統計分析方法

統計分析方法 單因子變異數分析多重比較雙因子變異數分析

變異數分析(ANOVA) • 變異數分析(Analysis of Variance)可比較不同族群的反應是否不同。 • 透過實驗設計取得嚴格管控下各處理的資料的，可以證實因果關係 • 例如：某種特定處理組合下，可以取得最佳的反應值。 • 問卷調查的資料，或是其他觀察性資料，只能做各種處理組合之見是否有差異，無法證實為因果關係。 • 例如：不同年齡層對特定議題的支持率是否有差別。

變異數分析模式 • 根據變數的特質，可以討論下列分析模式： • 單因子變異數分析； • 主因子效應及多重比較。 • 雙因子變異數分析； • 主因子效應、交互作用。 • 多因子變異數分析； • 一般多因子、2k因子、 3k因子等效應。

單因子變異數分析實例 • 四家公司分別生產之輪胎平均壽命是否有顯著性差異？ • 每一家公司之輪胎將分別觀察10 次。 • 實驗設計中，各實驗順序以隨機方式進行。 • 實驗順序隨機，各輪胎壽命之觀察平均結果比較不因實驗時間，地點及氣候等因素產生偏誤。 • 各觀察值之間，可假設為統計獨立。

資料 • 資料如下： • 總平均為83.325

資料圖示

並列盒型圖

單因子實驗設計模式 • Yij為第 i家輪胎(組)第j次之觀察值， i = 1,.., k, j =1,..., ni。 • 假設m 為總效應，ai為第i家輪胎的主效應，eij為觀察誤差，則模式為Yij = m + ai + eij • 假設eij服從常態 N(0, s2)，且互相獨立。

單因子實驗設計模式 • 以 mi = m + ai代表第 i家輪胎的平均壽命，則可檢定各家平均壽命是否相同： • H0: m1 = m2 = … = mk v.s. H1: not H0 • 或直接以 ai檢定各家效應是否為零： • H0: a1 = a2 = … = ak= 0 v.s. H1: not H0

單因子模式參數之估計 • 第i家輪胎的平均壽命 mi，主效應 ai 及總平均壽命 m的估計值分別為其中

平方和的分解 • 則

平方和的分解(續) • 定義組間平方和(B) 組內平方和(W)總平方和 • 則

ANOVA table

各參數估計的分配 • 假設則

平方和的分配 • SSE 的分配： • SSTr 的分配： (在H0之下)則

處理間等效檢定 • 則各均方和的期望值為

Minitab 變異數分析表

殘差分析 • 在隨機、常態、相同變異數的假設下，變異數分析的 F 統計量服從非中心F 分配。 • 在 H0為真的情形下， F 統計量服從 (中心) F 分配。檢定結果才能保證推論錯誤率的控制。 • 在做推論之前要先確認模式假設並不違背，我們以誤差項的估計值–殘差做分析，又稱為殘差分析。 • 包括：常態性檢定、裨益數齊一檢定及隨機獨立性檢定等。

殘差分析-簡易圖解

殘差分析-常態性

變異數齊一性之檢定 • 變異數分析是在各組變異數相等的假設下，檢定各組處理效果是否相等。 • 假設各組變異數分別為，哈雷在樣本數相等(或很接近)提出哈雷檢定法，檢定之假說為： v.s. H1:至少有兩組變異數不相等。

哈雷檢定法 • 假設各組樣本變異數分別為，在 H0為真時，接近1。 • 檢定統計量 H> Hk,n,a 時拒絕 H0。其中臨界點 Hk,n,a 由哈雷提出，可藉由查表取得。在實用上，樣本數很接近時，n為各組樣本數平均。

哈雷檢定法(例)

多重比較 • 多重比較(Multiple Comparison Procedures 簡稱MCP)的比較方法 • 建立同質性的聯合信賴區間 (Simultaneous Confidence Intervals) • 使用多重步驟的檢定方法 (Multiple stage testing procedures) • 多重比較方法的特點為錯誤率的控制。

錯誤率(Error Rates) • F :一組統計敘述族(family of statements) • 極保守的統計學者也許會把他一生所一下的統計決策當作一個整體，而試圖控制整體的誤差率 • 另一極端的情形，則是將每個個別的統計敘述獨立作決策，即使每次有興趣的是多個相關的統計決策。 • 常用的統計敘述族為與均值檢定的H0等價的敘述，即與 H0: m1 = m2 = … = mk等價的敘述。

常用的多重比較的型態 • 與均值檢定的H0 :m1 = m2 = … = mk等價的敘述。 • 配對比較的型態 • 全配對比較、與控制組比較、與最佳組比較。 • 特定組合比較 • 對照contract比較。

配對多重比較方法 • 全配對的比較(all pair-wise multiple comparisons, MCA：，mi-mji≠ j • Fisher’s least significant、Bonferroni、Tukey、Scheffe • 與控制組的比較(multiple comparisons with the control, MCC)：mi-m0 ,i = 1,2,…,k • Dunnett • 與最佳組的比較(multiple comparisons with the best, MCB)：mi-max(1≦j≦a)mj • Hsu

多重比較檢定 全配對比較檢定與控制組比較檢定與最佳組比較檢定

Fisher’s 檢定 • Fisher’s Least Significant Distance Test B/w MS = 2.6750, df =16

Tukey’s MCA檢定 • Tukey’s H Significant Distance Test B/w MS = 2.6750, df =16

Bonferroni’s MCA檢定 • Bonferroni’s MCA Test B/w MS = 2.6750, df =16

Scheffe’s MCA檢定 • Scheffe’s MCA Test B/w MS = 2.6750, df =16

Dunnett’s MCC檢定 • Dunnett’s MCC Test B/w MS = 2.6750, df =16 (蘋果為控制組) (柳丁為控制組)

各處理與控制組的多重比較

各處理與最佳組的多重比較

各處理所有配對的多重比較

雙因子模式中的交互作用 • 兩個主因子模式就有可能會有兩因子間的交互作用。 • 以廣告與陳列對產品購買意願的雙因子變異數分析模式為例，分別探討兩因子間之交互作用的情形。 • 沒有交互作用、正向交互作用、逆向交互作用。

沒有交互作用 • 沒有交互作用之例： • 廣告與陳列對咖啡購買意願之交互作用。咖啡購買意願咖啡購買意願有廣告有陳列 6 6 4 4 3 3 沒廣告沒陳列 1 1 沒廣告有廣告沒陳列有陳列

正向交互作用 • 有正向交互作用之例： • 廣告與陳列對餅乾購買意願之正向交互作用。餅乾購買意願餅乾購買意願 14 14 有廣告有陳列 6 6 5 5 沒陳列沒廣告 2 2 沒廣告有廣告沒陳列有陳列

逆向交互作用 • 有逆向交互作用之例： • 廣告與陳列對奶昔購買意願之逆向交互作用。奶昔購買意願奶昔購買意願有陳列 8 8 有廣告 7 7 4 4 沒廣告沒陳列 1 1 沒陳列有陳列沒廣告有廣告

交互作用對分析的影響 • 有交互作用之資料，不應討論個別因素的主效用，只能直接討論各種配方組合的差異性。

雙因子變異數分析 • 雙因子變異數分析模式： • Yijk = m + ai + bj+abij + eijk ， i = 1,…,a, j = 1,…,b, k = 1,…,r。 • 在常態獨立誤差的假設下，各因子效應估計值服從常態。

雙因子變異數分析 • 總平方和可分解為 SST= SSA+ SSB+ SSAB+ SSE, • 其中各平方和為 • 各因子效應平方和服從卡方分配； • 主因子效應、交互作用效應平方和與誤差平方和互相獨立。 • 兩獨立均方和相除服從 F分配。

雙因子模式之變異數分析表

雙因子模式之交互作用檢定假說 • 交互作用之檢定假說： • 在 H0為真之下，檢定統計量 FAB服從 F分配。

主因子之檢定假說 • 如果交互作用不存在，則可 • 檢定主效用 A 是否顯著： • 在 H01為真之下，檢定統計量 FA服從 F分配。 • 檢定主效用 B 是否顯著： • 在 H02為真之下，檢定統計量 FB服從 F分配。 • 交互作用不存在之下，可進一步做主因子各水準間的多重比較。

雙因子之變異數分析表實例

雙因子變異數分析之殘差

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