Dane INFORMACYJNE

2. Nazwa szkoły: Zespół Szkół w Sławnie • ID grupy: 97/2_mf_g1 • Kompetencja: matematyczno - fizyczna • Temat projektowy: Kombinatoryka w rachunku prawdopodobieństwa • Semestr/rok szkolny: III / 2010/2011 Dane INFORMACYJNE

3. Kombinatoryka w rachunku prawdopodobieństwa

4. KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA • Kombinatoryka 6 • Elementy kombinatoryki 7 • Permutacje 7 • Kombinacje 9 • Wariacje bez powtórzeń 12 • Wariacje z powtórzeniami 15 • Rachunek prawdopodobieństwa 16 • Klasyczna definicja prawdopodobieństwa 17 Spis treści

5. KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA • Zadania maturalne 18 • Zadanie 1 18 • Rozwiązanie 19 • Zadanie 2 20 • Rozwiązanie 21 • Zadanie 3 23 • Rozwiązanie 24 • Zadanie 4 25 • Rozwiązanie 26 • Zadanie 5. 27 • Rozwiązanie 28 • Wykorzystanie kombinatoryki w probabilistyce 29 • Koniec 30 Spis treści

6. KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to dział matematyki zajmujący się wyznaczaniem liczebności zbiorów skończonych utworzonych według określonych zasad. W definicjach pojęć kombinatorycznych wykorzystuje się pojęcia: • zbiór - kolejność elementów nie jest ważna np. zbiory: {a, b} oraz {b, a} są identyczne, • ciąg - kolejność elementów jest istotna np. ciągi: (a, b), (b, a) różnią się kolejnością wyrazów. kombinatoryka Spis treści

7. KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Permutacją n-wyrazową (bez powtórzeń) zbioru n-elementowego (nϵ N+) o różnych elementach jest każdy ciąg n-wyrazowy utworzony ze wszystkich elementów tego zbioru. Liczba Pn wszystkich różnych permutacji zbioru n-elementowego wyraża się wzorem: Pn = n!, nϵ N+ Elementy kombinatoryki Permutacje Spis treści

8. KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Na ile sposobów mogą wejść do klasy: • Ola i Ala P2 = 2! = 2, - permutacje 2-elementowe zbioru 2-elementowego • Ola, Ala, Jaś P3 = 3! = 6 - permutacje 3-elementowe zbioru 3-elementowego, istnieje 6 różnych ciągów 3-wyrazowych • 4 osoby P4 = 4! = 24 Elementy kombinatoryki Permutacje Spis treści

9. KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Kombinacją (bez powtórzeń) k-elementową (kϵN) zbioru Z n-elementowego (nϵ N+) o różnych elementach jest każdy podzbiór k-elementowy (k≤n) utworzony z elementów zbioru Z. Liczba wszystkich różnych k-elementowych kombinacji zbioru n-elementowego wyraża się wzorem: Elementy kombinatoryki Kombinacje Spis treści

10. KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Na ile sposobów można wybrać trzyosobową delegację spośród 5 uczniów: Ali, Beaty, Czarka, Doroty, Eli Elementy kombinatoryki Kombinacje Spis treści

11. KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Kolejność wyboru uczniów do delegacji jest nieistotna, Podzbiorów 3-elementowych ze zbioru 5-elementowego można utworzyć 10. Elementy kombinatoryki Kombinacje Spis treści

12. KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Wariacją (bez powtórzeń) k-wyrazową (kϵN) zbioru Z n-elementowego (nϵ N+) o różnych elementach jest każdy k-wyrazowy (k≤n) ciąg utworzony z elementów zbioru Z. Liczba wszystkich różnych k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń utworzonych ze zbioru n-elementowego wyraża się wzorem: Elementy kombinatoryki Wariacje bez powtórzeń Spis treści

13. KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Na ile sposobów może stanąć na podium 5 uczniów (Ala, Beata, Ela, Dorota, Ela) po konkursie skoku w dal? Elementy kombinatoryki Wariacje bez powtórzeń Spis treści

14. KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Należy jeszcze rozpatrzeć podzbiory (z każdego podzbioru można utworzyć 6 ciągów 3-wyrazowych): • Ala, Czarek, Dorota • Ala, Czarek, Ela • Ala, Dorota, Ela • Beata, Czarek, Dorota • Beata, Czarek, Ela • Beata, Dorota, Ela • Czarek, Dorota, Ela Ciągów 3-elementowych ze zbioru 5-elementowego można utworzyć 60. Elementy kombinatoryki Wariacje bez powtórzeń Spis treści

15. KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Wariacją z powtórzeniami k-wyrazową (kϵN) zbioru Z n-elementowego (nϵ N+) jest każdy k-wyrazowy (k≤n) ciąg utworzony z elementów zbioru Z. Liczba wszystkich różnych k-wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego wyraża się wzorem: Ciągów 3-wyrazowych o niekoniecznie różnych wyrazach ze zbioru 5-elementowego można utworzyć: Elementy kombinatorykiWariacje z powtórzeniami Spis treści

16. KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Rachunek prawdopodobieństwa to dział matematyki zajmujący się badaniem zjawisk losowych oraz praw nimi rządzących. Doświadczenie losowe to eksperyment dający się wielokrotnie powtórzyć w prawie identycznych warunkach. Zdarzenie losowe to niedający się przewidzieć wynik doświadczenia losowego. Zdarzenie elementarne (pojęcie pierwotne) – pojedynczy wynik doświadczenia losowego. Rachunek prawdopodobieństwa Spis treści

17. KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jeżeli • Przestrzeń zdarzeń elementarnych jest zbiorem skończonym • Zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne to: - oznacz liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A - oznacz liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Spis treści

18. KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zadanie maturalne Zadanie 1 (4 pkt.) Liczby 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ustawione są losowo w ciąg. Oblicz prawdopodobieństwo, że w tym ciągu liczby 1, 2, 3, 4 stoją obok siebie w kolejności rosnącej lub malejącej. Spis treści

19. KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Rozwiązanie • Omega jest zbiorem siedmiowyrazowych permutacji • – elementy nie mogą się powtarzać, kolejność wyboru elementów jest ważna; • A – liczby 1, 2, 3, 4 stoją w permutacji obok siebie w kolejności rosnącej lub malejącej • Stosujemy klasyczną definicję prawdopodobieństwa. Spis treści

20. KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zadanie maturalne Matura 2009 poziom rozszerzony Zadanie 2. (4 pkt.) W urnie znajdują się jedynie kule białe i czarne. Kul białych jest trzy razy więcej niż czarnych. Oblicz, ile jest kul w urnie, jeśli przy jednoczesnym losowaniu dwóch kul prawdopodobieństwo otrzymania kul o różnych kolorach jest większe od 9/22. Spis treści

21. KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Rozwiązanie • Stosujemy klasyczną definicję prawdopodobieństwa. • Omega jest zbiorem wszystkich par (a, b) takich, że a, b należą do zbioru liczb {1,2, …, 4n} • – elementy nie mogą się powtarzać, kolejność wyboru elementów nie jest ważna; • - dwuelementowe kombinacje ze zbioru liczb {1,2, …, 4n} Spis treści

22. KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Rozwiązanie • Losujemy jedną kulę spośród n kul czarnych oraz jedną kulę z 3n kul białych. • Liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A w tym samym modelu. • Stosujemy klasyczną definicję prawdopodobieństwa. • W urnie są 4 kule albo jest 8 kul. Spis treści

23. KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zadanie maturalne Zadanie 3 (4 pkt.) Z cyfr 1, 2, 3,4,5, 6, 7 ułożono losowo liczbę trzycyfrową o różnych cyfrach. Oblicz prawdopodobieństwo, że ułożona liczba jest parzysta. Spis treści

24. KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Rozwiązanie • Omega jest zbiorem trzywyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru siedmioelementowego • – elementy nie mogą się powtarzać, kolejność wyboru elementów jest ważna; • A – ułożenie liczby parzystej • Stosujemy klasyczną definicję prawdopodobieństwa. Spis treści

25. KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zadania maturalne Zadanie 4 (4 pkt.) W urnie jest 5 kul białych i 3 czarne. Wyjęto dwa razy po jednej kuli ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo, że dwa razy wyjęto kulę czarną Spis treści

26. KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Stosujemy klasyczną definicję prawdopodobieństwa. • Omega jest zbiorem dwuwyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru ośmioelementowego – elementy mogą się powtarzać, kolejność wyboru elementów jest ważna; • A – wylosowano dwa razy kulę czarną rozwiązanie Spis treści

27. KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zadania maturalne Matura 2010 poziom podstawowy Zadanie 5. (4 pkt.) Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że w pierwszym rzucie otrzymamy parzystą liczbę oczek i iloczyn liczb oczek w obu rzutach będzie podzielny przez 12. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego. Spis treści

28. KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Stosujemy klasyczną definicję prawdopodobieństwa. • Omega jest zbiorem wszystkich par (a, b) takich, że a, b należą do zbioru liczb {1,2,3,4,5,6} – elementy mogą się powtarzać, kolejność wyboru elementów jest ważna; - dwuelementowe wariacje z powtórzeniami ze zbioru sześcioelementowego • Zdarzeniu A sprzyjają zdarzenia elementarne: (2,6), (4,3), (4,6), (6,2), (6,4), (6,6) rozwiązanie Spis treści

29. KOMBINATORYKA W RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Decyzję o zastosowaniu jednego z elementów kombinatoryki ułatwiają odpowiedzi na dwa pytania. Wykorzystanie kombinatoryki w probabilistyce Spis treści

30. DZIĘKUJEMY