INVERSÃO DE MATRIZES
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 10

INVERSÃO DE MATRIZES PowerPoint PPT Presentation


  • 95 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

INVERSÃO DE MATRIZES. DEFINIÇÃO. Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A inversa da matriz A. é indicada por A -1. tem ordem n,. obedece a relação: A -1 . A = A . A -1 = I n. onde I n é a matriz identidade de ordem n. acx - bcz = - c acx + adz = 0. ax + bz = 1 cx + dz = 0.

Download Presentation

INVERSÃO DE MATRIZES

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Invers o de matrizes

INVERSÃO DE MATRIZES


Invers o de matrizes

DEFINIÇÃO

Seja A uma matriz quadrada de ordem n.

A inversa da matriz A

é indicada por A-1

tem ordem n,

obedece a relação: A-1 . A = A . A-1 = In

onde In é a matriz identidade de ordem n.


Invers o de matrizes

  • acx - bcz = - c

  • acx + adz = 0

ax + bz = 1

cx + dz = 0

adx + bdz = d

-bcx - bdz = 0

x y

z w

A-1 =

a b

c d

A =

x y

z w

=

.

a b

c d

1 0

0 1

d -b

-c a

d/det(A) -b/det(A)

-c/det(A) a/det(A

1

det(A)

A-1 =

A-1 =

INVERSA DE UMA MATRIZ DE ORDEM 2 X 2

Por definição:

Tem-se:

z = -c/(ad – bc)

(ad – bc)z = - c

x = d/(ad – bc)

(ad – bc)x = d

Por processo semelhante se calcula:

y = -b/(ad – bc)

w = a/(ad – bc)

ad – bc = det(A) é o determinante da matriz A.

Deste modo:

ou


Invers o de matrizes

a b

c d

A =

Troca o sinal

Troca de posição

d

-b

-c

a

1

det(A)

Em resumo:

Se

então

A-1 =


Invers o de matrizes

Lembre-se que:

1 – o complemento algébrico do elemento aij é o elemento

denotado por aij que se obtém por:

aij = (-1)i+j.(determinante da matriz obtida ao cortar a

linha i e a coluna j da matriz A)

2 – somando os produtos dos elementos de uma fila da matriz A pelos

complementos algébricos dessa mesma fila obtém o determinante

da matriz A.

3 – somando os produtos dos elementos de uma fila da matriz A pelos

complementos algébricos de uma fila paralela da mesma matriz o

resultado é zero.


Invers o de matrizes

A matriz adjunta, indicada por A de uma matriz A é formada pelos

complementos algébricos dos elementos da matriz A.

a11 a12 a13 .....

a21 a22 a23 ...

a31 a32 a33 ...

........................................

Se A =

a11 a12 a13 .....

a21 a22 a23 ...

a31 a32 a33 ...

........................................

então A =

MATRIZ ADJUNTA


Invers o de matrizes

a11 a12 a13 .....

a21 a22 a23 ...

a31 a32 a33 ...

...................................

Sendo A =

a11 a21 a31 .....

a12 a22 a32 ...

a13 a23 a33 ...

...................................

T

( A ) =

A TRANSPOSTA DA MATRIZ ADJUNTA


Invers o de matrizes

T

O produto A. ( A ) será uma matriz C, tal que:

n

n

Se i  j, cij = aik.aik = 0

Se i = j, cij = aik.aik = det(A).

K = 1

K = 1

  • 0 0 ...

  • 0 1 0 ...

  • 0 0 1 ...

  • ....................

det(A) 0 0 ...

0 det(A) 0 ...

0 0 det(A) ...

..........................................

Det(A).

pois é a soma dos produtos dos elementos de uma fila da

matriz A pelos complementos algébricos de igual fila.

pois é a soma dos produtos dos elementos de uma fila da

matriz A pelos complementos algébricos de fila paralela.

=

Portanto, C =


Invers o de matrizes

T

= det(A).I

A.( A )

A. = I.

T

( A )

det(A)

1

T

( A )

det(A)

A INVERSA DE UMA MATRIZ

Como foi visto:

ou

Concluindo:

é a inversa da matriz A.


Invers o de matrizes

  • 1 7

  • 4 9

  • 6 6 2

Calcular a inversa da matriz A =

-46 50 -12

40 -36 -12

-27 36 -27

-46 40 -27

50 -36 36

-12 -12 -27

  • 9

  • 6 2

a11 = (-1)1+1.det = 1.(8 – 54) = - 46.

a13 = 1. (12 – 24) = -12

2 9

6 2

a12 = (-1)1+2.det = (-1).(4 – 54) = 50.

a21 = (-1). (2 – 42) = 40

Primeira linha de A e primeira linha de A.

a22 = (1). (6 – 42) = - 36

T

a23 = (-1). (18 – 6) = -12

( )

a31 = (1). (9 – 36) = - 27

a32 = (-1). (6 – 42) = 36

A =

A =

-46 40 -27

50 -36 36

-12 -12 -27

a33 = (1). (12 – 2) = - 27

-1

172

A-1 =

EXEMPLO:

Matriz adjunta

Determinante da matriz A

Det(A) = 3.(-46) + 1.50 + 7.(-12) = -172

Transposta da adjunta

INVERSA


  • Login