Limiti di funzioni reali

1. Intorni Introduzione alla definizione di limite Il limite di una funzione Proprietà dei limiti Operazioni con i limiti Il calcolo dei limiti Limiti di funzioni reali

2. Intorno del punto x0 e raggio r>0 (x0,r  ) Ixo,r = {x , |x-x0|<r} • |x-x0|<r  -r< x-x0<+r x0–r < x < x0+r r r x0–r x0 x0+r Intorni

3. Esempi • |x|<3 • |x -1|<4 • |x -2|<0,1 • |x|<0,01 • I ½.0,1 = = {x , |x- ½ |<0,1}  -3 < x < +3 (x0= 0, r= 3)  -3 < x < +5 (x0= 1, r= 4)  +1,9 < x < +2,1 (x0= 2, r= 0,1)  - 0,01 < x < + 0,01 (x0= 0, r=0,01)  + 0,4 < x < + 0,6 x0= ½, r=0, 1

4. Intorno dell’infinito e raggio M>0 (M  +) IM = {x , |x|>M} • |x|>M  x< -M o x >+M x< -M x >+M -M 0+M Intorni dell’ infinito

5. Intorno di + e raggio M>0 (M  +) I+  M = {x , x>M} x > M 0+M Intorno di - e raggio M>0 (M  +) I-  M = {x , x<-M} x< -M -M 0 Intorni di + e di - 

6. Determina centro e raggio dei seguenti intorni r =(b-a)/2; x0=(a+b)/2 • (-3;2) r = [2-(-3)]/2=5/2e x0 = [2+(-3)]/2=- ½ • (√3;3√3) r = [3√3 -(√ 3)]/2= √3e x0 = [√3+(3√3)]/2=2 √3 • (-; -10 000) centro -e raggio M = 104 • (108;+ ) centro + e raggio M = 108 Esercizi

7. Dati I2,4 sull’asse delle ascisse e J-1,3 sull’asse delle ordinate, determina l’area del rettangolo individuato dal prodotto cartesiano IJ. Area = 48 u2 EserciziO

8. La definizione di limite, posta alla base del calcolo infinitesimale, non è dovuta ai fondatori di tale calcolo- che sono Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) e Isaac Newton (1642-1727). • Il calcolo infinitesimale permise di risolvere problemi scientifici e matematici che fino ad allora non avevano trovato un’adeguata soluzione. Dal punto di vista matematico c’era però una criticità: i metodi del calcolo funzionavano ma non si sapeva spiegare il perché. Introduzione ai limiti

9. La velocità media di un corpo puntiforme è definita tramite il rapporto dello spazio percorso e il tempo impiegato a percorrerlo: v=s/t (oppure scriviamo v=Ds/Dt) • Viene dunque spontaneo definire la velocità istantanea come il valore (limite) di questo rapporto al tendere a zero dell’intervallo di tempo considerato. • La velocità istantanea è dunque il rapporto di due quantità infinitesime o, come diceva Newton, “l’ultimo rapporto di due quantità evanescenti”. La velocità istantanea

10. “Si può obiettare che l’ultimo rapporto di due quantità evanescenti non è nulla, perché prima che esse svaniscano il loro rapporto non è l’ultimo, e allorché sono svanite non ne hanno più alcuno. Ma è facile rispondere […] l’ultimo rapporto delle quantità evanescenti deve essere inteso come il rapporto fra dette quantità non prima che siano svanite, e nemmeno dopo, ma nell’istante stesso in cui svaniscono”. Come argomentava Newton nel "PhilosophiaeNaturalis Principia Mathematica"

11. Si pone allora il problema di fissare l’”attimo fuggente” in cui le “quantità“ svaniscono. Si può pensare che le uniche tre possibilità siano: • s/t rapporto tra quantità finite allora è una velocità media (con t molto piccolo) • s/t entrambe nulle, ma allora non possiamo dividere per 0. • s/t in un certo istante svaniscono allora c’è una quantità infinitesima atomica di cui non se ne può trovare una più piccola ma ciò contrasta con l’esistenza di grandezze incommensurabili, già noto al tempo dei Greci (√2) Necessità di una definizione formale

12. Si deve a A. L. Cauchye, soprattutto, alla successiva formalizzazione di A. Weierstrass, una definizione rigorosa di limite e, mediante essa, una costruzione rigorosa dell'analisi matematica. • Cauchy assunse come fondamentale il concetto di limite di D'Alambert, ma gli conferì una maggiore precisione. Egli formulò una definizione relativamente precisa di limite: • "Quando i valori successivi attribuiti a una variabile si avvicinano indefinitamente a un valore fissato così che finiscono con il differire da questo per una differenza piccola quanto si vuole, quest'ultimo viene detto il limite di tutti gli altri". Cauchy

13. La definizione di Cauchy, come leggiamo, faceva uso di espressioni come "valori successivi" o "avvicinarsi indefinitamente" o "così piccolo quanto si vuole".  Per quanto suggestive queste definizioni sono nondimeno prive di quella precisione che generalmente si esige dalla matematica. Cauchy

14. Nelle sue lezioni Weierstrass definiva il limite della funzione f(x) nel punto x0 nel modo seguente: • "Se data una qualsiasi grandezza e, esiste una h0, tale che per 0<h<h0 la differenza f(x0±h)-L è minore di e in valore assoluto, allora L è il limite di f(x) per x=x0". • Oggi la h0di Weierstrass viene spesso sostituita da un'altra lettera greca, d. Weierstrass

15. si dice che l è il limite della funzione y=f(x), per x tendente ad c  e si scrive lim f(x)=l xc Se per ogni intorno Jl, di centro l, esiste Icdi centro a tale che: x (x Ice x  c)  f(x)  Jl . NB: l’intorno Icsta sull’asse delle x l’intorno Jlsta sull’asse delle y DEFINIZIONE:

16. si dice che l è il limite della funzione y=f(x), per x tendente ad c  e si scrive lim f(x)=l xc Se per ogni e > 0esiste d > 0 tale che: x (|x-c|<d e x  c)  |f(x) -l|< e. NB: Ixo,r = {x , |x-x0|<r} dunque Ic,d= {x , |x-c|<d} Jl,e = {y , |y-l|< e} DEFINIZIONE (coneed):

17. Dimostrare che • Disegnare il grafico della funzione definita per casi E dimostrare che esercizi