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COMSOL 中弱解形式的应用

COMSOL 中弱解形式的应用. 等效积分形式和等效积分弱形式（虚位移原理）. 微分方程 域内 边界上 等效积分形式 域内 边界上 等效积分弱形式. COMSOL PDE 模式. 可用于标量方程或系统 注意：系数可能会变成更高阶算子 系数形式 系数对应于常见的物理参数 ( 例如，扩散、对流等 ) 通式 很灵活和紧凑 弱形式 作为 PDE 的基础的 PDE 形式 积分形式提供更强大的灵活性 ( 例如，非标准化边界条件，边界方程耦合等 ) Lagrange 算子显式求解 与通式和系数形式相比，很少被采用. 基于弱解形式的方程式系统.

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COMSOL 中弱解形式的应用

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Presentation Transcript

  1. COMSOL中弱解形式的应用

  2. 等效积分形式和等效积分弱形式（虚位移原理）等效积分形式和等效积分弱形式（虚位移原理） • 微分方程 • 域内 • 边界上 • 等效积分形式 • 域内 • 边界上 • 等效积分弱形式

  3. COMSOL PDE模式 • 可用于标量方程或系统 • 注意：系数可能会变成更高阶算子 • 系数形式 • 系数对应于常见的物理参数 (例如，扩散、对流等) • 通式 • 很灵活和紧凑 • 弱形式 • 作为PDE的基础的PDE形式 • 积分形式提供更强大的灵活性 (例如，非标准化边界条件，边界方程耦合等) • Lagrange算子显式求解 • 与通式和系数形式相比，很少被采用

  4. 基于弱解形式的方程式系统 • 作为PDE的基础的一种PDE形式 • 应用更加灵活（例如，非标准化边界条件，边界方程耦合等） • 形式更加紧凑 • 对变量的连续性要求较低 • Lagrange算子显式求解 • 适用范围更广泛 • 适于求解非线性多物理场问题

  5. 系数形式 • 例如：Poisson方程 域内 边界上 域内 子域边界上 隐含 c=f=h=1 和所有其他系数为 0。

  6. 系数形式 源 扩散 吸收 源 对流 对流 质量 阻尼质量

  7. 系数形式，波动方程 初始/热应力 弹性力 惯性力 (重力) 阻尼质量 质量 密度 阻尼系数 应力 刚性，“弹簧常数”

  8. 系数形式，输送扩散方程 源 扩散 吸收 对流 对流 源 堆积/储存

  9. 系数形式，稳态方程

  10. 系数形式，频率响应波动方程 扩散 Helmholtz项 源 Helmholtz 方程： 波数 波长

  11. 通式－更简练的公式 • 域内 • 边界上 • Poisson方程相应的通式为 • 其他系数为 0

  12. W ¶W 弱形式 (静态) • 通式 • 乘以试函数 v 并积分 • 左侧分部积分 • 重排 • 记住对于Poisson方程： =[-ux -uy], F=1, R=u (u 约束为 0) • 在“弱”编辑框中输入上面的求解域积分-test(ux)*ux-test(uy)*uy+test(u)*F在边界上，设置约束：u

  13. 瞬态弱形式，例子 • 通式 • 乘以试函数 v 并积分 • 包含“del” 表达式的分部积分 • 重排 • 对于Poisson方程：=[-ux -uy], F=1, R=u (u 约束为 0) • 在“weak”编辑框中输入上面的积分式：-test(ux)*ux - test(uy)*uy + test(u)*F – da*test(u)*ut边界上设置约束：u

  14. 案例：输送和表面反应 • 在不同维度耦合物理场 (唯一的) • 输送2D + 吸附 1D (完全耦合) • 弱形式, 边界模式 (PDE)

  15. 控制方程 1D 吸附 2D 输送 耦合：

  16. 弱形式PDE，边界 Ds*(-test(csTx)*csTx-test(csTy)*csTy)+test(cs)*(react_surf-cst)

  17. 网格划分 (局部精细化)

  18. 结果 表面吸附率 (cs) 体积浓度 c

  19. 弹性静力学的弱形式 • PDE方程 • 乘上试函数并积分 • 分部积分 • 整理得到 域内 边界

  20. 一般性问题的弱形式 • PDE方程 • 乘上试函数并积分 • 分部积分 • 整理得到 域内 边界

  21. 弱约束 • 优点 • 精确的通量计算 • 处理非线性约束 • 处理包含微分的约束 • 缺点 • 引入了较多的未知量 • 容易在Jacobian矩阵的主对角线上引入零值（鞍点） • 不连续约束导致较大的震荡

  22. 乘子的物理意义 • 使用弱约束 • Lagrangian乘子被作为独立变量求解 • 精确的流量计算 • 处理非线性约束和带有导数的约束 • 变量名lm1，lm2….

  23. 使用弱约束 • 在Physics>Properties中设置弱约束 • 在每个边界条件中确定是否采用弱约束 • 产生新变量，以lm＋数字命名，按照应用模式及其变量的顺序来编号

  24. 弱约束类型 • 完美（Ideal） • 和标准的逐点约束类似的边界条件，不涉及物理本质 • Lagrange乘子对于所有变量对称 • 非完美（Non-Ideal） • 修改了模型的物理本质 • Lagrange乘子只应用到指定约束的变量 假设模式A(u)和B(v)，其中A的约束 Lagrange乘子及试函数 变量及试函数

  25. 弱约束的局限 • 接触边界相同变量的逐点和弱约束不起作用 • 只有Dirichlet边界条件才有效 • 弱约束常导致线性系统的缩放比例问题 • 使用弱约束时常需要减小单元的阶数，以减少冗余的自由度 • 当使用迭代求解器时，如果在矩阵中引入了零对角元，需要采用Vanka或i-LU算法

  26. 方程式系统中的应用 • 在weak标签中出现的变量进入求解过程 • 其余的为后处理变量

  27. 相关的Weak项参数设置 • weak • 写入弱项公式 • dweak • 与时间相关的弱项 • bnd.weak • 超弱项，应用于内部不连续边界条件（不存在几何边界） • 参考模型库中Equation-Based_Models/transport_problem • constr • 约束（不是弱约束） • Constraint type • 完美、非完美、用户自定义

  28. Thank you!

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