Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika

1. Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika Variace VY_32_INOVACE_M4r0107 Mgr. Jakub Němec

2. Variace • Variace je jedním z kombinatorických úkonů, který nám pomáhá určit, kolik možných k-tic lze sestavit z n prvků, přičemž . • U této operace nám záleží na pořadí prvků, stejně jako u permutací. Uveďme si jednoduchý příklad: • Adam, Jirka a Tonda chtějí sedět vedle sebe, ale jsou pouze dvě místa. Kolik mají možností, jak si sednout? • AJ, AT, TA, TJ, JT, JA – tedy šest • Pokud by se k nim přidal ještě Marcel, bylo by možností více: AJ, AT, AM, TA, TJ, TM, JT, JA, JM, MA, MJ, MT – tedy 12 • Permutace jsou speciálním případem variací, kdy se počet prvků n rovná počtu míst v k-tici, tedy .

3. Variace – definice a vzorec • Definice variace vychází z výše uvedeného, tedy: • k-členná variace z n prvků je uspořádaná k-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje nejvýše jednou. • V překladu: Kolik různých pětic v lavici lze vytvořit z šest, sedmi, desíti lidí apod. • Počet všech k-členných variací z n prvků odpovídá vztahu: , kde a , jak již víme z problematiky věnující se faktoriálům. • Při více vypočtených příkladech dojdete snadno ke zjednodušenému vzorci:

4. V prvním případě se zaměříme čistě na aplikaci definice.Výsledek je tedy zřejmý. Lze samozřejmě využít i pravidla kombinatorického součinu. U druhého příkladu si musíme uvědomit, že jedna pozice je již obsazena a zároveň se snížil počet prvků. Poté je již řešení jednoduchým cvičením. Třetí příklad je založen především na tom, že dvojice knih může zaujímat navíc dvě různé pozice vůči sobě, tudíž je všech možností dvojnásobný. Poslední příklad je postavenna principu odečtení jedné možnosti od všech ostatních, čímž se dopracujeme k výsledku. Jarmila má na stole osm knížek, ale v knihovničce místo jen na pět z nich. Kolik možností má, jak je seřadit, když: a) není ničím omezena? b) Babička musí stát na levém kraji? c) Máj musí být vedle Babičky? d) Pán much nesmí být uprostřed?

5. Určete počet všech pěticiferných čísel, v nichž se neopakují číslice a pro které platí, že: a) nemají žádné jiné omezení. b) jsou menší než číslo 60000. c) začínají dvoučíslím 52 a jsou sudá. Při řešení prvního příkladu užijeme podobného postupu jako v minulém případě. Na místě desetitisíců nemůže být nula, tento případ tedy odečteme od všech možných. Druhý případ je založen na principu toho, že na místě desetitisíců nemůže být polovina číslic. Výsledek všech možností tedy vydělíme dvěma, nebo odečteme polovinu možností. V třetím příkladu máme od začátku obsazena dvě číslice. Poslední číslice musí být sudá (ale dvojka je již využitá), máme tedy čtyři možnosti. Pro dvě zbylé číslice využijeme principu variací.

6. Určete počet prvků n, když: a) výsledný počet dvoučlenných variací bude 132. b) při zvýšení prvků o tři bude počet dvoučlenných variací vyšší 10-krát. c) při zvýšení prvků o tři bude počet tříčlenných variací vyšší o 276. V prvním příkladu je nutné nejdříve sestavit rovnici. Poté se zbavíme faktoriálu (podmínka!). Získáme rovnici, která má vcelku jednoduché řešení. Příklad je možné řešit také jako kvadratickou rovnici.

7. Určete počet prvků n, když: a) výsledný počet dvoučlenných variací bude 132. b) při zvýšení prvků o tři bude počet dvoučlenných variací vyšší 10-krát. c) při zvýšení prvků o tři bude počet tříčlenných variací vyšší o 276. Druhý příklad je již obtížnější.Stále je však nutné sestavit správně rovnici dle zadání. Poté se zbavíme faktoriálu (nezapomeňte na podmínku!). Po úpravě získáme kvadratickou rovnici, která je již snadným cvičením. Kořeny porovnáme z podmínkou a získáme jediný kořen rovnice, tedy i jediné řešení příkladu.

8. Určete počet prvků n, když: a) výsledný počet dvoučlenných variací bude 132. b) při zvýšení prvků o tři bude počet dvoučlenných variací vyšší 10-krát. c) při zvýšení prvků o tři bude počet tříčlenných variací vyšší o 276. Třetí příklad je až na výjimky obdobný jako druhý příklad. Nejdříve je nutné sestavit správně rovnici dle zadání. Poté se zbavíme faktoriálu (nezapomeňte na podmínku!). Po úpravě získáme kvadratickou rovnici, která je již snadným cvičením. Kořeny porovnáme z podmínkou a získáme jediný kořen rovnice, tedy i jediné řešení příkladu.

9. Úkol závěrem • 1) Tvůrce trikolóry má k dispozici sedm barev. Kolik různých možností může vytvořit, když: • a) není ničím omezen? • b) uprostřed má být červená barva? • c) vlevo má být bílá nebo modrá? • d) na kraji nesmí být zelená? • 2) Určete počet prvků n, když: • a) výsledný počet dvoučlenných variací bude 20. • b) při zvýšení prvků o tři bude počet dvoučlenných variací vyšší 2,4-krát.

10. Zdroje • Literatura: • Calda, Emil; DUPAČ, Václav. Matematika pro gymnázia: Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika. Dotisk 4. vydání. Praha: Prometheus, 2003, 170 s. ISBN 987-80-7196-362-2. • Schémata byla tvořena v programu Malování, který je součástí operačního systému Windows.