CHAPTER 6

1. CHAPTER 6 그래프

2. C C c g d g c d A e Kneiphof D A D e a b a f b f B B 6. 그래프(Graph) 그래프의 개요 • Koenigsberg(퀘닉스버그) 다리 문제를 해결하기 위해 Euler(오일러)가 처음 사용-7개의 다리를 한번씩만 지나서 원래 위치로 되돌아오는 방법 • 최단거리, 연구계획 분석, 전기회로 분석 등

3. 6.1 그래프의 정의 • 그래프 G는 공집합이 아닌 정점(Vertex)들의 유한집합과 공집합도 허용되는 간선(Edge)들의 유한집합으로 구성 • G = ( V, E ) • V(G) : 공집합이 아닌 정점(vertex)들의 유한집합 • E(G) : 간선(edge)들의 집합 1) 방향그래프(digraph, directed graph) • 각 간선은 방향성을 가진 정점들의 쌍으로 표현 • 간선의 표기 • <v1, v2> • v1 : tail, v2 : head 2) 무방향그래프 • 정점의 쌍에 순서는 의미가 없다. • (undirected graph)에서의 간선의 표기 • (v1, v2)

4. 1 1 1 2 3 2 3 2 4 4 5 6 7 3 G1 G2 G3 6.1 그래프의 정의(계속) • V(G1) = { 1, 2, 3, 4} E(G1) = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)} • V(G2) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} E(G2) = {(1,2), (1,3), (2,4), (2,5), (3,6), (3,7)} • V(G3) = {1, 2, 3} E(G3) = {<1,2>, <2,1>, <2,3>}

5. 그래프의 용어 • 인접(adjacent) 간선(v1, v2)가 E(G)에 있는 간선이면, v1과 v2는 인접한 것이다. • 부속,교차(incident) v1과 v2가 인접하였을때 간선 (v1, v2)는 정점 v1과 v2에 부속된 것이다. • 경로(path) 임의 정점에서 다른 정점에 이르는 길 • 단순 경로(simple path) 한 경로상에 있는 모든 정점들이 서로 다른 경로 • 사이클(cycle) 처음과 마지막 정점이 같은 단순경로 (A→B→C→A) • 연결(connected) 무방향그래프 G에서 정점 v1에서 부터 v2에 이르는 경로가 존재하면 v1과 v2는 연결되었다.

6. 1 5 1 1 2 3 6 7 2 2 3 4 8 그래프의 용어(계속) • 연결그래프(connected graph) 임의의 vi, vj에 대해 경로가 있음 • 단절그래프(disconnected graph) • 연결요소(connected component) 최대 연결 서브그래프(Maximal Connected Subgraph) • 트리(tree) : 사이클이 없는 연결 그래프 • 강력연결 그래프(strongly connected graph) 방향그래프 G에서 V(G)에 속한 상이한 두 정점 vi, vj 의 모든 쌍에 대하여 vi에서 vj로, 또한 vj에서 vi로 방향 경로가 존재하는 그래프

7. 1 1 2 3 2 3 4 4 그래프의 용어(계속) • 차수 정점에 부속된 간선들의 수 • 진입차수(in-degree) 방향그래프 G에서 임의 정점 v가 머리(head)가 되는 간선들의 수 • 진출차수(out-degree) 방향그래프 G에서 임의 정점 v가 꼬리(tail)가 되는 간선들의 수 • 다중그래프(multi-graph) 두 정점 사이에 두개 이상의 간선이 존재하는 그래프 • 완전그래프(complete graph) n개의 정점으로 구성된 무방향 그래프에서 간선 수가 최대인 그래프 • 최대 간선수 : n(n - 1)/2

8. 1 1 1 2 3 2 3 4 그래프의 용어(계속) • 부그래프(subgraph) V(G’)V(G)이고, E(G’) E(G)인 그래프 G’를 그래프 G의 부그래프 • 방향 비사이클 그래프(DAG : directed acyclic graph) 사이클이 없는 방향 그래프

9. 6.2 그래프 표현법 인접행렬 2차원 배열을 만들어서 간선이 존재하는 부분을 '1'로 저장하여 그래프를 표현하는 방법 • 정점 수만큼의 행과 열로 구성된 정방 행렬 • 무방향그래프에서 정점 i의 차수는 그 행의 합이다. • 방향그래프에서 정점 i의 • 진출차수는 그 열의 합 • 집입차수는 그 행의 합 A B C A B C A B C D A B C D

10. 6.2 그래프의 표현 인접리스트 • 그래프의 각 정점에 대해 한 개의 연결 리스트가 존재. • 정점이 n개이고 간선이 e개이면, n개의 'head node'와 (2 * e)개의 리스트 노드가 필요. • 진출차수(out-degree) : 인접리스트의 노드의 수 • 진입차수(in-degree) : 역인접리스트의 노드의 수

11. 6.2 그래프의 표현 • 역인접리스트 : 방향그래프에서 각 정점에 대해 그 정점으로 들어오는 연결선과 인접한 정점들로 구성된 리스트 • 리스트 노드구조로 변환

12. 6.2 그래프의 표현 인접 다중리스트 • 여러 리스트들이 노드 공유 • 무방향 인접리스트 표현에서 간선(vi, vj)는 2개의 항으로 표현 • vi와 vj에 대한 리스트 • M : 간선 조사 여부에 대한 마크 필드

13. 6.3 그래프 연산 (1) 그래프 탐색/순회 ① 깊이 우선 탐색 ( Depth First Search ) • 알고리즘

14. 6.3 그래프 연산 DFS • 인접리스트에서의 DFS => V0, V1, V3, V7, V4, V5, V2, V6, • 깊이 우선 탐색의 실행결과 깊이 우선 스패닝 트리(Spanning Tree)가 만들어진다.

15. 6.3 그래프 연산 DFS

16. 6.3 그래프 연산 (1) 그래프 탐색/순회 ② 너비우선 탐색 ( Breadth First Search ) • 알고리즘

17. 6.3 그래프 연산 BFS • 인접리스트에서의 BFS => V0, V1, V2, V3, V4, V5, V6, V7 • 너비 우선 탐색의 실행결과 너비 우선 스패닝 트리(Spanning Tree)가 만들어진다.

18. 6.3 그래프 연산 BFS

19. 그래프 용어 • 스패닝 트리(Spanning Tree) : 그래프 G의 간선들로만 구성되고 G의 모든 정점들을 포함한 트리 • Articulation Point : 그래프 G의 정점들 중에서 그 정점을 부속된 간선들과 같이 삭제하면 최소한 두 개의 연결 컴포넌트를 갖는 그래프 G'를 생성하는 정점 v • 다음 그래프에서 1과 3이 articulation point 이다 • Articulation point를 갖지 않는 연결 그래프를 biconnected graph라고 한다.

20. 6.4 최소 스패닝 트리(Minimum Spanning Tree) • Spanning Tree • 모든 정점들을 사이클없이 최소한의 연결선으로 구성된 그래프 • T에 있는 간선들과 G의 모든 정점들로 구성된 트리 • T : 탐색중에 순회된 간선들의 집합 • B : 나머지 간선들의 집합 • T에 있는 간선들은 G의 모든 정점을 포함하는 트리를 형성 Spanning tree

21. 6.4 최소 스패닝 트리(Minimum Spanning Tree) • Minimum Cost Spanning Tree • 가중치가 부여된 그래프에서 최소비용(혹은 최대이익)을 나타낼 수 있도록 구성된 신장트리 • Kruskal 알고리즘 E = edge집합 MST = {    } while( ((n-1)개 edge가 포함) && (Edge집합 != NULL) ) ⅰ) 최저비용 edge (u, v) 선택, Edge집합에서 (u, v)제거 ⅱ) if( (u, v)가 기존 MST에 cycle을 형성하지 않음 )       then (u, v)을 MST에 추가 then (u, v)을 버림 if(MST가 (n-1)개 edge를 포함하지 않음)   then "No Spanning Tree"

22. 6.4 최소 스패닝 트리(Minimum Spanning Tree) Kruskal 알고리즘으로 최소 스패닝 트리를 구현

23. 6.4 최소 스패닝 트리(Minimum Spanning Tree) 2) Prim 알고리즘 G=(V, E) A : set of chosen edges S : subset of nodes which are in the connected component 알고리즘 1. (u, v) : shortest edge    A={(u, v)}    S={u, v} 2. while |S|<|V| do    1) (x, y) 선택 ⅰ) x∈S      ⅱ) y∈V-S      ⅲ) shortest edge && (ⅰ), (ⅱ)만족 2) A=A∪{(x, y)}      S=S∪{y}

24. 6.4 최소 스패닝 트리(Minimum Spanning Tree) Prim알고리즘으로 최소 스패닝 트리를 구현

25. 6.5 최단경로(Shortest Path) (1) 하나의 출발점으로부터의 최단 경로 정점 v0에서 정점 v1 에 도달하는 가장 짧은 경로는? • (v0 v2 v3 v1)=45 • 인접행렬

26. 6.5 최단경로(Shortest Path) • 최단 경로 알고리즘 G=(V, E) C(Vi , Vj ) : edge cost from Vi to Vj d(Vi ) : the cost of the shortest path from V0 to Vi S={V0 }  /* 최단 경로에 포함된 vertex */ d(V0 ) = 0 for[each v ∈ v - {V0 }] do d(v)=c(V0, v ) while S≠V do   choose a vertex w∈V-S ∃ d(w) is a minimum;   S=S∪{w}   for each v∈V-S do d(v)=min{d(v), d(w)+c(w, v)}

27. 6.5 최단경로(Shortest Path) (2) 모든 쌍의 최단 경로 정점 i에서 정점 j로의 최단 경로를 구하는 알고리즘 Find the shortest path from node i to node j Give G=(V, E) : a graph that has no cycle with negative edge cost (G may have a cycle with positive edge cost) Cij : the edge cost from node i to node j Aij : the path cost from node i to node j Aijk : the cost of a shortest path from to           where the path only uses {1, 2, …, k} as intermediate nodes  Aijk = Cij Aijk = min{Aijk-1 , Aikk-1 + Akjk-1 }, for k=1, 2, …, n

28. 6.5 최단경로(Shortest Path) (2) 모든 쌍의 최단 경로 정점 i에서 정점 j로 가는 최단 경로를 구하는 과정

29. 6.6 작업 네트워트(Activity Network) • AOV(Activity On Vertex) 네트워크 • 정점이 작업을 나타내고 간선이 작업사이의 선행관계를 나타내는 방향그래프

30. 6.6 작업 네트워트(Activity Network) • AOE(Activity On Edge) 네트워크 • 간선은 수행되어야 할 작업과 시간을 나타내고, 정점은 작업의 완료를 알리는 사건을 나타내고, 각 사건은 그에게 들어오는 모든 작업이 완료될때 일어난다. • 임계경로(Critical Path) : AOE 네트워크로부터 프로젝트를 완료하는데 걸리는 시간, 즉 시작에서 종료까지의 최장거리

31. v7 a10=2 a7=9 v2 a4=1 a1=6 v9 v5 a8=7 a11=4 a5=1 v1 a2=4 v3 v8 a3=5 a9=4 a6=2 v4 v6 6.6 작업 네트워트(Activity Network) • 임계경로(Critical path) • 작업 공정 그래프의 경우 한 작업의 공정이 다른 작업에 직접적인 영향을 주게 될 때, 주로 작업에 직접적으로 영향을 주는 경로 • 작업을 완료하는 최소시간인 가장 긴 경로 • v5까지 임계경로 : v1 v2 v5 • v8까지 임계경로 : v1 v2 v5 v8 • v9까지 임계경로 : v1 v2 v5 v7 v9혹은 v1 v2 v5 v8 v9 <작업공정에 대한 AOE network 에 대한 임계경로>

32. 임계작업(critical path) 구하는 방법 • Earlist time : 사건 vi가 일어날 가장 이른 시간 v0에서 vi까지 최장 거리 모든 ai 에 대하여 earlist time 구함 • latest time: 작업 a 에 대하여 프로젝트의 완료를 지연시키지 않고 가장 늦게 작업을 시작할 수 있는 시간 • earlist time = latest time 이면 임계작업