Geometria espacial
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Geometria Espacial. Esfera. A esfera é um sólido de revolução gerado pela rotação de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro. Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio R. Elementos da esfera.

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Presentation Transcript


Geometria espacial

Geometria Espacial


Esfera

Esfera


Geometria espacial

A esfera é um sólido de revolução gerado pela rotação de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro.

Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio R.


Geometria espacial

Elementos da

esfera

Polos: interseções da superfície com o eixo

Equador: é a seção (circunferência) perpendicular ao eixo, pelo centro da superfície.

Paralelo: é uma secção (circunferência) perpendicular ao eixo. É “ paralela” ao equador.

Meridiano: é uma secção circunferência) cujo plano passa pelo eixo.


Geometria espacial

Toda secção plana de uma esfera é um círculo.

Se a secção passa pelo centro da esfera, temos como secção um círculo máximo da esfera.


Geometria espacial

Superfície Esférica

Chama-se superfície da esfera de centro O e raio r ao conjunto dos pontos P do espaço, tais que a distância OP seja igual ao raio.

A superfície de uma esfera é também a superfície de revolução gerada pela rotação de uma semicircunferência com extremidades no raio.


Geometria espacial

Área da superfície esférica

A superfície esférica tem uma massa igual à massa de quatro círculos máximos.

admitindo que a espessura da superfície esférica é a mesma dos círculos máximos.

Desta forma, então:


Geometria espacial

Volume da esfera

Vamos imaginar uma esfera como a reunião de infinitas pirâmides


Geometria espacial

A altura de cada uma das pirâmides é o raio r da esfera.

Desta forma, teremos que o volume da esfera é igual ao volume destas n pirâmides.

O que nos permite concluir que o volume da esfera pode ser obtido por:


Geometria espacial

Volume da esfera – Princípio de Cavalieri

Sólidos de mesma altura, cuja área de secção são iguais, possuem volumes iguais:


Geometria espacial

Volume da esfera – Princípio de Cavalieri

H = 2R

O sólido X é um cilindro equilátero (H = 2R) de onde foram retirados dois cones isósceles (altura = raio da base).

O volume do sólido X é igual ao volume do cilindro “menos” os volumes dos dois cones:


Geometria espacial

Exemplos:

1. Determinar a área total e o volume de uma esfera de raio 6cm.

2. É dada uma esfera de raio 10cm. Um plano  secciona essa esfera a uma distância de 6 cm do centro da mesma. Calcule o raio da secção.


Geometria espacial

Secção da esfera

Toda secção plana de uma esfera é um círculo.

Qualquer secção da esfera é um círculo. O que não acontece com os demais sólidos (as secções variam de acordo com a posição dos planos de corte).


Geometria espacial

Secção da esfera

OO’ é a distância do plano α ao centro da esfera. Qualquer plano α que seciona uma esfera de raio R determina como seção plana um círculo de raio R.


Geometria espacial

Secção da esfera

CÍRCULO MENOR

CÍRCULO MÁXIMO

Se o plano secante passa pelo centro da esfera temos como secção um círculo máximo da esfera.


Geometria espacial

Secção da esfera

Quando o plano que secciona a esfera contiver um diâmetro, teremos d = 0. Nesse caso, o círculo determinado terá raio R e será denominado círculo máximo.


Geometria espacial

Exemplo

(FUVEST/SP) Uma superfície esférica de raio 13 cm é cortada por um plano situado a uma distancia de 12 cm do centro da superfície esférica, determinando uma circunferência. O raio dessa circunferência em cm é de:a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Após devida interpretação, observa-se que o triângulo destacado é um triângulo retângulo com hipotenusa 13 e catetos 12 e r. Daí, utilizando o Teorema de Pitágoras:

=13

12

plano

13²= 12² + r²

169 = 144 + r²

169 – 144 = r²= 25

r = √25

r = 5

r


Geometria espacial

Zona Esférica

É a parte da esfera gerada do seguinte modo:

Zona esférica é a superfície de revolução cuja geratriz é um arco de circunferência e cujo eixo é uma reta tal que:

 passa pelo centro da circunferência que contém o arco;

não passa por nenhum extremo do arco, nem intercepta o arco em outro ponto;

 é coplanar com o arco


Geometria espacial

Calota Esférica

É a parte da esfera gerada do seguinte modo:

É a superfície de revolução cuja geratriz é um arco de circunferência e cujo eixo é uma reta tal que:

passa pelo centro da circunferência que contém o arco;

 passa por um extremo do arco e não o intercepta em outro ponto;

é coplanar com o arco


Geometria espacial

Área da Calota Esférica e da Zona Esférica


Geometria espacial

Fuso Esférico

O fuso esférico é uma parte da superfície esférica que se obtém ao girar uma semi-circunferência máxima de ângulo  em torno de seu eixo.

0 << 2 (em rad)

É a interseção da superfície de uma esfera com um diedro (ou setor diedral), cuja aresta contém um diâmetro dessa superfície esférica. O que caracteriza o fuso é o ângulo medido na secção equatorial.


Geometria espacial

A área do fuso esférico pode ser obtida por uma regra de três simples:

ÂnguloÁrea


Geometria espacial

Cunha Esférica

A cunha esférica é uma parte da esfera que se obtém ao girar uma semi-circunferência máxima de ângulo  em torno de seu eixo.

0 << 2 (em rad)

É a interseção da superfície de uma esfera com um diedro (ou setor diedral), cuja aresta contém um diâmetro dessa superfície esférica. O que caracteriza a cunha é o raio da esfera e a medida do diedro


Geometria espacial

O volume da cunha esférica também pode ser obtida por uma regra de três simples:

ÂnguloVolume


Geometria espacial

Exemplos:

1. Determinar a área de um fuso esférico de 300, contido numa superfície esférica de raio 4cm.

2. Determinar o volume da cunha esférica obtida a partir da situação anterior.


Geometria espacial

Exemplo:

Calcular a área total e o volume de uma cunha esférica contida numa esfera de raio igual a 4 cm, sabendo que o ângulo central da cunha mede 60º.

60º


Geometria espacial

Resolução:

Volume:

60º


Geometria espacial

Resolução:

Área Total

60º


Geometria espacial

Inscrição e Circunscrição do Cubo na Esfera


Geometria espacial

Inscrição da Esfera no Cilindro


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