencial • Exemplo:Os defeitos de um tecido seguem a distribuição de Poisson com média de um defeito a cada 400 m de tecido. Qual a probabilidade de que o intervalo entre dois defeitos consecutivos seja: • No mínimo de 1000 m; • Entre 800 e 1000 m. • Calcule a média e a variância. ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

36. 4.3 Distribuições Teóricas Contínuas • Distribuição Exponencial • Exemplo: • Sabe-se que na distribuição de Poisson E(x) = λt, então: ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

37. 4.3 Distribuições Teóricas Contínuas • Distribuição Normal • É a mais importante distribuição de probabilidade, sendo aplicada em inúmeros fenômenos e utilizada para o desenvolvimento teórico da estatística. • A grande maioria das variáveis aleatórias contínuas que descrevem processos físicos ou características humanas seguem uma distribuição normal. Algumas vezes, as variáveis aleatórias não seguem uma distribuição normal, mas aproximam-se muito desta. Por outro lado, a distribuição normal desempenha um papel crucial na inferência estatística. • É também conhecida como distribuição de Gauss, Laplace ou Laplace-Gauss ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

38. 4.3 Distribuições Teóricas Contínuas • Distribuição Normal • Seja X uma variável aleatória contínua, X terá uma distribuição normal se • onde μ e σ são os parâmetros caracterizadores da distribuição. • Se a variável aleatória X tem distribuição normal então: • A notação N(μ,σ2) é frequentemente usada para denotar uma distribuição normal, com média μ e variância σ2. ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

39. 4.3 Distribuições Teóricas Contínuas • Distribuição Normal • Quando se utiliza a distribuição normal na forma como se apresenta, para o cálculo das probabilidades, surgem dois problemas: • A integração de f(x) fica difícultada, pois para o cálculo é necessário o desenvolvimento da função em série; • A elaboração de uma tabela de probabilidades única inexiste, pois como f(x) depende de dois parâmetros, isto acarreta um grande trabalho para tabelar essas propriedades considerando-se as várias combinações de μ e σ2. ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

40. 4.3 Distribuições Teóricas Contínuas • Distribuição Normal • Esses problemas podem ser contornados por meio de uma mudança de variável, obtendo-se, assim, a distribuição normal padronizada ou reduzida. • Distribuição normal padrão: • Seja Z uma variável aleatória tal que: em que X é uma variável normal de média μ e variância σ2. ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

41. 4.3 Distribuições Teóricas Contínuas • Distribuição Normal • Distribuição normal padrão: • A média e a variância de Z serão: • Logo, a função densidade de probabilidade será: • Como a média de Z é 0 e a variância 1, as probabilidades podem ser facilmente calculadas e tabeladas. ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

42. f(x) φ(z) μ 0 4.3 Distribuições Teóricas Contínuas • Distribuição Normal • Propriedades da distribuição normal • f(x) é simétrica em relação à média x = μ, ou φ(z) é simétrica em relação a z = 0. ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

43. φ(z) 0,39 4.3 Distribuições Teóricas Contínuas • Distribuição Normal • Propriedades da distribuição normal • f(x) possui um máximo para x = μ, ou φ(z) possui um máximo para z = 0. ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

44. 4.3 Distribuições Teóricas Contínuas • Distribuição Normal • Propriedades da distribuição normal • f(x) tende a zero quando x tende para ± ∞, o mesmo acontecendo comφ(z) quando z tende para ± ∞; isto é, x ou z são assíntotas de f(x) ou φ(z). ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

45. μ-σ μ+σ -1 0 1 4.3 Distribuições Teóricas Contínuas • Distribuição Normal • Propriedades da distribuição normal • f(x) tem dois pontos de inflexão cujas abscissas valem μ + σ e μ – σ, da mesma forma φ(z) tem dois pontos de inflexão cujas abscissas valem +1 e –1. ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

46. 4.3 Distribuições Teóricas Contínuas • Distribuição Normal • Propriedades da distribuição normal • Em ambas as funções 99,99% dos valores da variável pertencem ao intervalo [μ - 4σ, μ + 4σ]. ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

47. (a) (b) 1 2 4.3 Distribuições Teóricas Contínuas • Distribuição Normal • Propriedades da distribuição normal • Na figura (a) estão representadas duas distribuições que têm o mesmo valor médio (μ1 = μ2), mas diferentes desvios padrões (σ1 < σ2). Na figura (b) estão representadas duas distribuições que têm o mesmo desvio padrão, mas médias diferentes. ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

48. 4.3 Distribuições Teóricas Contínuas • Distribuição Normal • Propriedades da distribuição normal • Alguns resultados úteis relativos à distribuição normal, são sumarizados na figura abaixo. Para qualquer variável aleatória normal, ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

49. 4.3 Distribuições Teóricas Contínuas • Distribuição Normal • Propriedades da distribuição normal • Pelo fato de mais de 0,9975 da probabilidade de uma distribuição normal estar dentro do intervalo (μ - 3σ, μ + 3σ), 6σ é frequentemente referida como a largura de uma distribuição normal. • A integração numérica pode ser usada para mostrar que a área sob a função densidade de probabilidade normal de – ∞ < x < ∞ é igual a 1. ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições

50. zo 4.3 Distribuições Teóricas Contínuas • Distribuição Normal • Uso da tabela de distribuição normal padrão • Existem vários tipos de tabelas que oferecem as áreas (probabilidades) sob a curva normal padrão. • Essa tabela fornece a área sob a curva normal padrão entre z = - ∞ até o valor de z considerado, ou seja, P(Z ≤ z). ESTATÍSTICA APLICADA I - Modelos de Distribuições