Lógica Matemática

1. Lógica Matemática Álgebra de Boole Lógica proposicional Cuantificadores

2. Módulo 2 1. Álgebra de Boole. Una variable binaria x es aquella a la que se le asigna un valor de verdad : 1 ó 0, V ó F, sí ó no. Si tenemos dos o más variables estas pueden conectarse entre sí a través de un operador binario produciendo un valor de verdad. Definimos como función a un conjunto de variables y conectores ordenados de modo tal que producen un valor de verdad. En ocasiones se hace uso de tablas de verdad para obtener los valores verdaderos de la función para todas las asignaciones posibles de las variables.

3. Módulo 2 • Operadores binarios. • Un valor de verdad pueden obtener a partir de variables binarias de dos formas: • 1. Negando la variable: ¬x, • 2. Combinando dos o más variables a través de operadores binarios: • Conjunción. x ^ y, x · y • Disyunción. x v y, x + y • Disyunción exclusiva. xv y,

4. Módulo 2 Negación ¬. Sea x una variable binaria. La función ¬x es verdadera si x es falsa y viceversa. Conjunción ^. Sean x y y dos variables. La función x ^ y es verdadera si y solo si tanto x como y son verdaderas. Disyunción v. Sean x y y dos variables. La función x v y es falsa solo si tanto x como y son falsas. Si x o y son verdaderas, la función es verdadera. Disyunción exclusiva v. Sean x y y dos variables. La función x v y es falsa solo si tanto x como y tienen el mismo valor de verdad. Si x o y no tienen el mismo valor, la función es verdadera.

5. Módulo 2 Obtén la tabla de verdad de las siguientes expresiones: Si x, y, z son variables booleanas, demuestra que éstas tienen el mismo valor sicumplen con la siguiente igualdad

6. Módulo 2 Leyes del álgebra Booleana. 1. Ley de la doble negación 2. Leyes DeMorgan 3. Leyes conmutativas4. Leyes asociativas5. Leyes distributivas6. Leyes idempotentes

7. Módulo 2 Leyes del álgebra Booleana. 7. Leyes de identidad 8. Leyes inversas 9. Leyes de dominación 10. Leyes de absorción

8. Módulo 2 Simplifica las siguientes expresiones:

9. Módulo 2 Formas normales. Forma normal disyuntiva (FND): Se dice que una expresión está en FND si está escrita como una disyunción, donde todos los términos son conjunciones fundamentales (aquellas que contienen a todas las variables implicadas en la función). Forma normal conjuntiva (FNC): Se dice que una expresión está en FNC si está escrita como una conjunción, donde todos los términos son disyunciones fundamentales.

10. Módulo 2 Determina la FND de: Determina la FNC de:

11. Módulo 2 2. Lógica proposicional Declaraciones o proposiciones. Cualquier afirmación que es verdadera o falsa, más no ambas, se denomina proposición o declaración. Ejemplo: p: El programa tiene un error q: 2 + 3 = 5 Las proposiciones suele representarse por primitivas o variables proposicionales (p, q, …). Los valores V o F son constantes proposicionales. Las constantes proposicionales se asignan a las variables proposicionales.

12. Módulo 2 Una proposición que consta de una única variable proposicional o de una única constante proposicional se denomina proposición atómica. Toda proposición no atómica es una proposición compuesta. Toda proposición compuesta tiene al menos una conexión lógica. Objetivo de la lógica proposicional: Asociar con cada proposición, y con cada asignación un única valor de verdad. Una herramienta útil son las tablas de verdad.

13. Módulo 2 Módulo 2 Una nueva proposición se puede obtener a partir de otras de la siguiente manera: 1. Negando la proposición. Negación ¬. 2. Combinando dos proposiciones formando una proposición compuesta empleando alguno de los siguientes conectores lógicos: Conjunción ^. Disyunción v. Disyunción exclusiva v. Condicional →. Sean p y q dos proposiciones. La proposición p → q es falsa si p es verdadera y q falsa, y verdadera en otro caso. Bicondicional o equivalencia ↔. Sean p y q dos proposiciones. La proposición compuesta p ↔ q es verdadera siempre que p y q tengan los mismos valores.

14. Módulo 2 Conexión unaria Conexión binaria

15. Módulo 2 s: Felipe sale a caminar. t: La luna ha salido u: Está lloviendo Felipe sale a caminar si y solo si la luna ha salido. Si está lloviendo y la luna no ha salido, entonces Felipe no saldrá a caminar. Está lloviendo y aún así Felipe saldrá a caminar

16. Módulo 2 Tautologías y contradicciones. Una proposición compuesta es una tautología (T0) si es verdadera para todas las asignaciones posibles de las proposiciones que la componen. Si la declaración compuesta es falsa para tpdas las asignaciones posibles, entonces es una contradicción (F0). Una proposición compuesta que no es ni una tautología, ni una contradicción se denomina contingencia.

17. Módulo 2 Determinar si son una tautología o contradicción.

18. Módulo 2 • Proposiciones compuestas. • Con los conectores lógicos se combinan proposiciones, tanto atómicas como compuestas. Pero en ocasiones los resultados pueden ser ambiguos. • Para evitarlo se hace uso de paréntesis, dando lugar a expresiones completamente en paréntesis (ecep). • Para simplificar la interpretación de expresiones se hace uso de reglas de prioridad o precedencia. • La conexión ¬. • La conexión ^. • La conexión v. • La conexión →. • La conexión ↔.

19. Módulo 2 Dadas las siguientes declaraciones: p: Termino de escribir mi programa de computadora antes del almuerzo q: Juego tenis por la tarde r: El sol está brillando s: Hay poca humedad Escribe los siguiente en forma simbólica: a. Si el sol está brillando yo jugaré tenis esta tarde b. Terminar de escribir mi programa de computadora antes del almuerzo esnecesario para jugar tenis esta tarde. c. La baja humedad y el brillo del sol son suficientes para jugar tenis esta tarde.

20. Dos proposiciones s1 y s2 son lógicamente equivalentes, y se escribe cuando la proposición s1 es verdadera (o falsa) si y solo si la proposición s2 es verdadera (falsa). ¿A qué equivale ? Módulo 2 Equivalencia lógica: Leyes de la lógica. ¿Son equivalentes y ?

21. Módulo 2 Equivalencias lógicas para eliminar →, ↔ y v.

22. Módulo 2 Leyes de la lógica. 1. Ley de la doble negación 2. Leyes DeMorgan 3. Leyes conmutativas4. Leyes asociativas5. Leyes distributivas6. Leyes idempotentes 7. Leyes de identidad 8. Leyes inversas 9. Leyes de dominación 10. Leyes de absorción

23. Módulo 2 Reglas de sustitución. 1. Suponiendo que la declaración compuesta P es una tautología. Si p es una proposición primitiva que aparece en P y reemplazamos cada ocurrencia p por la misma declaración q, entonces la declaración compuesta resultante P1 es una tautología. 2. Sea P una declaración compuesta donde p es una declaración arbitraria que aparece en P, y sea q una declaración tal que q p. Supongase que en P reemplazamos una o más ocurrencias de p por q. Entonces esta sustitución produce la declaración compuesta P1. Bajo estas circunstancias P1 P.

24. Módulo 2 Expresar de la manera más simple las expresiones

25. Módulo 2 Implicación lógica: Reglas de inferencia. Deseamos demostrar si un argumento es válido. Consideramos la siguiente implicación: (p1^ p2^ p3^ …^ pn) → q Donde p1, p2, p3, … pn son las premisas y q la conclusión del argumento. El argumento es válido si cada una de las premisas es verdadera y en consecuencia la conclusión también. Sin embargo, debe demostrarse que la implicación es una tautología para que sea valido el argumento. Si p, q son proposiciones arbitrarias tal que p → q es una tautología, se dice que p implica lógicamente a q y se denota

26. Módulo 2 Módulo 2 Demostrar la validez de la siguiente implicación:

27. Módulo 2 Reglas de inferencia. Modus Ponens Ley del silogísmo Modus Tollens Lidia gana 10 millones en la lotería. Si Lidia gana 10 millones en la lotería, entonces Luis dejará de trabajar. Por lo tanto, Luis dejará de trabajar Si 35244 es divisible por 396, entonces es divisible por 66 Si 35244 es divisible por 66, entonces es divisible por 3 Por lo tanto, si 35244 es divisible por 396, entonces es divisible por 3 Si Carmen es elegida presidente, entonces Elena le ayudará Elena no le ayudará Por lo tanto, Carmen no fue elegida presidente

28. Módulo 2 Reglas de inferencia (cont.) Regla del silogísmo disyuntivo Regla de la contradicción Regla de la conjunción La cartera de Bruno está en su bolsa o en su escritorio La cartera de Bruno no está en su bolsa Por lo tanto, la cartera está en el escritorio

29. Módulo 2 Reglas de inferencia (cont.) Regla de la simplificación conjuntiva Regla de la amplificación disyuntiva Regla de la prueba condicional

30. Módulo 2 Reglas de inferencia (cont.) Regla de la prueba por casos Regla del dilema constructivo Regla del dilema destructivo

31. Módulo 2 Módulo 2 Demostrar la validez de los siguientes argumentos: Si la banda no toca música o los alimentos no se entregan a tiempo, la fiesta de año nuevo se cancelará y Alicia se molestará. Si la fiesta se cancela, se deberán de devolver las entradas. No se devolvieron las entradas. Entonces la banda tocará música.

32. Módulo 2 Prueba de contradicción. La regla de contradicción es la base de este método usado para establecer la validez de un argumento. La idea es establecer una declaración (la conclusión del argumento) para demostrar que, si esta declaración fuese falsa se tendria que deducir una secuencia imposible. En general, cuando deseamos establecer la validez de: (p1^ p2^ p3^ …^ pn) → q podemos establecer la validez del argumento lógicamente equivalente: (p1^ p2^ p3^ …^ pn^ ¬q) → F0

33. Módulo 2 Módulo 2 Demostrar la validez de los siguientes argumentos con la prueba de contradicción.

34. Otro método.

35. Módulo 2 Módulo 2 Método del contraejemplo. Demostrar la invalidez de los siguientes argumentos a través de un contraejemplo (premisas V0, conclusión F0).

36. Módulo 2 3. Cuantificadores • Una sentencia declarativa es una declaración abierta si: • Contiene una o más variables. • No es una proposición. • Se convierte en una proposición cuando las variables que contiene son reemplazadas por ciertas opciones permitidas (valores). • p(x): “El número x+2 es un número entero par”. • Variable: x • Opciones: Z (Universo) • p(2) : V p(1): F

37. Módulo 2 • Generalizando las sustituciones de la siguiente manera: • Para algún x, p(x). • Para algún x, ¬p(x). • Para todo x, p(x). • Las frases “para algún” y “para todo” cuantifican a p(x) • Tenemos entonces dos tipos de cuantificadores: • Cuantificadores existenciales: • Cuantificadores universales: • Así, para nuestro ejemplo:

38. Módulo 2 Para el universo R, con las siguientes declaraciones: p(x): x ≥ 0 q(x):x2 ≥ 0 r(x): x2-3x-4 = 0 s(x)=x2-3>0. Determina si son ciertas los siguientes composiciones:

39. Módulo 2 Observación: Sea p(x) una declaración abierta dentro de un universo no vacío. Entonces si es V también lo es ó Con esto decimos que el cuantificador universal implica lógicamente al cuantificador existencial, pero lo inverso no ocurre.

40. Módulo 2 Analiza y representa simbólicamente las siguientes declaraciones: Si x es racional, entonces es real. (Universo : R) Un triángulo equilatero tiene tres ángulos de 60° y viceversa. (Universo : Todos los triángulos en el plano) El entero 41 es igual a la suma de dos cuadrados perfectos. (Universo : Z+ )

41. Módulo 2 El contexto del universo

42. Módulo 2 Sean p(x), q(x) declaraciones abiertas definidas para un universo dado. Las declaraciones p(x) y q(x) son lógicamente equivalentes, esto es , cuando el bicondicional p(a) ↔ q(a) es V para cada sustitución de a en el universo. Si la implicación p(a) → q(a) es V para cada a en el universo, esto es ,decimos que p(x)implica lógicamente a q(x). Universo: Todos los triángulos en el plano. p(x): x es equiangular. q(x): x es equilatero ¿Son lógicamente equivalentes? ¿Cómo están implicadas?

43. Universo: R. p(x): |x| > 3. q(x): x > 3. Valorar y sus contrapositivo, inverso y converso. Módulo 2 Para las declaraciones abiertas p(x), q(x) –definidas para un universo prescrito- y la declaración universal cuantificada definimos: El contrapositivo es El converso es El inverso es

44. Módulo 2 Universo: Z r(x): 2x + 1 = 5 s(x):x2 = 9 Valora las siguientes declaraciones ¿Qué podemos decir de lo siguiente?

45. Módulo 2 Equivalencias e implicaciones lógicas. Para un universo prescrito y cualesquier declaraciones abiertas p(x), q(x) en la variable x:

46. Módulo 2 Reglas para la negación de declaraciones con un cuantificador. Universo: Z. p(x): x es impar q(x): x2-1 es par. Negar “Si x es impar, entonces x2-1 es par” aplicar equivalencias enunciar el resultado.

47. Módulo 2 Otras reglas.

48. Sean p(x, y), q(x,y) y r(x, y) declaraciones abiertas donde x, y pertenecen a un universo prescrito. ¿Cuál es la negación de la siguiente declaración?