GEOMETRIA

1. GEOMETRIA Mongeova projekcia Kolmá axonometria

2. Stredové premietanie Základné princípy priemetu priestoru do roviny Kolmé (pravouhlé) premietanie – špecálny prípad rovnobežného premietania, kde smer s je kolmý na priemetňu: Rovnobežné premietanie • kolmý priemet bodu S = s • AE3, A' = SA  p • - priemetňa S – smer premietania SA – premietacia priamka A' - priemet bodu A B A B' A' p

3. Pre kolmé rovnobežné premietanie platí: • Rovnobežným priemetom 2 rovnobežiek, ktoré neležia v 1 premietacej rovine, sú 2 rovnobežky. • Rovnobežným priemetom 2 rôznobežiek, ktoré neležia v 1 premietacej rovine, sú 2 rôznobežky. • Rovnobežným priemetom útvaru, ktorý leží v rovine rovnobežnej s priemetňou je zhodný útvar. • Rovnobežné premietanie zachováva deliaci pomer na priamkach, ktoré nie sú premietacie.

4. 2 navzájom kolmé priamky, z ktorých ani jedna nie je premietacia sa premietajú ako kolmé  aspoň jedna z nich je rovnobežná s priemetňou. • Dĺžka úsečky rovnobežnej s priemetňou sa pri kolmom premietaní zachováva. Ak je kolmá na priemetňu, priemetom je bod, inak sa dĺžka úsečky skracuje, |A1B1| = |AB|.cos a A A B B A B a A1 B1 A1 B1 A1 = B1 !!! Problém: nejednoznačnosť spätnej rekonštrukcie potreba doplňujúcej informácie o zobrazovanom bode napr. Mongeova projekcia, axonometria...

5. Mongeova projekcia – kolmé premietanie na dve navzájom kolmé priemetne: Nech sú dané roviny p a n, pn (priemetne). Vzájomne jednoznačné zobrazenie priestoru E3 na rovinu n, ktoré každému bodu A priestoru priradí usporiadanú dvojicu (A1,A2), kde A1 je kolmý priemet bodu A do roviny p a A2 je kolmý priemet bodu A do roviny n, sa nazýva Mongeova projekcia. p – prvá priemetňa, pôdorysňa n – druhá priemetňa, nárysňa A1 – prvý priemet bodu A, pôdorys A2 – druhý priemet bodu A, nárys spojnica A1A2 - ordinála

6. Princíp zobrazenia v Mongeovej projekcii: • bod A – bod v priestore, A1 –prvý priemet bodu (pôdorys) • A2 – druhý priemet bodu (nárys) Mongeova projekcia v rovine priestorový obr. združenie priemetní | | |

7. Pomocná 3. priemetňa : • kolmá na p aj na n - bokorysňa nárys bokorys pôdorys Použitie v stavebníctve: technická dokumentácia stavieb

8. Axonometria rovina r z r s z priestor M 2 ,r M 3 ,r M M 3 2 M r M y r M 1 x M 1,r x y r r –axonometrická priemetňa M 1

9. Axonometria je rovnobežné premietanie na jednu priemetňu, pričom spolu s útvarmi premietame aj pravouhlú súradnicovú sústavu, ktorá je s týmto útvarom pevne spojená Vlastnosti: • zachováva rovnobežnosť • zachováva deliaci pomer e e e

10. Axonometria smer šikmý vzhľadom na axonometrickú priemetňu kolmá (ortogonálna) šikmá (klinogonálna) • vojenská axonometria • kavalierna axonometria • šikmé premietanie

11. Kolmá (ortogonálna) axonometria r z Xa Ya Za – axonometrický Z a xa, ya, za – axonometrické osi z a O x x X a O a a y r – axonometrická priemetňa a Y a y

12. z a z o Z z o o O Z o o O o Z a Y o x o y o X Y o a O a X a y y x a o x a X o o Y o O o Kolmá axonometria – nanášanie jednotiek

13. Použitie kolmej axonometrie – názornosť doplnenie Mongeovej projekcie Mongeova projekcia telesa Axonometrický priemet telesa