DANE INFORMACYJNE

2. DANE INFORMACYJNE • *Nazwa szkoły: • ZS nr. 1 Im. Noblistów Polskich w Pyrzycach • *ID grupy: • 97/30_mf_g1 • *Kompetencja: • Matematyczno-Fizyczna • *Temat projektowy: • „Metody kombinatoryczne w rachunku prawdopodobieństwa” • *Semestr/rok szkolny: • III/2011/2012

3. Metody kombinatoryki w rachunku prawdopodobieństwa

4. Wzory i terminy, które będziemy stosować Wariacje z powtórzeniami k wyrazową wariacją z powtórzeniami ze n-elementowego zbioru (n > k) nazywamy każdy k wyrazowy ciąg elementów z tego zbioru. Przykład: Wariacją 3 elementową z 24 elementowego zbioru byłby każdy wyraz (sensowny, prawdziwy, lub nie) jaki daje się ułożyć z 24 liter podstawowych alfabetu. Wchodziłyby tu takie wyrazy jak ala, aaa, huk, bbu tip. Ilość k wyrazowych wariacji z powtórzeniami równa jest: nk Przykład: Ilość wariacji (możliwych ułożeń wyrazów) dla przykładu z wyrazami liter alfabetu - jak obok wyniesie: 243 = 13 824.

5. Wariacje bez powtórzeń k wyrazową wariacją bez powtórzeń z n-elementowego zbioru (n > k) nazywamy każdy k wyrazowy ciąg elementów, którego wyrazy są różnymi elementami z tego zbioru. Przykład: Wariacją 3 elementową bez powtórzeń z 24 elementowego zbioru byłby każdy wyraz (sensowny, prawdziwy, lub nie) jaki daje się ułożyć z 24 liter wybranych z kompletu scrabble. W odróżnieniu od przykładu dla wariacji z powtórzeniami, tutaj nie da się w tym samym wyrazie użyć drugi raz tej samej litery. Ilość k wyrazowych wariacji bez powtórzeń równa jest: Przykład: Ilość możliwych ułożeń wyrazów 3 literowych z 24 liter scrabble jest równa: 24 · (24-1) · (24 -2) = 24 · 23 · 22 = 12 144

6. Permutacje bez powtórzeń Permutacją bez powtórzeń n - elementowego zbioru nazywamy każdy ciąg (n - elementowy) zawierający wszystkie elementy z tego zbioru. Przykład: Permutacją 3 elementową bez powtórzeń byłoby każde ułożenie w wyraz 3 literek wyciągniętych z kompletu scrabble. Zakładamy, że literek tych nie da się wymieniać na inne. Ilość permutacji bez powtórzeń wynosi : n! Przykład: Ilość możliwych ułożeń wyrazów z 3 liter scrabble jest równa: 3! = 1 · 2 · 3 = 6

7. Kombinacje bez powtórzeń k elementową kombinacją bez powtórzeń zbioru A nazywamy: każdy k elementowy podzbiór zbioru A. Przykład: Kombinacją 5 elementową bez powtórzeń ze zbioru 7 elementowego byłoby każde wylosowanie 5 literek wyciągniętych z woreczka scrabble zawierającego 7 (różnych) literek. Zakładamy, że nie interesuje nas kolejność losowania (czy tez ustawiania w ciąg) tych liter i dlatego wyciągnięcie "a" za pierwszym, drugim, czy innym razem jest traktowane jako to samo losowanie, o ile tylko pozostałe litery w wylosowanym zestawie będę też takie same. Ilość k elementowych kombinacji zbioru zawierającego n elementów dana jest symbolem Newtona, czyli wynosi: Przykład: Ilość możliwych wyciągnięć (różnych) literek z woreczka scrabble zawierającego 7 kostek wynosi:

8. Dla uproszecznia przyjmijmy, że rozważamy kombinacje z powtórzeniami zbioru {0,1,2,…,n-1} Każdej k-elementowej kombinacji z powtórzeniami możemy przypisać bijektywnie ciąg złożony z k jedynek i n-1 zer, przy czym każda jedynka odpowiada obecności w kombinacji liczby zer występujących w ciągu przed tą jedynką. Szukana liczba jest zatem liczbą możliwości rozmieszczenia k jedynek na n+k-1 miejscach, wynosi zatem ( n+k-1 (na mocy wzoru na liczbę kombinacji bez powtórzeń). Najmniej jasne jest chyba wytłuszczone sformułowanie, więc może przykład. Bierzemy zbiór {0,1,2,3,4}. Tutaj n=5 . Zapisujemy dowolny ciąg złożony z k=3 jedynek i n-1=4 zer, np. (1,1,0,0,1,0,0). Ten ciąg jednoznacznie wyznacza pewną kombinację 3-elementową zbioru 5-elementowego {0,1,2,3,4} w następujący sposób: -przed pierwszą jedynką jedynką jest zero zer, zatem wrzucamy zero do wyznaczanej kombinacji -przed drugą jedynką jedynką jest zero zer, zatem wrzucamy zero do wyznaczanej kombinacji -przed trzecią jedynką jedynką są dwa zera, zatem wrzucamy dwójkę do wyznaczanej kombinacji Ostatecznie kombinacją, którą wyznacza podany ciąg, jest {0,0,2}.

9. Jeżeli z określonych elementów mamy wybrać kilka i może się zdarzyć, że wybrane elementy będą się powtarzały, wówczas należy skorzystać z wariacji z powtórzeniami. Przykład 1: Na ile sposobów możemy uzyskać różne wyniki, przy rzucie dwiema różnymi kostkami? Rozwiązanie: n=6, k=2 Może się tak zdarzyć, że na obu kostkach wypadnie ta sama liczba oczek, zatem uznajemy, że elementy mogą się powtarzać. W tego typu zadaniach należy wiedzieć, że aby odpowiedź była poprawna zakładamy, że te same układy oczek, ale na różnych kostkach, dają inne wyniki, np. (1,5) czy (5,1). W pierwszej sytuacji 1 wypadła na pierwszej kostce natomiast 5 na drugiej. Następna sytuacja pokazuje, że oczka wypadły odwrotnie.

10. Z talii 52 kart losujemy bez zwracania dwie karty. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch króli. Przykładowe zadania z wykorzystaniem prawdopodobieństwa. Odp. Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch króli wynosi 1/221.

11. W klasie IIIA jest 15 chłopców i 15 dziewcząt, w klasie IIIb jest 9 chłopców i 21 dziewcząt.Rzucamy kostką: Jeśli wypadnie szóstka, to losujemy jedną osobę z klasy IIIa, w przeciwnym razie losujemy jedną osobę z klasy IIIB. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wylosowaną osobą będzie dziewczyna. Zadanie z wykorzystaniem doświadczeń wieloetapowych Odp. Prawdopodobieństwo tego, ze wylosowana osobą będzie dziewczyna wynosi 2/3.

12. Ile może być numerów rejestracyjnych mających na początku ZPY, a następnie 4 losowe cyfry i jedną dowolną literę?( litery i cyfry mogą się powtarzać. Zadanie z wykorzystaniem reguły mnożenia