Geometria espacial

1. Geometria espacial Prof. Déborah Beckman

2. Sólidos Geométricos Poliedros Eles não rolam! Formas Espaciais Corpos Redondos Eles rolam! Outras formas espaciais

3. Classificação dos poliedros

4. Classificação dos poliedros • Prismas • Base triangular • Paralelepípedo • Base pentagonal • Base hexagonal • - de base ... Convexos • Pirâmides • Base triangular • Base quadrada • Base pentagonal • Base hexagonal • - De base ... Poliedros • Outros • Octaedro • Dodecaedro • Icosaedro • outros Não-convexos

5. POLIEDRO: É um sólido geométrico cuja superfície é formada por polígonos que são suas faces e possuem dois a dois um lado comum.

6. Elementos de um poliedro

7. Um poliedro é composto por: Faces Vértices Arestas

9. POLIEDROS REGULARES: São os poliedros cujas faces são polígonos regulares iguais entre si, e cujos ângulos poliédricos são todos iguais.

10. Poliedros irregulares • Na figura abaixo, temos: • Dois planos paralelos α e β • Um polígono P contido em α • Uma reta r que intercepta α e β, mas não intercepta P Os prismas e as pirâmides são classificados a partir do polígono da base. Os prismas são poliedros com 2 bases. As suas faces laterais são sempre quadriláteros.

12. Um prisma pode ser classificado pelo tipo de polígonos que constitui suas bases. Ele pode ser um prisma • Triangular, se suas bases são triângulos; • Quadrangular, se suas bases são quadriláteros; • Pentagonal, se suas bases são pentágonos; • Hexagonal, se suas bases são hexágonos;

13. Classificação • Conforme a inclinação das arestas laterais em relação aos planos das bases, os prismas podem ser retos ou oblíquos. • Nos prismas retos, as faces laterais são retângulos. • Nos prismas oblíquos, as faces laterais são paralelogramos.

14. Prismas

15. Prisma regular • Todo prisma reto, cujas as bases são polígonos regulares é chamado prisma regular • No prisma hexagonal regular abaixo , temos que: • As bases são hexágonos regulares; • As faces laterais são retângulos congruentes.

16. As principais dimensões de um paralelepípedo retângulo são comprimento , largura e altura . • Quando as três dimensões são iguais, o paralelepípedo retângulo é denominado cubo.

17. Paralelepípedo • Denomina-se paralelepípedo o prisma cujas bases são paralelogramos. • Um prisma reto cujas bases são retângulos é chamado paralelepípedo retângulo ou bloco retangular.

18. Diagonal de um paralelepípedo retângulo • Na figura abaixo, indicamos por d a medida da diagonal do paralelepípedo, por d1 a medida da diagonal da base e por a,b e c as medidas das arestas.

19. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABD: • d1 = a² + b² • Aplicando o teorema novamente, agora no triângulo BDH: • d² = d1² + c² • Portanto: d² = a² + b² + c² No caso particular de um cubo, de aresta a, temos:

20. Áreas da superfície de um prisma • A figura abaixo, à direita, representa a planificação de um prisma triangular regular. • Vamos definir a área de algumas partes da superfície desse prisma. • Área da base (Sb): é a área de um dos polígonos das bases. • Área lateral (Sl): é a soma das áreas de todas as faces laterais. • Área total (St): é a soma da área lateral e das áreas das bases.

21. EXERCÍCIOS

22. Um prisma quadrangular regular tem 7cm de aresta lateral e 5cm de aresta da base. Calcular: a) área da base A base é um quadrado, onde os lados medem 5cm área da base: 5cm . 5cm = 25cm² 7cm 5cm 5cm

23. Um prisma quadrangular regular tem 7cm de aresta lateral e 5cm de aresta da base. Calcular: A área lateral é formado pela soma das áreas das 4 faces laterais. Cada face lateral é um retângulo com base 5cm e altura 7cm. b) área lateral área da face lateral: 5cm . 7cm = 35cm² Temos 4 faces iguais: 35cm² . 4 = 140cm² 7cm 7cm 5cm

24. Um prisma quadrangular regular tem 7cm de aresta lateral e 5cm de aresta da base. Calcular: c) área total A área total é a soma da área lateral com 2 vezes a área da base: Área lateral = 140 cm² Área da base = 25 cm² Área total= 140cm² + 2. 25cm² Área total = 140cm² + 50cm² Área total = 190cm²

25. Um prisma quadrangular regular tem 7cm de aresta lateral e 5cm de aresta da base. Calcular: d) volume O Volume de um prisma reto é dado pela multiplicação da área da base pela sua altura. Área da base = 25 cm² Altura = 7cm Volume = 25 cm².7cm = 175cm³

26. Um prisma quadrangular regular tem 7cm de aresta lateral e 5cm de aresta da base. Planificação do prisma 5cm 7cm

27. Um prisma triangular regular apresenta 9cm de aresta lateral e 4cm de aresta da base. Calcular: a) área da base A base é um triângulo equilátero onde os lados medem 4cm. 9cm  Área de todo triângulo equilátero 4cm 4cm 4cm

28. Um prisma triangular regular apresenta 9cm de aresta lateral e 4cm de aresta da base. Calcular: A área lateral é formado pela soma das áreas das 3 faces laterais. Cada face lateral é um retângulo com base 4cm e altura 5cm. b) área lateral área da face lateral: 4cm . 9cm = 36cm² 9cm Temos 3 faces iguais: 36cm² . 3 = 108cm² 9cm 4cm 4cm 4cm 4cm

29. Um prisma triangular regular apresenta 9cm de aresta lateral e 4cm de aresta da base. Calcular: c) área total A área total é a soma da área lateral com 2 vezes a área da base: 9cm 4cm 4cm 4cm

30. Um prisma triangular regular apresenta 9cm de aresta lateral e 4cm de aresta da base. Calcular: O Volume de um prisma reto é dado pela multiplicação da área da base pela sua altura. d) volume 9cm 4cm 4cm 4cm

31. Um prisma triangular regular apresenta 9cm de aresta lateral e 4cm de aresta da base. Planificação do prisma 4cm 9cm 4cm

32. Um prisma hexagonal regular tem 6 m de aresta lateral e 2m de aresta da base. Determinar: A base é um hexágono, que pode ser decomposto em 6 triângulos equiláteros. a) área da base 2m A área do hexágono será seis vezes a área do triângulo: 2m

33. Um prisma hexagonal regular tem 6 m de aresta lateral e 2m de aresta da base. Determinar: A área lateral é formado pela soma das áreas das 6 faces laterais. Cada face lateral é um retângulo com base 2m e altura b) área lateral Temos 6 faces iguais: área lateral: 2m 2m

34. Um prisma hexagonal regular tem 6 m de aresta lateral e 2m de aresta da base. Determinar: c) área total A área total é a soma da área lateral com 2 vezes a área da base: 2m

35. Um prisma hexagonal regular tem 6 m de aresta lateral e 2m de aresta da base. Determinar: O Volume de um prisma reto é dado pela multiplicação da área da base pela sua altura. d) volume 2m

36. Um prisma hexagonal regular tem 6 m de aresta lateral e 2m de aresta da base. Planificação do prisma 2m 2m 2m

37. Calcule a área da base, a área lateral, a área total e o volume em cada caso: a) Prisma quadrangular regular de aresta lateral 8cm e aresta da base 4cm 4cm 4cm A base é um quadrado, onde os lados medem 4cm 8cm área da base: 4cm . 4cm = 16cm² 4cm 4cm

38. Calcule a área da base, a área lateral, a área total e o volume em cada caso: a) Prisma quadrangular regular de aresta lateral 8cm e aresta da base 4cm 8cm 8cm 4cm 4cm 4cm 4cm área lateral = 16cm . 8cm = 128cm² 4cm

39. Calcule a área da base, a área lateral, a área total e o volume em cada caso: a) Prisma quadrangular regular de aresta lateral 8cm e aresta da base 4cm área lateral = 128cm² área da base:16cm² área total = 128 + 2 . 16 área total = 128 + 32 área total = 160cm² 4cm

40. Calcule a área da base, a área lateral, a área total e o volume em cada caso: a) Prisma quadrangular regular de aresta lateral 8cm e aresta da base 4cm Volume = 16cm² . 8cm = 128cm³ 8cm 16cm²

41. Calcule a área da base, a área lateral, a área total e o volume em cada caso: b) Prisma triangular regular de aresta lateral 2cm e aresta da base 4cm 4cm 2cm 4cm

42. Calcule a área da base, a área lateral, a área total e o volume em cada caso: b) Prisma triangular regular de aresta lateral 2cm e aresta da base 4cm 2cm 4cm 4cm 4cm área lateral = 12cm . 2cm = 24cm² 2cm 4cm

43. Calcule a área da base, a área lateral, a área total e o volume em cada caso: b) Prisma triangular regular de aresta lateral 2cm e aresta da base 4cm 2cm 2cm 4cm 4cm

44. Calcule a área da base, a área lateral, a área total e o volume em cada caso: b) Prisma triangular regular de aresta lateral 2cm e aresta da base 4cm 2cm

45. Calcule a área da base, a área lateral, a área total e o volume em cada caso: c) Prisma hexagonal regular de aresta lateral 6cm e aresta da base 3cm 3cm 6cm 3cm

46. Calcule a área da base, a área lateral, a área total e o volume em cada caso: c) Prisma hexagonal regular de aresta lateral 6cm e aresta da base 3cm 6cm 3cm 3cm 3cm 3cm 3cm 3cm área lateral = 18cm . 6cm = 108cm²

47. Calcule a área da base, a área lateral, a área total e o volume em cada caso: c) Prisma hexagonal regular de aresta lateral 6cm e aresta da base 3cm 3cm 108cm² 3cm

48. Calcule a área da base, a área lateral, a área total e o volume em cada caso: c) Prisma hexagonal regular de aresta lateral 6cm e aresta da base 3cm 3cm

49. Um prisma quadrangular regular tem 9cm de aresta da lateral e 36cm² de área da base. Determine: a) aresta da base 9cm 36cm² a a

50. Um prisma quadrangular regular tem 9cm de aresta da lateral e 36cm² de área da base. Determine: b) área lateral 9cm 9cm 6cm 6cm 6cm 6cm 36cm² a área lateral = 24cm . 9cm = 216cm² a