Herhaling richtingscoëfficiënt of helling van de lijn AB

1. Herhaling richtingscoëfficiënt of helling van de lijn AB y rechts ∆x · B omhoog ∆y yB yB – yA = ∆y dus r.c. = ∆y : ∆x ∆y · A yA ∆x 0 xA xB x xB – xA= ∆x 12.1

2. . Differentiequotiënt y . B f(b) yB ∆y ∆y A f(a) yA ∆x x xA a ∆ x b xB differentiequotiënt is ∆y : ∆x is de gemiddelde verandering van y op [xA, xB] is r.c. of helling van de lijn AB ∆yyB – yA f(b) – f(a) ∆xxB – xAb - a = = 12.1

3. . . Hoe dichter Bn bij A komt te liggen ,hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt. . . Snelheid en richtingscoëfficiënt . • tijd-afstand grafiek • v.b. : s = -t² + 10t • De gemiddelde snelheid op [2,5] • ∆s 25 – 16 • ∆t 5 – 2 • ∆s 24 – 16 • ∆t 4 – 2 • ∆s 21 – 16 • ∆t 3 – 2 • ∆s 18,75 – 16 • ∆t 2,5 – 2 • b) De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt. s 25 B2 B1 B3 20 B4 = = 3 m/s A 15 = = 4 m/s Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt. 10 k De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A. = 5 m/s = 5 = 5,5 m/s = t 0 1 2 3 4 5 12.1

4. differentiaalquotiënt dydx voor x is xA De GR bezit een optie om dydx te berekenen. Voor de rc. van de raaklijn in het punt A is er de notatie : [ ] y k dy dx x = xA A • rc. van de raaklijn van de grafiek in A. • Helling van de grafiek in A. • Snelheid waarmee y verandert voor x = xA x O xA 12.1

5. Differentiëren • Regels voor het differentiëren : • f(x) = a geeft f ’(x) = 0 • f(x) = ax geeft f ’(x) = a • f(x) = axn geeft f ’(x) = n·axn-1 voor n = 2,3,… • f(x) = c·g(x) geeft f ’(x) = c·g’(x) • f(x) = g(x) + h(x) geeft f ’(x) = g’(x) + h’(x) somregel 12.1

6. Raaklijn en afgeleide y f Je weet dat de afgeleide f ’ aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegt. of f ’(x) is de rc. van de raaklijn in het bijbehorende punt. Algemeen : f ’(a) is de rc. van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a, f(a)). k A x O xA yA = f(xA) rck = f ’(xA) 12.1

7. Snelheid en afgeleide y De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a is gelijk aan de rc. van de raaklijn in het punt (a, f(a)). rc. = snelheid = f’(a) Je berekent de snelheid dus met de afgeleide. f ’(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a. A f(a) rc. = f ’(a) x O a 12.1

8. De afgeleide van y = axn Oude exponent ervoor zetten. • f(x) = ax3 • f ’(x) = 3ax² • g(x) = ax4 • g’(x) = 4ax3 • h(x) = ax5 • h’(x) = 5ax4 • Algemeen geldt : • k(x) = axn • k’(x) = n·axn - 1 Nieuwe exponent 1 minder (4 - 1= 3). 12.2

9. Opgave 13 • f(x) = x3 + 5x² • f ’(x) = 3x² +10x • f’’(x) = 6x+10 ze doet twee maal de afgeleide. • f(x) = x4 - 3x • f’(x) = 4x3 - 3 f(x) is niet hetzelfde als f’(x) 12.2

10. Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd, dan verandert de exponent van teken. Negatieve exponenten • 4° = 1 • a° = 1 (a ≠ 0) • ⅛ = 8-1 • a-n = (a ≠ 0) • de rekenregels voor machten gelden • ook bij negatieve exponenten 26 = 64 25 = 32 24 = 16 23 = 8 22 = 4 21 = 2 20 = 1 2-1=½ 2-2=¼ 1 an 7.1

11. Machten met gebroken exponenten 28 = 256 24 = 16 22 = 4 21 = 2 2 ½ = √2 2 ¼=√ √2 = √2 3 • √x= x • √x = x • 4 = √4 = 2 • 64 = √64 = 4 • algemeen: • ook geldt: (a > 0) 3 4

12. Extreme waarden berekenen met de afgeleide • Werkschema : het algebraïsch berekenen van extreme waarden • 1) Bereken f ’(x) • 2) Los algebraïsch op f ’(x) = 0 • 3) Voer de formule van f in op de GR. • Plot en schets de grafiek. • Kijk in de grafiek of je met max. en/of min. te maken hebt. • 4) Bereken de y-coördinaten van de toppen en • noteer het antwoord in de vorm max. is f(…) = … • en min. is f(…) = … Raaklijn in een top is horizontaal  afgeleide is 0. 12.2

13. Opgave 21 a

14. Opgave 21 b

15. Opgave 21 c&d

16. Opgave 21 e

17. In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum. • Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn : • Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst ? • Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken ? • Bij welke route horen de laagste kosten ? 12.3

18. Opgave 24 a & b

19. Optimaliseringsproblemen • Werkschema: het algebraïsch oplossen van optimaliseringsproblemen • Verdiep je in de situatie en kijk welke variabelen een rol spelen. • Schrijf de te optimaliseren grootheid G als functie van de variabelen uit 1. • Zoek een verband tussen de variabelen met behulp van de gegeven informatie en druk daarmee de ene variabele uit in de andere variabele. • Schrijf G als functie van één variabele door 2 en 3 te combineren. • Gebruik de afgeleide van G om de gestelde vraag te beantwoorden. 12.3

20. VoorbeeldStel het raamwerk is in totaal 12 meter lang.De verhouding van de zijdes in het grondvlak is 1 :4Voor welke hoogte van dit krat is de inhoud maximaal? l a 4 · lengte + 4 · hoogte + 4 · breedte = 12 lengte + hoogte + breedte = 3 4x + h + x = 3 5x + h = 3 h = 3 – 5x bI = l· b·h I = 4x·x· (3 – 5x) I = 4x²(3 – 5x) I = 12x² - 20x³ c = 24x – 60x² = 0 24x – 60x² = 0 12x(2 – 5x) = 0 12x = 0 ⋁ 2 – 5x = 0 x = 0 ⋁ -5x = -2 x = 0 ⋁x = 0,4 :4 0,64 x dl dx dl dx O 0,4 x = 0,4  lmax = 0,64 m³ bij x = 0,4 hoort h = 3 – 5 · 0,4 h = 1 m.

21. opgave 33 O = x· y lengte = 4x + 2y lengte = 400 O = x(-2x + 200) O = -2x2 + 200x = -4x + 200 = 0 geeft -4x + 200 = 0 -4x = -200 x = 50 Uit de schets volgt dat : O maximaal is voor x = 50. x = 50 geeft y = -2 · 50 + 200 = 100 De afmetingen zijn 100 bij 50 meter. 4x + 2y = 400 2y = -4x + 400 y = -2x + 200 O dO dx dO dx x O 50 12.3

22. a) K = kosten bodem + kosten wanden + kosten deksel. K = x2· 0,25 + 4xh · 0,25 + x2 · 0,50 K = 0,75x2 + xh I = x2h I = 12 b) K = 0,75x2 + 12x-1 geeft = 1,5x – 12x-2 = 1,5x – = 0 geeft 1,5x - = 0 1,5x = 1,5x3 = 12 x3 = 8 x = 2 Uit de schets volgt dat K minimaal is als x = 2. x = 2 geeft h = = 3 Dus bij de afmetingen 2 bij 2 bij 3 dm is K minimaal. opgave 38 12 x2 K = 0,75x2 + x · K = 0,75x2 + 12 x2 x2h = 12, dus h = 12 x dK dx 12 x2 K dK dx 12 x2 12 x2 x 2 12 22 12.3

23. Marginale kosten • De marginale kosten MK • is de kostenverandering bij een toename van de productie q met 1 • benader je door de afgeleide . dK dq 12.4

24. Gemiddelde kosten Kq • De gemiddelde kosten GK zijn de kosten per eenheid product, dus GK = • De gemiddelde kosten GK zijn minimaal in het punt S waar de lijn OS de kostengrafiek raakt. • Ook de begrippen gemiddelde winst GW en gemiddelde opbrengst GR komen voor. • GW = en GR = • GW is maximaal in het punt S waar de lijn OS de winstgrafiek raakt. R q Wq

25. opgave 51 • Bestelkosten = 4 · 35 = 140 euro per jaar. • Gemiddeld in voorraad = = 90 accu’s. • Voorraadkosten = 90 · 3 = 270 euro per jaar. • Totale kosten = 140 + 270 = 410 euro per jaar. • Elke maand 60 accu’s dus 12 keer per jaar bestellen en gemiddeld 30 accu’s in voorraad. • Totale kosten = 12 · 35 + 30 · 3 = 510 euro per jaar. • Drie keer per maand, dus 36 bestellingen van 20 stuks. • Totale kosten = 36 · 35 + · 3 = 1290 euro. • Eén keer per jaar geeft totale kosten = 1 · 35 + · 3 = 1115 euro. 180 2 20 2 720 2

26. De kettingregel De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van de schakels. • Kettingregel : • Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctie • y = f (x) als volgt te werk. • Schrijf f als een ketting van twee functies. • Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide. • Druk het product van de afgeleide functies uit in x.

27. v.b. kettingregel

28. Opgave 59a

29. Opgave 59f

30. Opgave 62 a

31. Opgave 62b