Prof. Belkacem OULD BOUAMAMA Responsable de l’équipe MOCIS

1. OPTIMISATION et SIMULATION des PROCESSUS Prof. Belkacem OULD BOUAMAMA Responsable de l’équipe MOCIS Méthodes et Outils pour la conception Intégrée des Systèmes http://www.mocis-lagis.fr/membres/belkacem-ould-bouamama/ Laboratoire d'Automatique, Génie Informatique et Signal (LAGIS - UMR CNRS 8219 et Directeur de la recherche à École Polytechnique de Lille (Poltech’ lille) ---------------------------------------------------------- mèl : Belkacem.ouldbouamama@polytech-lille.fr, Tel: (33) (0) 3 28 76 73 87 , mobile : (33) (0) 6 67 12 30 20 • Ce cours est dispensé aux élèves de niveau Master 2 HSQE (Hygiène Sécurité et Qualité de l’Environnement • Toutes vos remarques pour l’amélioration de ce cours sont les bienvenues.

2. PRESENTATION DuCOURS

3. Chapitre 1: INTRODUCTION • Définitions & but de la simulation et de l'optimisation de processus • Importance et rôle de l'optimisation dans la protection de l'environnement • Etapes de résolution d'un problème d'optimisation d'un processus

4. Chap 2 • TRAITEMENT DE DONNEES EXPERIMENTALES D'UN PROCESSUS • Méthodes statistiques de modélisation : Définitions & but • Modèles de régression • Principe des méthodes des moindres carrés (MMC) • Régression linéaire multiple • Adéquation des modèles et signification des coefficients • Vérification des hypothèses de régression • Méthodes de corrélation • Exemple d'application • Estimation récursive • MMC avec facteur de pondération • Méthode des MC avec fenêtre glissante • Exemple d'application

5. Chap3: OPTIMISATION DES PROCESSUS TECHNOLOGIQUES • Problématique de l'optimisation des processus technologiques • Méthodes analytiques d'optimisation • Programmation linéaire • APPLICTION : • TD de 4h : utilisation du logiciel Matlab pour la simulation d'un problème d'optimisation d'un processus chimique en vue de minimiser le taux de pollution

6. CHAP1 INTRODUCTION

7. Chap1 : Introduction • Définitions & but de la simulation et de l'optimisation de processus • Importance et rôle de l'optimisation dans la protection de l'environnement • Etapes de résolution d'un problème d'optimisation d'un processus

8. Importance & objectifs des modèles statistiques • Caractère stochastique de la majorité des phénomènes; • " L'intelligence des statistiques sera un jour une compétence aussi indispensable à l'exercice de la citoyenneté que la lecture ou l'écriture". (H.G.Wells). • Objectifs • Fournir des lois, de nature "statistique", là où il n'est pas possible d'en fournir qui soient de nature certaine ou déterministe. • Applications • Sondage, prévision, contrôle des processus indust. Lois empiriques

9. Modélisation ? • Définitions • Modélisation ? : Ensemble des procédures permettant d’obtenir un modèle • Modéliser un système = capable de prédire le comportement du système • Subjectivisme de la modélisation : modèle = intersection du système et du modélisateur • Modèle jamais "exact"? • Importance • Outil d'aide à la décision., Support de la simulation, • Représente 50 % d’un projet de commande • Perspectives grâce à l'informatisation • Un modèle pourquoi faire ? • Concevoir, Comprendre, Prévoir, Commander (décider).

10. Un modèle comment faire ? • 1. MODELE DE CONNAISSANCE • Obtenu sur la base des lois physiques, économiques etc.. • Difficultés de décrire fidèlement les phénomènes complexes; • Hypothèses simplificatrices; • Dilemme- précision-simplicité • Un modèle simple est faux, un modèle compliqué est inutilisable. • Les paramètres ont un sens physique donc modèle commode pour l'analyse. • 2. MODELE DE REPRESENTATION • Système "boite noire"; • Expérience active (système dérangé) ou passive (aléatoire); • Etape qualitative (connaissances a priori) et quantitative; • Paramètres du modèle n'ont aucun sens physique; • Modèle de conduite (modèle E/S) utile pour la commande; • Complément du modèle de représentation.

11. Classification des modèles • selon le caractère des régimes de fonctionnement • statique et dynamique • selon la description mathématique • linéaire, non linéaire • selon les propriétés dynamiques • à paramètres localisés, à paramètres distribués • selon l’évolution des paramètres : • stochastique , déterministe • selon le nombre de variables : • monovariable (SISO) , multivariable (MIMO)

12. Étapes de modélisation

13. Chapitre 2 METHODES STATISTIQUES

14. Méthodes des MMC • Principe de la MMC LST • La MMC est introduite par Karl Gauss en 1809 en cherchant à prévoir le Mvt. des planètes à partir des observations par télescopique Ys(i) SYSTEME + (i) D((i)) Entrées Critère d’identification x(i) - MODELE Ym(i)

15. x1 PROCEDE TECHNOLOGIQUE y1 XK EXEMPLE : REGRESSION LINEAIRE • Expérimentation • N : Nbre. d'observations (d'échantillons de mesures); J = 1,2..K : Paramètre du modèle; i = 1,2...N : Numéro d'expériences; • Modèle statique : Ym = F(X1,X2,.....Xk) Modèle • Structure du modèle

16. Matrice d’expérience H

17. Problématique générale • Soit donné : • Que veut on ? : Trouver : • Tel que :

18. 1. cas monovariable • K=1, Ym=a0+a1x • Combien d’expériences à réaliser ? • 1. N=2 : Par deux points ne passent qu’une droite : E1=Y-Ym1=Y-Ym2=E2=0.? • Le modèle reflète parfaitement le système ? • Cas idéal irréalisable en pratique : Présence d'erreurs de mesure (Systématique, instrumentale, humaine etc.) Champ de corrélation yex ym Yex(i) E(i) ym(i) X(i) X

19. 1. cas monovariable • 2. N > 2 : trouver la meilleure droite au sens des MMC • Déterminer les paramètres a0 et a1 tel que : • Ceci revient à résoudre le système d’équations:

20. 1. cas multivariable • K>1, Structure du modèle • Calcul des paramètres • Processus aléatoire : la sortie est affectée d'un bruit V(t) : • Réalisation de N expériences

21. 1. Système non bruité V=0 • Cas déterministe, si H est inversible, alors : • Cas non réaliste • 2. Système bruité V#0

22. Estimation des paramètres • 2 types d’erreurs : • Erreurs d'observation : • Erreurs d’estimation : • Estimateur optimal • Critère d’optimalité • Conditions d'optimalité • Conditions d'observabilité : HT non singuliére et N > K

23. Biais de l'estimateur • Biais de l’estimateur b • b=0 : Estimateur non biaisé ( pas d'erreur d'estimation); Densité de probabilité centrée sur la valeur cherchée • b # 0 : Estimateur non biaisé ( pas d'erreur d'estimation); Densité de probabilité centrée sur la valeur cherchée • V et H séquences corrélées ( hypothèses de régression); • V est de moyenne non nulle

24. Simulation sur Matlab • 1. Cas monovariable home disp('EXEMPLE DE CALCUL D UN MODELE DE REGRESSION') % VALEURS EXPERIMENTALES pause,home x=[1 2 3]; y_exp=[2 4 6]; pause;home disp('CHOISIR L ORDRE n DU MODELE') pause,home input n= n=ans; poly_model=polyfit(x,y_exp,n)%c'est pour trouver l'ordre du polyn^ome disp('VERIFICATION DU MODELE : ERREUR DE MODELISATION') pause,home Y_model=polyval(poly_model,x);%calcul les valeurs du modèle E=abs([y_exp' Y_model' (y_exp'-Y_model')]); ERREUR_MAX=max(E(:,3)) pause home disp('GRAPHE') pause,home plot(x,y_exp,'*',x,Y_model,'--');grid;title('VERIFICATION DU MODELE');legend('--:model, *:exp') pause;home;close disp('SI L ERREUR N EST PAS BONNE CHANGER L ORDRE n')

25. Simulation sur Matlab 2. Cas multivariable disp('INTRODUCTION DES DONNES EXPERIMENTALES:') pause, home disp(' 1. MATRICE D EXPERIENCES H:') disp(' NOUS AVONS 7 EXPERIENCES ET DEUX VARIABLES X1 et X2') H= [1 3;4 2;1 5;2 1;3 4;4 5;6 8] pause,home disp('2. VARIABLE DE SORTIE Y:') y=[5 13 9 4 11 12 23]' pause,home disp('SOLUTION : PARAMETRES ESTIMES:') teta=inv(H'*H)*H'*y; a1=teta(1) a2=teta(2) pause,home disp(' LE MODELE EST DONC; Ym=a1*X1+a2*X2') pause,home disp('VERIFICATION DU MODELE') pause,home disp('VALEURS DU MODELE') ym=polyval([a1 0],H(:,1))+polyval([a2 0],H(:,2)) %ym=a1*X1+a2*X2 pause,home disp('CALCUL DE L ERREUR DE MODELISATION') pause R=[ym,y,abs((ym-y)./y)*100] disp('ERREUR MAXIMALE') Emax=max(R(:,3)) pause,home disp('GRAPHE 3D') plot3(y,H(:,1),H(:,2),ym,H(:,1),H(:,2));grid;Xlabel('X1,X2'); Ylabel ('Modéle, Expérimentale');

26. METHODES RECURSSIVES

27. Limites de la MMC simple • Principe de la RLST • Alors l'estimateur, tenant compte des (N+1) observations sera :

28. L’estimateur de la nouvelle mesure • Le gain d’adaptation ou facteur de pondération de la mise à jour apportée par la nouvelle mesure

30. INITIALISATION DE L'ALGORITHME • P(0) = diag(1000); 0)=0. • PROBLEME DE DECROISSANCE DU GAIN • Inconvénient de la RLST

31. MMC AVEC FENETRE GLISSANTE • PRINCIPE : • Tronquer les observations à travers une FENETRE de largeur N constante que l'on "glisse" au fur et à mesure que les échantillons arrivent

32. Estimateur optimal • La formule met en évidence la contribution dans la nouvelle estimée de l'enrichissement dû à l'observation à l'instant K+1 d'une part et de la contribution de la K-N iéme observation qui doit être retranchée d'autre part de l'estimation précédente. • Limite de la méthode

33. MMC AVEC FACTEUR DE PONDERATION • Princiope • CRITERE CLASSIQUE PONDERATION HOMOGENES DES Ei • Pondération des erreurs

34. Choix de la pondération • On recommande progression géométrique •  < 1 : Favorise les premières mesures (Facteur d'oubli); •  > 1 : Favorise les dernières mesures par rapport aux premières • Critère d’optimalité

35. RLST AVEC FACTEUR DE PONDERATION

36. MODELES LINEARISABLES • Modèle exponentiel • Utilisé lorsque le taux les données sont telles que le taux de croissance ou de décroissance d'une variable Z est constante en f-n de X. • Exemple • Les données suivantes représentent la croissance du biologiste, mois par mois, d'une grandeur caractéristique d'un certain type de plante

37. Données • Connaissances à priori on postule un modéle exponentiel entre l'age et taille • Par la MMC on trouve : a1= 0.1735 a0= -0.2860

38. Modèle puissance • Modèle polynomial • 1. modèle parabolique

39. 2. Modèle polynomial général • Calcul des paramètres du modèle

41. ADEQUATION DU MODELE • Définition • Procédé de vérification sur la base des échantillons, la validité d'une hypothèse et décider soit de rejeter, soit d'accepter hypothèse envisagé

42. CARACTERISTIQUES STATISTIQUES DU MODELE • Somme des carrés totale (dispersion des données exp Ye(i) autour de la valeur moyenne ) • Dispersion des données expérimentales autour de la ligne de régression (Somme des carrés résiduels)

43. Dispersion des valeurs du modèle autour de la valeur moyenne expérimentale • Degré de liberté :  = N-K • Caractérise l'excès du nbre d'expériences • Exemple

44. VERIFICATION DE L'ADEQUATION DU MODELE

45. 1. VÉRIFICATION DE L’HOMOGÉNÉITÉ • Principe : critère de Cochrane (Test de 2 ) • La moyenne d'un échantillon est susceptible de varier de façon substantielle d'un échantillon à un autre : • Ce test permet d'expliquer la signification à donner à cette différence : • La vérification en deux étapes : • 1.Variance de sondage ou de reproductibilité (Test de 2 ) : • Pour chaque expérience on calcule : • 2. Somme des dispersions M : Nbre d'essais parallèles, N : Nbre d'expériences M-1 : degré de liberté =

46. 3. Critère calculé de Khi2 • 4. On vérifie l’homogénéité • Variances homogènes avec une probabilité P ssi : • Sinon (variances non homogènes) alors on refait les expériences

47. 2. VERIFICATION DE L’ADEQUATION • But : • vérifier que le modèle obtenu est adéquat (décrit avec précision le procédé) • Quel critère ? • Critère de Fischer F • Comme le rapport de la variance résiduelle à celle des essais parallèles • Sens ? : comparer erreurs dues au modèle et celles dues au système 1 = N-K 2 = M-1 M : Nbre d'essais parallèles, N : Nbre d'expériences K : nbre de paramètres du modèle

48. Adéquation en absence d'essais parallèles • Conditions d’adéquations par le critère F • Modèle adéquat ssi • Influence de N (nbre d’exp.) et d’essais // sur l’adéquation du modèle : Pour 2 fixé , 1 = N-K . Si N alors FT  (cf. Tableau) donc plus de chance que (F>FT) Pour 1 fixé , 2 = M-1 . Si M alors FT  (cf. Tableau) donc plus de chance que (F>FT)

49. Que faire en absence d’essais parallèles ? Modèle adéquat ssi

50. T (°K) K (mole/s) Réaction chimique Exemple d'application • Equation D’arhenius • Déterminer la relation liant la constante de vitesse K (mole/s) et la température de la réaction T (°K) • Structure du modèle : formule empirique • Question : déterminez les valeurs numériques des paramétres E/R et K0 ? E : Energie d’activation, R : cste des gaz T (°K) = t (°c) +273