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Matemáticas III Tema I FUNCIONES. M. en C. Gal Vargas Neri. Función de dos variables. Una función de dos variables es una regla de que asigna a cada pareja de números reales (x, y) un y sólo un número real z.
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Matemáticas IIITema I FUNCIONES M. en C. Gal Vargas Neri
Función de dos variables • Una función de dos variables es una regla de que asigna a cada pareja de números reales (x, y) un y sólo un número real z. • El conjunto de parejas ordenadas para las cuales la regla de correspondencia da un número real se llama dominio de la función. • El conjunto de valores z que corresponden a los pares ordenados se llama imagen o contradominio.
Función de dos variables • Una función de dos variables se denota usualmente con la notación z = f (x, y) • Las variables x, y se llaman variables independientes, y z se llama variable dependiente. • La gráfica de una función de dos variables es el conjunto de puntos con coordenadas (x, y, z) en donde (x, y) está en el dominio de f y z = f (x, y). • Este conjunto de puntos forma una superficie en el espacio tridimensional.
Función de dos variables FUNCIONES HOMOGÉNEAS Definición de cono (en un espacio vectorial real) • Se llama cono a todo conjunto C⊆ Rⁿ que cumple la siguiente condición: t x ∈ C, ∀x ∈ C, ∀t >0. Definición de función homogénea • Dada una función real de n variables tal que f: D⊂ Rⁿ → R, en donde su dominio es un cono , se dice que es homogénea de grado r si verifica: f(t x) = t ͬ f(x), ∀x ∈ D con t>0, r∈ R NOTAS: Se exige que D sea un cono para garantizar que t x ∈ D. Que t > 0, evita problemas de falta de definición o inexistencia.
Función de dos variables FUNCIONES HOMOGÉNEAS Ejemplo : Si r = ½ y t < 0 ⇒ f(t x) ∉ R. Interpretación económica: Al trabajar con determinadas variables económicas (cantidades a consumir, a emplear o a producir, por ejemplo), el sentido económico impone su no negatividad, por lo que con t > 0 se tiene garantizado que t xᵢ va a seguir manteniendo ese mismo sentido económico. xᵢ ≥ 0 y t > 0 ⇒ t xᵢ ≥ 0 (sentido económico). • Si r es entero (positivo o negativo), t > 0 es una restricción superflua. • El valor de r tiene importancia a la hora de la interpretación económica de funciones homogéneas.
Función de dos variables EJERCICIOS DE FUNCIONES HOMOGÉNEAS 1.- f(x,y,z) = 3x + 2yz. 2.- f(x, y) = (2x + y)½ 3.- 4.-
Función de dos variables EJERCICIOS DE FUNCIONES HOMOGÉNEAS Ejercicio 1: f(x,y,z) = 3x + 2yz. Al tratarse de una función poli nómica, su dominio es R³ y por tanto es un cono. f(t x, t y, t z) = 3 t x + 2 (t y)(t z) = t (3 x + 2 t y z). Esta función no es homogénea. Ejercicio 2: f(x, y) = (2x + y)½ . Su dominio es el conjunto D={(x,y)∈R²/2x+y≥0}, que es un cono, pues multiplicando la restricción que cumplen los puntos (x,y) ∈ D por una cantidad positiva, t>0, el sentido de la restricción no cambia t (2x+y) ≥ t 0 ⇒ t 2 x + t y ≥ 0 ⇒ 2(t x)+(t y) ≥ 0 ⇒ (t x, t y)∈D.
Función de dos variables FUNCIONES HOMOGÉNEAS Veamos si es homogénea: La función es homogénea de grado r = ½ Ejercicio 3: Su dominio es el conjunto D = R² - {(0,0)}, que es un cono. Veamos si es homogénea:
Función de dos variables FUNCIONES HOMOGÉNEAS Ejercio 4: Su dominio también es el conjunto D = {R2 - (0,0) }, que es un cono. Funciones homogéneas
Función de dos variables Función de Producción Cobb-Douglas Donde: A es una constante positiva, A>0, L y K son las unidades de factor trabajo y factor capital empleadas, α, β ∈ R / α, β >0. El dominio en sentido económico se puede demostrar que es un cono: DQ = {(K,L) ∈ R2 / K ≥ 0; L ≥ 0}. Esta función de producción Cobb-Douglas es homogénea de grado (α+β) como se puede ver a continuación:
Función de dos variables Función de Producción Cobb-Douglas La función de producción Cobb-Douglas refleja: Rendimientos constantes a escala si (α+β)=1. Rendimientos crecientes a escala si (α+β)>1. Rendimientos decrecientes a escala si (α+β)<1.
Función de dos variables Función de Producción Cobb-Douglas RENDIMIENTOS A ESCALA E ISOCUANTAS: Isocuanta: Q(K,L)= C. Recoge las combinaciones de K y L que proporcionan un nivel de producción igual a C. • (a) Rendimientos crecientes: (K1 -0)> (K2-K1)> (K3-K2) ; (L1 - 0)> (L2-L1)> (L3-L2). • (b) Rendimientos constantes : (K1 -0)= (K2-K1)= (K3-K2) ; (L1 - 0)= (L2-L1)= (L3-L2) . • (c) Rendimientos decrecientes : (K1 -0)< (K2-K1)<(K3-K2) ; (L1 - 0)< (L2-L1)< (L3-L2).
Curvas de nivel Cuando tenemos una función z = f(x, y) con valor real, la grafica de dicha función corresponde al conjunto en el espacio de tres dimensiones R³ xyz: gr(f) = {(x, y, f(x, y)) : (x, y) єDom(f)}. Al ubicar dichos puntos en el espacio R³, obtenemos una superficie en dicho espacio. Una forma de estudiar dicha superficie, aunque en dos dimensiones, es considerar la intersección de dicha superficie con el plano z = k, donde k є Recorrido(f).
Curvas de nivel De esta manera, obtenemos el conjunto {(x, y, k) : f(x, y) = k}, el cual corresponde a la curva de nivel de la superficie f(x, y) = k. Al proyectar dicha intersección en el plano xy, obtenemos lo que se denomina curva de nivel. Todos estos puntos tienen el mismo valor para la coordenada z, es decir, z = k.
Curvas de nivel Por lo tanto todos esos puntos están a la misma altura sobre el plano xy, o sea que están “al mismo nivel” Cuando comparamos una superficie z = f(x, y) con una montaña Las curvas de nivel corresponde a la repreentacion en dos dimensiones por medio de un mapa, donde se dibujan los contornos indicando cual es la altura en las coordenadas (x, y) de dicho contorno
Curvas de nivel La función z = x² + y². Tomando k > 0, la curva de nivel correspondiente a z = k es la circunferencia x² + y² = k tomando k = 0 la curva de nivel corresponde a la descrita por los puntos (x, y) tales que x² + y² = 0 (que corresponde ´únicamente al punto (0, 0) 1
Curvas de nivel Ejercicios Esboce una grafica de las curvas de nivel de las siguientes superficies z = f(x, y), considerando k = 0, k = 1, k = 3 y k = 4 a) z = x2 − y2 b) z = xy c) z = x + y d) z = y · cos(x) e) z = x/ y
Sección transversal de funciones Ejemplo Vamos a calcular la sección transversal, para x = 2, de la función f(x, y) = x² + y². Solución: Tal y como se observa en la Figura, la sección transversal es la curva obtenida al cortar la grafica de f(x, y) con el plano vertical de ecuación x = 2.
Sección transversal de funciones La sección transversal es, precisamente, f(2, y) = 4+y². Por tanto es una función de y, digamos g, definida como g(y) = 4+y². Es una parábola simétrica respecto del eje x.
Sección transversal de funciones En general, obtenemos las secciones transversales de f como funciones de y haciendo x = c en f(x, y). Las secciones son, por tanto, gc(y) = c² + y², c ∈ R.
Sección transversal de funciones Ejercicios a) Calcular las secciones transversales, primero fijando la variable x y después la variable y, de la función escalar f(x, y) = x2 − y2. (Sol.: gb(x) = x2 − b2, gc(y) = c2 − y2) ) b) Calculemos las curvas de nivel de la función escalar z = 4−x−y cuya gráfica es un plano Haciendo z = c 4 − x − y = c, c ∈ R obtenemos una familia de rectas paralelas tal y como se observa en la Fig.
Composición de funciones Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g, una nueva función llamada la “compuesta de f y g”. Sean y dos funciones donde coincide el dominio de la segunda con el codominio de la primera. Aunque solo es suficiente que solo sea una parte de él, es decir (Ver fig. 13.).
Composición de funciones La composición de las funciones f y g, f: A ---------- B g:B ------------ D denotada por (g o f) es la función: g o f : A ------------ D
EJEMPLO FUNCIONES DE DOS VARIABLE • Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. • Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. • Decidimos invertir un máximo de 130.000 euros en las del tipo A y como mínimo 60.000 en las del tipo B. • Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B. • ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual?
EJEMPLO • Solución • Llamamos x a la cantidad que invertimos en acciones de tipo A. • Llamamos y a la cantidad que invertimos en acciones de tipo B.
EJEMPLO • Dibujamos las rectas auxiliares asociadas a las restricciones para conseguir el conjunto de puntos que cumplen esas condiciones: • R1 R2 paralela eje Y R3 paralela eje X R4
EJEMPLO • La región factible es la pintada de amarillo, de vértices A, B, C, D y E
EJEMPLO • A(0, 60000), B(120000, 60000), C(130000, 65000), D(130000, 80000) y E(0, 210000) • La función objetivo es; • F(x, y)= 0,1x+0,08y • Si dibujamos la curva F(x, y) =0 (en rojo) y la desplazamos se puede comprobar gráficamente que el vértice mas alejado es el D, y por tanto es la solución óptima. • Comprobarlo analíticamente (es decir comprobar que el valor máximo de la función objetivo, F, se alcanza en el vértice D)
Otro ejemplo • Solución • Llamamos x al nº de autocares de 40 plazas e y al nº de autocares de 50. • Entonces se tiene x ≤ 8, y ≤ 10 • Como sólo hay 9 conductores se verifica que: x +y ≤ 9 • Como tienen que caber 400 alumnos se debe de verificar: • 40x +50y ≥ 400, que simplificada quedaría 4 x +5y ≥ 40 • Las restricciones que nos van a permitir calcular la región factible son
Otro ejemplo • La función es F(x, y)= 60x+ 80y • Dibujamos las rectas auxiliares, • r1 r2 r3 r4 • Así como la de que corresponde a F(x, y)=0 que se dibuja en rojo. • Teniendo en cuenta las restricciones ( la de R4 es la parte de arriba y que la R3 es la parte de abajo), se encuentra la región factible. En el dibujo es la parte amarilla.
Otro ejemplo • Los vértices son (0, 8), (0, 9) y el (5, 4), este último es el punto de intersección de las rectas r3 y r4 por reducción • restando ambas ecuaciones se tiene x =5 y sustituyendo en la 1ª ecuación, y =4 • Resolviendo gráficamente se llega a que el punto (5, 4) es la solución del problema. La solución óptima . • Comprobarlo sustituyendo en F(x, y) todos los vértices y que este es el que da menor valor (método analítico).
