Modellistica e simulazione1 Esercitazione 3

1. Modellistica e simulazione1 Esercitazione 3 Sommario: - Algoritmi di discretizzazione - Taratura dei parametri di un modello

2. continuo discreto Richiami: SIMULAZIONE di un sistema dinamico dato un sistema dinamico: calcolare il movimento delle variabili di stato e di uscita

3. Richiami: SIMULAZIONE di un sistema dinamico calcolare le traiettorie delle variabili di stato e di uscita cosa serve ? 1. un sistema dinamico completamente definito 2. orizzonte di simulazione 3. funzioni di ingresso u(•) definite su tutto l’orizzonte

4. Il caso dei sistemi DISCRETICOME FUNZIONA - dato lo stato iniziale (t=0): - definita una funzione di ingresso u(•) su tutto H: oppure - noti i parametri che definiscono il sistema [se lineare note le matrici A, B, C, (D)] - fissato un’orizzonte H (ad es. 10 istanti)

5. Il caso dei sistemi DISCRETICOME FUNZIONA calcolo iterativamente i valori di x(t) con t=1, 2, ..., H: se il sistema è lineare con t=1,2,...,H

6. Esempio di un sistema discretosistema a 3 serbatoi eq. di stato: eq. di uscita: parametri: se equilibrio:

7. Esempio di un sistema discretosistema a 3 serbatoi stato iniziale: ingresso: parametri: orizzonte: H=10 t dopo due passi è all’equilibrio!!

8. Esempio di un sistema discretosistema a 3 serbatoi ingresso: stato iniziale: parametri: orizzonte: H=10 t non è ancora arrivato all’equilibrio!!

9. Il caso dei sistemi CONTINUI sistema di equazioni differenziali - noti i parametri che definiscono il sistema [se lineare note le matrici A, B, C, (D)] - dato lo stato iniziale (t=0): - fissato un’orizzonte H (ad es. 10 istanti) - definita una funzione di ingresso u(•) su tutto H

10. Il caso dei sistemi CONTINUIsoluzione analitica sistema di equazioni differenziali es. sistema lineare con u(•)=0: equazione del movimento • sistemi semplici (caso raro): • integro le equazioni differenziali (soluzione analitica)

11. Il caso dei sistemi CONTINUImetodi di discretizzaione sistema di equazioni differenziali cioè approssimo la derivata con il rapporto incrementale espliciti impliciti a un passo a più passi diversi metodi a seconda di come viene calcolata • caso generale su calcolatore: approssimo

12. Metodo di EULERO K U M Es. massa-molla discretizziamo:

13. Metodo di RUNGE-KUTTA

14. Metodo di RUNGE-KUTTA

15. Metodo di RUNGE-KUTTA ........ esempio monodimensionale:

16. Metodo di RUNGE-KUTTA caso bidimensionale

17. Metodo di RUNGE-KUTTA K U M p1 f1 esempio bidimensionale: massa-molla .... continua

18. Foglio Excel Excel

19. Osservazioni 1. Più il passo è piccolo: - più il metodo è preciso - maggiori sono i tempi di calcolo 2. Se il movimento calcolato è instabile: - riduco il passo - cambio metodo Se è ancora instabile lo è strutturalmente

20. Modelli deterministici K U M Per alcuni modelli i parametri rappresentano dei coefficienti misurabili Per altri modelli i parametri non sono misurabili ma vanno stimati

21. Richiami: taratura di un modello lineare Modello: Parametri: Dati Stima forma ricursiva Innovazione Coefficiente di oblio

22. Esempio: Valore medio (1) Dati: Modello: Taratura di un modello lineare Qual’è la retta orizzontale che passa più vicino a tutti i punti?

23. Esempio: Valore medio (2) Dati: Modello: Taratura di un modello lineare

24. Esempio: Regressione lineare (1) Dati: Modello: Taratura di un modello lineare Qual’è la retta passante per l’origine che passa più vicino a tutti i punti?

25. Esempio: Regressione lineare (2) Dati: Modello: Taratura di un modello lineare

26. Esempio: Ticino e Po (1) scala di deflusso B C A

27. Esempio: Ticino e Po (2) B rigurgito A C  Dati: Parametri: Taratura di un modello non lineare scala di deflusso Come posso calcolare la portata nel tratto A?

28. Esempio: Ticino e Po (3) Modello: Scomposizione: Linearizzazione: Taratura di un modello non lineare