1 / 41

Q uão difícil é comunicar?

Q uão difícil é comunicar?. Andreia Teixeira 27 de Maio. Complexidade de Comunicação. x. y. f ( x,y )=?. Um Protocolo Simples. x. f(x,y) = z. Quantos bits são necessários para esta comunicação?. log |X| + log |Z| bits. Complexidade de Comunicação. f: X  Y → {0,1}

kaya
Download Presentation

Q uão difícil é comunicar?

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Quão difícil é comunicar? Andreia Teixeira 27 de Maio

  2. Complexidade de Comunicação x y f(x,y)=?

  3. Um Protocolo Simples x f(x,y) = z Quantos bits são necessários para esta comunicação? log |X| + log |Z| bits

  4. Complexidade de Comunicação f: X  Y → {0,1} Um protocolo P de domínio X  Y e contra-domínio {0,1} é uma árvore binária, onde cada nó é etiquetado por uma função av : X → {0,1} ou por uma função bv : Y → {0,1} e cada folha é etiquetada com um elemento z  {0,1}. Exemplo: X = {x, x’, x’’, x’’’} Y = {y, y’, y’’, y’’’}

  5. O Protocolo a1(x)=0 a1(x’)=0 a1(x’’)=1 a1(x’’’)=1 0 1 b2(y)=0 b2(y’)=0 b2(y’’)=0 b2(y’’’)=1 b3(y)=1 b3(y’)=0 b3(y’’)=0 b3(y’’’)=0 0 1 0 1 O O 1 a4(x)=0 a4(x’)=0 a4(x’’)=0 a4(x’’’)=1 0 1 1 O O

  6. O Protocolo a1(x)=0 a1(x’)=0 a1(x’’)=1 a1(x’’’)=1 0 1 b2(y)=0 b2(y’)=0 b2(y’’)=0 b2(y’’’)=1 b3(y)=1 b3(y’)=0 b3(y’’)=0 b3(y’’’)=0 0 1 0 1 O O 1 a4(x)=0 a4(x’)=0 a4(x’’)=0 a4(x’’’)=1 0 1 1 O O

  7. O Protocolo a1(x)=0 a1(x’)=0 a1(x’’)=1 a1(x’’’)=1 0 1 b2(y)=0 b2(y’)=0 b2(y’’)=0 b2(y’’’)=1 b3(y)=1 b3(y’)=0 b3(y’’)=0 b3(y’’’)=0 0 1 0 1 O O 1 a4(x)=0 a4(x’)=0 a4(x’’)=0 a4(x’’’)=1 0 1 1 O O

  8. O Protocolo a1(x)=0 a1(x’)=0 a1(x’’)=1 a1(x’’’)=1 0 1 b2(y)=0 b2(y’)=0 b2(y’’)=0 b2(y’’’)=1 b3(y)=1 b3(y’)=0 b3(y’’)=0 b3(y’’’)=0 0 1 0 1 O O 1 a4(x)=0 a4(x’)=0 a4(x’’)=0 a4(x’’’)=1 0 1 1 O O

  9. O Protocolo a1(x)=0 a1(x’)=0 a1(x’’)=1 a1(x’’’)=1 0 1 b2(y)=0 b2(y’)=0 b2(y’’)=0 b2(y’’’)=1 b3(y)=1 b3(y’)=0 b3(y’’)=0 b3(y’’’)=0 0 1 0 1 O O 1 a4(x)=0 a4(x’)=0 a4(x’’)=0 a4(x’’’)=1 0 1 1 O O

  10. O Protocolo a1(x)=0 a1(x’)=0 a1(x’’)=1 a1(x’’’)=1 0 1 b2(y)=0 b2(y’)=0 b2(y’’)=0 b2(y’’’)=1 b3(y)=1 b3(y’)=0 b3(y’’)=0 b3(y’’’)=0 0 1 0 1 O O 1 a4(x)=0 a4(x’)=0 a4(x’’)=0 a4(x’’’)=1 0 1 O custo do Protocolo para o input (x’’,y) é o tamanho do caminho percorrido: 2. 1 O O

  11. Complexidade de Comunicação O custo de um protocolo P , DP f, corresponde à altura da árvore binária associada ao protocolo. Para uma função f: X  Y  {0,1}, a complexidade de comunicação, D(f), (determinística) de f é o min {DP f : P é um protocolo para f}. Para toda a função f: X  Y  {0,1}, D(f) ≤ log |X| + 1.

  12. Rectângulos Combinatórios Dado um conjunto finito R, um rectângulo combinatório é um conjunto A  B, onde A e B são subconjuntos de R. Um rectângulo combinatório A  B é denominado z-monocromático se tem o mesmo valor z (0 ou 1) para todo o a  A e b  B.

  13. Rectângulos Combinatórios Qualquer protocolo P para uma função f induz uma partição de X  Y em rectângulos z-monocromáticos (z  {0,1}). O número destes rectângulos é igual ao número de folhas de P.

  14. O Protocolo a1(x)=0 a1(x’)=0 a1(x’’)=1 a1(x’’’)=1 0 1 b2(y)=0 b2(y’)=0 b2(y’’)=0 b2(y’’’)=1 b3(y)=1 b3(y’)=0 b3(y’’)=0 b3(y’’’)=0 0 1 0 1 O O 1 a4(x)=0 a4(x’)=0 a4(x’’)=0 a4(x’’’)=1 0 1 1 O O

  15. O Protocolo a1(x)=0 a1(x’)=0 a1(x’’)=1 a1(x’’’)=1 0 1 b2(y)=0 b2(y’)=0 b2(y’’)=0 b2(y’’’)=1 b3(y)=1 b3(y’)=0 b3(y’’)=0 b3(y’’’)=0 0 1 0 1 O O 1 a4(x)=0 a4(x’)=0 a4(x’’)=0 a4(x’’’)=1 0 1 1 O O

  16. O Protocolo a1(x)=0 a1(x’)=0 a1(x’’)=1 a1(x’’’)=1 0 1 b2(y)=0 b2(y’)=0 b2(y’’)=0 b2(y’’’)=1 b3(y)=1 b3(y’)=0 b3(y’’)=0 b3(y’’’)=0 0 1 0 1 O O 1 a4(x)=0 a4(x’)=0 a4(x’’)=0 a4(x’’’)=1 0 1 1 O O

  17. O Protocolo a1(x)=0 a1(x’)=0 a1(x’’)=1 a1(x’’’)=1 0 1 b2(y)=0 b2(y’)=0 b2(y’’)=0 b2(y’’’)=1 b3(y)=1 b3(y’)=0 b3(y’’)=0 b3(y’’’)=0 0 1 0 1 O O 1 a4(x)=0 a4(x’)=0 a4(x’’)=0 a4(x’’’)=1 0 1 1 O O

  18. O Protocolo a1(x)=0 a1(x’)=0 a1(x’’)=1 a1(x’’’)=1 0 1 b2(y)=0 b2(y’)=0 b2(y’’)=0 b2(y’’’)=1 b3(y)=1 b3(y’)=0 b3(y’’)=0 b3(y’’’)=0 0 1 0 1 O O 1 a4(x)=0 a4(x’)=0 a4(x’’)=0 a4(x’’’)=1 0 1 1 O O

  19. O Protocolo a1(x)=0 a1(x’)=0 a1(x’’)=1 a1(x’’’)=1 0 1 b2(y)=0 b2(y’)=0 b2(y’’)=0 b2(y’’’)=1 b3(y)=1 b3(y’)=0 b3(y’’)=0 b3(y’’’)=0 0 1 0 1 O O 1 a4(x)=0 a4(x’)=0 a4(x’’)=0 a4(x’’’)=1 0 1 1 O O

  20. O Protocolo a1(x)=0 a1(x’)=0 a1(x’’)=1 a1(x’’’)=1 0 1 b2(y)=0 b2(y’)=0 b2(y’’)=0 b2(y’’’)=1 b3(y)=1 b3(y’)=0 b3(y’’)=0 b3(y’’’)=0 0 1 0 1 O O 1 a4(x)=0 a4(x’)=0 a4(x’’)=0 a4(x’’’)=1 0 1 1 O O

  21. O Protocolo a1(x)=0 a1(x’)=0 a1(x’’)=1 a1(x’’’)=1 0 1 b2(y)=0 b2(y’)=0 b2(y’’)=0 b2(y’’’)=1 b3(y)=1 b3(y’)=0 b3(y’’)=0 b3(y’’’)=0 0 1 0 1 O O 1 a4(x)=0 a4(x’)=0 a4(x’’)=0 a4(x’’’)=1 0 1 1 O O

  22. O Protocolo a1(x)=0 a1(x’)=0 a1(x’’)=1 a1(x’’’)=1 0 1 b2(y)=0 b2(y’)=0 b2(y’’)=0 b2(y’’’)=1 b3(y)=1 b3(y’)=0 b3(y’’)=0 b3(y’’’)=0 0 1 0 1 O O 1 a4(x)=0 a4(x’)=0 a4(x’’)=0 a4(x’’’)=1 0 1 1 O O

  23. O Protocolo a1(x)=0 a1(x’)=0 a1(x’’)=1 a1(x’’’)=1 0 1 b2(y)=0 b2(y’)=0 b2(y’’)=0 b2(y’’’)=1 b3(y)=1 b3(y’)=0 b3(y’’)=0 b3(y’’’)=0 0 1 0 1 O O 1 a4(x)=0 a4(x’)=0 a4(x’’)=0 a4(x’’’)=1 0 1 1 O O

  24. O Protocolo a1(x)=0 a1(x’)=0 a1(x’’)=1 a1(x’’’)=1 0 1 b2(y)=0 b2(y’)=0 b2(y’’)=0 b2(y’’’)=1 b3(y)=1 b3(y’)=0 b3(y’’)=0 b3(y’’’)=0 0 1 0 1 O O 1 a4(x)=0 a4(x’)=0 a4(x’’)=0 a4(x’’’)=1 0 1 1 O

  25. Exemplo a1(x)=0 a1(x’)=0 a1(x’’)=0 a1(x’’’)=1 0 1 b2(y)=0 b2(y’)=1 b2(y’’)=0 b2(y’’’)=0 b3(y)=1 b3(y’)=0 b3(y’’)=1 b3(y’’’)=0 0 1 0 1 a4(x)=0 a4(x’)=0 a4(x’’)=1 a4(x’’’)=1 1 O 1 0 1 1 O

  26. Propriedades Seja P um protocolo e v um nó da árvore associada ao protocolo. Rv é o conjunto dos inputs (x,y) que alcançam o nó v. Se L é o conjunto das folhas de um protocolo P, então {Rl}lЄL é uma partição de X  Y. R ⊆ X  Y é um rectângulo se e só se (x1,y1)  R e (x2,y2)  R ⇒ (x1,y2)  R

  27. Propriedades Seja P um protocolo e v um nó da árvore associada ao protocolo. Rv é o conjunto dos inputs (x,y) que alcançam o nó v. Se L é o conjunto das folhas de um protocolo P, então {Rl}lЄL é uma partição de X  Y. R ⊆ X  Y é um rectângulo se e só se (x1,y1)  R e (x2,y2)  R ⇒ (x1,y2)  R

  28. Minorante da D(f) Se qualquer partição de X  Y em rectângulos monocromáticos necessita de pelo menos t rectângulos então D(f) ≥ ⌈log t⌉.

  29. Técnicas • Conjuntos Enganadores • Tamanho dos Rectângulos • Característica da Matriz

  30. Conjuntos Enganadores Seja f: X  Y → {0,1}. Um conjunto S ⊂ X  Y é denominado de conjunto enganador (para f) se existe um valor z {0,1} tal que • Para todo (x,y)  S, f(x,y) = z. • Para dois quaisquer pares distintos (x1,y1) e (x2,y2) em S, f(x1,y2) ≠ z ou f(x2,y1) ≠ z. Se f tem um conjunto enganador S de tamanho t, então D(f) ≥ log t.

  31. Conjuntos Enganadores Seja f: X  Y → {0,1}. Um conjunto S ⊂ X  Y é denominado de conjunto enganador (para f) se existe um valor z {0,1} tal que • Para todo (x,y)  S, f(x,y) = z. • Para dois quaisquer pares distintos (x1,y1) e (x2,y2) em S, f(x1,y2) ≠ z ou f(x2,y1) ≠ z. Se f tem um conjunto enganador S de tamanho t, então D(f) ≥ log t.

  32. Conjuntos Enganadores Exemplo: x, y {0,1}n EQ(x,y) = • se x = y • 0 caso contrário Um conjunto enganador de tamanho 2n é S1={(α, α) : α{0,1}n } D(EQ) ≥ n. Considerando os 0-rectângulos monocromáticos, concluímos que D(EQ) ≥ n+1. Como D(EQ) ≤ n+1, temos que D(EQ) = n+1.

  33. Tamanho dos Rectângulos Seja μ uma distribuição de probabilidade de X  Y. Se qualquer rectângulo R z-monocromático (z  {0,1}) tem medida μ(R) ≤ δ, então D(f) ≥ log 1/δ. Exemplo: x, y {0,1}n EQ(x,y) = 1 se x = y 0 caso contrário

  34. Tamanho dos Rectângulos Seja μ uma distribuição de probabilidade de X  Y. Se qualquer rectângulo R z-monocromático (z  {0,1}) tem medida μ(R) ≤ δ, então D(f) ≥ log 1/δ. Exemplo: x, y {0,1}n EQ(x,y) = 1 se x = y 0 caso contrário Como cada rectângulo R 1-monocromático tem dimensões 1 x 1, temos que μ(R) ≤ 1/2n . Como existe, pelo menos um rectângulo 0-monocromático, D(EQ) ≥ log 2n +1 = n + 1. Como D(EQ) ≤ n+1, temos que D(EQ) = n+1.

  35. Característica Para qualquer função f:X  Y → {0,1}, D(f) ≥ log car(Mf) , onde Mf é a matriz associada à função f. Exemplo: x, y {0,1}n 1 se x = y 0 caso contrário EQ(x,y) = M(EQ)= Como M(EQ) = 2n , temos que D(EQ) ≥ n.

  36. Característica Para qualquer função f: X  Y → {0,1}, D(f) ≥ log car(f) , onde car(f) é a característica da matriz associada à função f. Exemplo: x, y {0,1}n 1 se x = y 0 caso contrário EQ(x,y) = M(EQ)= Como M(EQ) = 2n , temos que D(EQ) ≥ n.

  37. Obrigada!

  38. Complexidade de Comunicação O custo de um protocolo P , DP f, corresponde à altura da árvore binária associada ao protocolo. Para uma função f: X  Y  {0,1}, a complexidade de comunicação, D(f), (determinística) de f é o min {DP f : P é um protocolo para f}. Para toda a função f: X  Y  {0,1}, D(f) ≤ log |x| + log |z|.

  39. Propriedades Prova: (⇒) Considere-se um rectângulo R, isto é, R= A  B, para A ⊆ X e B ⊆ Y. Pretende-se mostrar que se (x1,y1)e (x2,y2)pertencem a R então (x1,y2) também pertence a R. Se (x1,y1)Є R, então x1  A e y1  B. Do mesmo modo, se (x2,y2) R, então x2 A e y2 B. Portanto, os pares (x1,y2)e (x2,y1). pertencem a A  B = R. (⇐) Considerem-se os seguintes conjuntos: A = { x: existe y tal que (x,y)  R} e B = { y: existe x tal que (x,y)  R}. Por definição de A e B é, evidente, que R ⊆ A  B, pois se (x,y)  R, então x  A e y  B e, portanto (x,y)  A  B. Para se mostrar que A  B ⊆ R, considere-se (x,y) A  B. Como x A, então existe y' B tal que (x,y')  R. Analogamente, como y B, então existe x' A tal que (x',y)  R. Logo (x,y')  R e (x',y) R. Assim, por hipótese resulta que (x,y)  R. Portanto A  B ⊆ R.

  40. Conjuntos Enganadores Prova: Qualquer rectângulo R que contenha dois pontos distintos (x1,y1) e (x2,y2), ambos pertencentes a S, também contém os pontos (x1,y2) e (x2,y1). No entanto, S é um conjunto enganador, logo o valor de f em (x1,y1) e (x2,y2) é z e, pelo menos, um dos pontos (x1,y2) ou (x2,y1) tem valor por f diferente de z. Logo R não é monocromático. Assim, nenhum rectângulo monocromático contém mais do que um elemento de S. Logo, são necessários, pelo menos, t rectângulos para fazer uma partição de S. Logo vem que D(f) ≥ ⌈log t⌉.

  41. Característica Prova: Seja P um protocolo para a função f e seja L o conjunto de folhas para as quais f(x,y)=1. Define-se uma matriz Ml para cada uma das folhas, de tal maneira que Ml(x,y)=1 se (x,y) Rl e Ml(x,y)=0 se (x,y)  Rl, onde os rectângulos Rl correspondem aos pares (x,y) que ``terminam'' na folha l. A matriz da função é a soma de todas as matrizes definidas para cada uma das folhas l L, isto é, Mf = ∑ Ml. Usando as propriedades da característica de uma matriz, vem que car(Mf) ≤ ∑ car(Ml). Como car(Ml) = 1 vem que car(Mf) ≤ |L|. Qualquer protocolo P tem de ter, pelo menos, car(Mf) folhas, logo D(f) ≥ ⌈log(car(Mf))⌉.

More Related