Geometria espacial
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Geometria Espacial. Esfera. A esfera é um sólido de revolução gerado pela rotação de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro. Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio R. Elementos da esfera.

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Presentation Transcript


A esfera é um sólido de revolução gerado pela rotação de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro.

Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio R.


Elementos da de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro.

esfera

Polos: interseções da superfície com o eixo

Equador: é a seção (circunferência) perpendicular ao eixo, pelo centro da superfície.

Paralelo: é uma secção (circunferência) perpendicular ao eixo. É “ paralela” ao equador.

Meridiano: é uma secção circunferência) cujo plano passa pelo eixo.


Toda secção plana de uma esfera é um círculo. de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro.

Se a secção passa pelo centro da esfera, temos como secção um círculo máximo da esfera.


Superfície Esférica de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro.

Chama-se superfície da esfera de centro O e raio r ao conjunto dos pontos P do espaço, tais que a distância OP seja igual ao raio.

A superfície de uma esfera é também a superfície de revolução gerada pela rotação de uma semicircunferência com extremidades no raio.


Área da superfície esférica de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro.

A superfície esférica tem uma massa igual à massa de quatro círculos máximos.

admitindo que a espessura da superfície esférica é a mesma dos círculos máximos.

Desta forma, então:


Volume da esfera de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro.

Vamos imaginar uma esfera como a reunião de infinitas pirâmides


A altura de cada uma das pirâmides é o raio de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro.r da esfera.

Desta forma, teremos que o volume da esfera é igual ao volume destas n pirâmides.

O que nos permite concluir que o volume da esfera pode ser obtido por:


Volume da esfera – Princípio de Cavalieri de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro.

Sólidos de mesma altura, cuja área de secção são iguais, possuem volumes iguais:


Volume da esfera – Princípio de Cavalieri de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro.

H = 2R

O sólido X é um cilindro equilátero (H = 2R) de onde foram retirados dois cones isósceles (altura = raio da base).

O volume do sólido X é igual ao volume do cilindro “menos” os volumes dos dois cones:


Exemplos: de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro.

1. Determinar a área total e o volume de uma esfera de raio 6cm.

2. É dada uma esfera de raio 10cm. Um plano  secciona essa esfera a uma distância de 6 cm do centro da mesma. Calcule o raio da secção.


Secção da esfera de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro.

Toda secção plana de uma esfera é um círculo.

Qualquer secção da esfera é um círculo. O que não acontece com os demais sólidos (as secções variam de acordo com a posição dos planos de corte).


Secção da esfera de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro.

OO’ é a distância do plano α ao centro da esfera. Qualquer plano α que seciona uma esfera de raio R determina como seção plana um círculo de raio R.


Secção da esfera de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro.

CÍRCULO MENOR

CÍRCULO MÁXIMO

Se o plano secante passa pelo centro da esfera temos como secção um círculo máximo da esfera.


Secção da esfera de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro.

Quando o plano que secciona a esfera contiver um diâmetro, teremos d = 0. Nesse caso, o círculo determinado terá raio R e será denominado círculo máximo.


Exemplo de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro.

(FUVEST/SP) Uma superfície esférica de raio 13 cm é cortada por um plano situado a uma distancia de 12 cm do centro da superfície esférica, determinando uma circunferência. O raio dessa circunferência em cm é de:a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Após devida interpretação, observa-se que o triângulo destacado é um triângulo retângulo com hipotenusa 13 e catetos 12 e r. Daí, utilizando o Teorema de Pitágoras:

=13

12

plano

13²= 12² + r²

169 = 144 + r²

169 – 144 = r²= 25

r = √25

r = 5

r


Zona Esférica de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro.

É a parte da esfera gerada do seguinte modo:

Zona esférica é a superfície de revolução cuja geratriz é um arco de circunferência e cujo eixo é uma reta tal que:

 passa pelo centro da circunferência que contém o arco;

não passa por nenhum extremo do arco, nem intercepta o arco em outro ponto;

 é coplanar com o arco


Calota Esférica de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro.

É a parte da esfera gerada do seguinte modo:

É a superfície de revolução cuja geratriz é um arco de circunferência e cujo eixo é uma reta tal que:

passa pelo centro da circunferência que contém o arco;

 passa por um extremo do arco e não o intercepta em outro ponto;

é coplanar com o arco


Área da Calota Esférica e da Zona Esférica de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro.


Fuso Esférico de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro.

O fuso esférico é uma parte da superfície esférica que se obtém ao girar uma semi-circunferência máxima de ângulo  em torno de seu eixo.

0 << 2 (em rad)

É a interseção da superfície de uma esfera com um diedro (ou setor diedral), cuja aresta contém um diâmetro dessa superfície esférica. O que caracteriza o fuso é o ângulo medido na secção equatorial.



Cunha Esférica três simples:

A cunha esférica é uma parte da esfera que se obtém ao girar uma semi-circunferência máxima de ângulo  em torno de seu eixo.

0 << 2 (em rad)

É a interseção da superfície de uma esfera com um diedro (ou setor diedral), cuja aresta contém um diâmetro dessa superfície esférica. O que caracteriza a cunha é o raio da esfera e a medida do diedro



Exemplos: regra de três simples:

1. Determinar a área de um fuso esférico de 300, contido numa superfície esférica de raio 4cm.

2. Determinar o volume da cunha esférica obtida a partir da situação anterior.


Exemplo: regra de três simples:

Calcular a área total e o volume de uma cunha esférica contida numa esfera de raio igual a 4 cm, sabendo que o ângulo central da cunha mede 60º.

60º


Resolução: regra de três simples:

Volume:

60º


Resolução: regra de três simples:

Área Total

60º



Inscrição da Esfera no Cilindro regra de três simples:


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