Dynamique d’une dune solitaire dans une cuve de Hele-Shaw

1. Dynamique d’une dune solitaire dans une cuve de Hele-Shaw Pierre Trochet Présentation de PPL Le 1er septembre 2005 Université Paris VI Université Paris Sud Techniques Avancées

2. Introduction (1/2) • Dunes aériennes ou sous-marines • Elles existent sur Terre mais aussi sur Mars • Dynamique complexe et encore peu connue

3. Introduction (2/2) • Ici, étude 2D dans une cuve de Hele-Shaw : Ordres de grandeur : b = 2 mm, Lc = 50 cm, Hc = 15 cm, Lb = 6 cm, Uo = 24.7 cm/s Vitesse dans le désert : ~40 m/an, dans notre cuve : ~3cm/min

4. Plan de la présentation • Introduction • Modélisation dans une cuve de Hele-Shaw • Résolution numérique • Expériences en laboratoire • Conclusion et perspectives

5. Modélisation Démarche générale : • Résolution des équations de Navier-Stokes pour le fluide. • Le profil de vitesses donne le frottement sur la bosse. • On relie le frottement au flux de particules en suspension. • Par une loi de conservation, on a la relation entre la hauteur de la bosse et le flux.

6. Équations de Navier-Stokes (1/3) Hypothèses de départ : • Fluide (eau) incompressible, visqueux et en écoulement laminaire. • Bosse de hauteur petite devant sa longueur (α <<1). • Profil de vitesses de Poiseuille selon la coordonnée z et vitesse selon z négligeable. • Pas de gravité.

7. Équations de Navier-Stokes (2/3) On injecte alors ces formes dans les équations de Navier-Stokes et on intègre selon z entre –b/2 et b/2.

8. Équations de Navier-Stokes (3/3) En adimensionnant avec : Il vient (moyenne des équations) :

9. Solution fluide parfait (Re>>1) Condition limite : Après passage dans l’espace de Fourier, il vient :

10. Solution de couche limite On pose : Par P.M.D. : D’où : Condition limite : Raccordement :

11. Résolution du problème complet (1/2) • Apparition d’une singularité de GoldsteinPour α ~ 0.23, valeur du frottement ~ 0=> épaisseur de couche limite « infinie » • Solution : théorie de la triple couche=> permet de contourner le problème

12. Résolution du problème complet (2/2) Ici, on se limite à la « couche limite interactive » : La couche limite peut « rétroagir » sur le fluide parfait. => Il faut modifier la forme de la perturbation de Ue

13. Relation d’Exner • Relie la hauteur de la bosse et le flux de particules. • L’adimensionnemnent donne accès à un temps de déplacement de la dune :

14. Relation flux/frottement On définit un flux saturé : On reprend la relation d’Andreotti et coll. : Soit :

15. Résolution numérique • 2 méthodes pour le fluide : • Résolution d’un système linéaire par transformée de Fourier rapide. • Résolution du système complet par l’algorithme de Keller-Box. • Pour la bosse, utilisation d’un schéma explicite. (Prise en compte d’un arrachement maximal)

16. Exemple sur un cas concret • On prend : • Ce qui donne : • On définit une vitesse pour la dune : . Ici, d’où :

17. Bosse, vitesse extérieure, frottement

18. Bosse, couche limite, frottement, bosse prolongée

19. Bosse et valeur du flux de particules (Grandeurs adimensionnées)

20. Comparaison des deux méthodes de résolution (vitesse extérieure)

21. Comparaison des deux méthodes de résolution (frottement)

22. Résultats numériques (1/5)

23. Résultats numériques (2/5)

24. Résultats numériques (3/5)

25. Résultats numériques (4/5)

26. Résultats numériques (5/5)

27. Expériences en laboratoire • Mesure de longueurs, hauteurs et vitesses sur une dune en mouvement. • La hauteur, la longueur et l’inverse de la vitesse évoluent en fonction de la masse comme vu précédemment. (résultats non personnels).

28. Conclusion et perspectives • Théorie inspirée de l’expérience : peut-être affinée en jouant sur les coefficients. • Partie numérique : résolution « fluide » satisfaisante, résolution bosse perfectible. • Partie expérimentale : la plus importante > inventer de nouvelles expériences pour lsat, Qsat,... > ou faire de nombreuses simulations pour être le plus près possible de l’expérience.