1 / 139

Teorie ICT

Teorie ICT . Úvod. Tomáš Vaníček Stavební fakulta ČVUT, Thákurova 7, Praha Dejvice, B407 vanicek @fsv.cvut.cz Na ČZU kancelář 414, stará budova PEF. Literatura. Vaníček,J., Papík,M., Pergl,R., Vaníček,T.: Teoretické základy informatiky, Kernberg Publishing, 2007

holland
Download Presentation

Teorie ICT

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Teorie ICT

  2. Úvod • Tomáš Vaníček • Stavební fakulta ČVUT, Thákurova 7, Praha Dejvice, B407 • vanicek@fsv.cvut.cz • Na ČZU kancelář 414, stará budova PEF

  3. Literatura • Vaníček,J., Papík,M., Pergl,R., Vaníček,T.: Teoretické základy informatiky, Kernberg Publishing, 2007 • Vaníček,J., Papík,M., Pergl,R., Vaníček,T.: Mathematical Foundation of Computer Science, Kernberg Publishing, 2008

  4. Teorie množin • Množina je dobře definovaný soubor prvků • Otázka, zda prvek náleží množině, či ne, musí být jednoznačně zodpověditelná. • Prvek x náležímnožině A, x  A. • Objekt může být prvkem množiny, nebo ne. • Objekt nemůže být prvkem množiny vícekrát.

  5. Rovnost množin, podmnožiny • Dvě množiny jsou si rovny, pokud mají stejné prvky. • Množina bez prvků se nazývá prázdná: ø • Množina A je podmnožinou mnoožiny B, pokud každý prvek A je i prvkem B. • Množina A je vlastní podmnožinou množiny B, pokud je A podmnožinou B a A není rovno B.

  6. Operace s množinami • Sjednocení • Průnik • Doplněk • Symetrická diference • Potenční množina

  7. Uspořádaná dvojice • Uspořádaná dvojice (a,b) je množina {{a,b},a}. aje první prvek dvojice. • Uspořádaná n-tice (a1,a2,…,an) může být zavedena pomocí indukce: • Pro n=2 je to uspořádaná dvojice (a1,a2) • Pro n>2 it je to uspořádaná dvojice obsahující uspořádanou (n-1)-tici (a2,…,an) a prvek a1.

  8. Kartézský součin • Kartézský součin A x B je množina všech uspořádaných dvojic (a,b), kde A je z množiny A a b je z množiny B. • Kartézský součin konečného systému množin A1xA2x…xAn je množina všech n-tic (a1,…,an) kde ai je z Ai.

  9. Zobrazení • Zobrazenízmnožiny A do množiny B: proněkteréprvky A existuje přesně jeden obraz v B. • Zobrazení (totální) množiny A do množiny B: Pro všechny prvky A existuje přesně jeden obraz v B. • Zobrazení z množiny A na množinu B (surjekce): Každý prvek z B má svůj vzor v A, m(a)=b

  10. Zobrazení • Prosté zobrazení (injektivní)): pro různé vzory a1,a2 dostaneme různé obrazy b1,b2. • Bijekce (vzájemně jednoznačné zobrazení) je prosté zobrazení A na B.

  11. Mohutnost množin • Dvě konečné množiny A,B mají stejnou mohutnost, pokud existuje vzájemně jednoznačné zobrazení A na B. • Mohutnost množiny A se značí card(A), |A|, moh(A) • Pokud card(A)≤card(B), pak existuje prosté zobrazení A do B. • Pokud card(A)≥card(B), pak existuje zobrazení A na B.

  12. Mohutnost nekonečných množin • Dvě nekonečné množiny A,B mají stejnou mohutnost, pokud existuje vzájemně jednoznačné zobrazení A na B. • card(N) = card(Z) = card(Q) = aleph0 • Množina všech (nekonečných) posloupností 0,1 (L) má větší mohutnost než aleph0. • card(L)=card(R). • card(2M)>card(M)

  13. Mlhavost • Možné příčiny nejistoty: • Stochastický charakter jevu (zítra bude pršet). • Kvantová nejistota (teplota vody v umyvadle je 10 stupňů) • Mlhavost pojmů (jsem vysoký člověk)

  14. Fuzzy množiny • Klasická teorie množin : prvek do množiny patří, nebo nepatří. • Exisstuje charakteristická funkce množiny A A, MA. • MA = 1, pokud x  A, MA = 0, pokud není x  A. • Fuzzy množina je určena svou charakteristickou funkcí μAz univerza U na interval <0,1> • μA (x)= 1, pokud x je určitě v A. • μA (x)= 0, pokud x určitě není v A. • μAje mezi 0 a 1, pokud nevíme jistě, zda x je v A, nebo není.

  15. Fuzzy množiny • Nosič A: supp(A)={xU|μA (x) > 0}. • Jádro A: core(A)={xU|μA (x) = 1}. • Výška fuzzy množiny: sup(μA (x)). • Normální fuzzy množina: Výška je rovna 1. • α-hladina fuzzy množiny A {xU|μA (x) ≥ α}. • Α-řez fuzzy množiny A {xU|μA (x) = α}.

  16. Operace s fuzzy množinami • A je podmnožina of B: μA (x) ≤ μB(x) • B je doplněk of A: μB(x) = 1 - μA(x) • C je (standardní) sjednocení A a B: μC(x)=max(μA(x), μB(x)) • C je (standardní) průnik A a B:μC(x)=min(μA(x),μB(x))

  17. Fuzzy čísla • Nechťa≤b≤c≤djsou 4 reálná čísla, která splňují: • μA(x)=0 , prox<a and x>d • μA(x)=1 , pro x mezi ba c • μA(x) je rostoucí meziaab. • μA(x) je klesající mezi c a d. • Takovou množinu A nazýváme fuzzy interval. • Pokud b=c nazýváme tuto množinu fuzzy číslo.

  18. Relace, operace, struktury

  19. K čemu slouží relace • K evidenci nějaké množiny objektů popsané pomocí jejich vlastností (atributů), viz relační algebra a relační databáze • K popisu vztahů mezi objekty jedné množiny

  20. Definice relace • Relace mezi množinami A1,A2,…,An je jakákoliv podmnožina kartézského součinu A1xA2x…xAn. • n-nární relace na množině A je podmnožina kartézského součinu AxAx…xA. • Unární relace – vlastnost prvku • Binární relace – vztah mezi dvěma prvky

  21. Vlastnosti relací • Reflexivní relace: pro každé x z A platí x R x • Symetrická relace: pro každá x,y z A platí: pokud x R y, pak y R x • Tranzitivní relace: pro každá tři x,y,z z A platí: pokud x R y a y R z, pak x R z

  22. „Negativní“ vlastnosti • Nesymetrická relace: existuje alespoň jedna dvojice x,y z A taková, že x R y, ale nikoli y R x (opak symetričnosti) • Antisymetrická relace: pro každé x,y z A platí: pokud x R y a y R x, pak x=y • Asymetrická relace: pro každé x,y z A platí: pokud x R y, pak není y R x

  23. Úplnost relací • Úplná relace: pro každá dvě x,y z A je buď x R y, nebo y R x • Slabě úplná relace: pro každá dvě různá x,y z A je buď x R y, nebo y R x

  24. Ekvivalence • Relace • Reflexivní • Symetrická • Tranzitivní • Rozkládá nosnou množinu na třídy ekvivalence

  25. Uspořádání • Kvaziuspořádání (může obsahovat ekvivalentní i neporovnatelné prvky) • Reflexivní • Tranzitivní • Částečné uspořádání (mohou existovat neporovnatelné prvky, ale ne ekvivalentní) • Reflexivní • Tranzitivní • antisymetrická

  26. Uspořádání • Slabé uspořádání (mohou existovat ekvivalentní prvky, ale ne neporovnatelné) • Reflexivní • Tranzitivní • Úplná • (úplné) uspořádání • Reflexivní • Tranzitivní • Antisymetrická • Úplná

  27. Uspořádání

  28. Známka • U konečných a spočetných množin lze uspořádání a slabé uspořádání vyjádřit číselnou známkou: • X R y , právě když zn(x) ≤ zn(y) • U kvaziuspořádání a částečného uspořádání to nelze, potřebujeme více známek. • Některé preferenční relace nelze zařadit do žádné z kategorií uspořádání (například prahová nerozlišitelnost – není tranzitivní)

  29. Ostrá uspořádání • Ostré částečné uspořádání • Ostré slabé uspořádání • Ostré (úplné) uspořádání • Není vyžadována reflexivita

  30. Operace • Předpis, který dvěma, nebo více prvkům dané množiny přiřadí výsledek • n-nární operace na množině A je (n+1)-nární relace na množině, pro kterou platí, že pokud (x1,x2,…xn,y) je v relaci a (x1,x2,…,xn,z) je v relaci, pak y=z.

  31. Četnost (arita) operací • Nulární (konstanta) • Unární (funkce) • Binární (klasické operace) • Ternální a vyšších řádů

  32. Vlastnosti binárních operací • Úplnost: pro každá x,y existuje x ⊕ y • Komutativnost: x ⊕ y = y ⊕ x • Asociativita: (x⊕ y) ⊕ z = x⊕ (y⊕ z) • Neutrální prvek: existuje prvek ε, pro který x⊕ε = ε ⊕ x = x • Inverzní prvek: pro každé x existuje y, pro které x⊕ y = ε

  33. Algebra • Množina • Systém operací • Systém vlastností (axiomů), které tyto operace splňují

  34. Pologrupa, monoid • Libovolná množina • Operace ⊕ • Pologrupa • Úplná • Asociativní • Monoid • Úplná • Asociativní • S neutrálním prvkem

  35. Grupa • Operace ⊕ • Úplná • Asocoativní • S neutrálním prvkem • S inverzními prvky • Abelova grupa • Navíc komutativní

  36. Příklady grup • Přirozená čísla a sčítání • Nenulová reálná čísla a násobení • Permutace konečné množiny • Matice daného rozměru a sčítání • Pohyby Rubikovy kostky

  37. Okruh • Množina se dvěma operacemi  a  • Vůči operaci  se jedná o Abelovu grupu • Operace  je úplná, komutativní, asociativní, má neutrální prvek • Nemusí existovat inverzní prvky vzhledem k  • Platí distributivní zákon: x (y  z)=(x y) ( y z) • Například celá čísla s operacemi násobení a sčítání • Zbytkové třídy celých čísel po dělení číslem n.

  38. Obor integrity • Okruh • Navíc neexistují netriviální dělitelé nuly, tedy pokud x,y není rovno ε, pak x  y není rovno ε. • Celá čísla jsou obor integrity. • Zbytkové třídy po dělení prvočíslem p jsou obor integrity. • Zbytkové třídy po dělení neprvočíslem n jsou okruh, ale ne obor integrity • V Z6 platí 3.2=0

  39. Těleso • Množina T se dvěma operacemi  a  • T a  tvoří Abelovu grupu s neutrálním prvkem ε • T-{ε} a  tvoří Abelovu grupu • Vůči okruhu se navíc požaduje existence inverzních prvků k  (tedy „možnost dělit“) • Příklady: zlomky, reálná čísla, komplexní čísla, zbytkové třídy po dělení prvočíslem, logické spojky AND a OR.

  40. Svaz • Množina S se dvěma operacemi  (spojení) a  (průsek) •  a  jsou komutativní a asociativní • Platí distributivní zákony • a  (b  c) = (a  b)  (a c) • a  (b  c) = (a  b)  (a c) • Absorbce: a (b  a)=a, a (b  a)=a • Idenpotence a  a = a, a  a = a • Příklady • Výrokové formule a spojky AND a OR • Podmnožiny dané množiny a operace sjednocení a průniku • Prvky částečně uspořádané množiny a operace supremum a infimum.

  41. Sémantika výrokové logiky • Ohodnocení ≡ zobrazení A do {FALSE, TRUE}. • Ohodnocení formule se řídí běžnými pravidly pro logické spojky. • Výroková formule s n logickými proměnnými má 2n možných pravdivostních hodnot v závislosti na ohodnocení proměnných • •Formule je tautologieprávě tehdy, když je TRUE pro všechna možná ohodnocení proměnných. • •Formule je kontradikce právě tehdy, když je FALSE pro všechna ohodnocení. • •Formule je splnitelná právě tehdy, když existuje alespoň jedno ohodnocení, ve kterém je TRUE

  42. Syntaxe výrokové logiky • Máme neprázdnou nejvýše spočetnou množinu A výrokových proměnných. • 1. Každá proměnná je výroková formule • 2. Kdyžα, βjsou formule, potom (¬α), (α∧β), (α∨β), (α⇒β), (α⇔β), případně i (α⊕β), …jsou formule. • 3. Nic jiného než to, co vzniklo pomocí konečně mnoha použití bodů 1 a 2, není výroková formule • (Konvence: vnější závorky a závorky vyplývající z priorit ¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔lze vynechat) • Tak zvaná rekurzivní či induktivní definice

  43. Sémantický důsledek • Matematická logika se zabývá otázkou, co lze z formulí odvodit bez ohledu na jejich význam, pouze podle struktury. • Formule ϕje (sémantickým) důsledkem množiny formulí Ψ={ψ1,ψ2,… ,ψn} právě tehdy když ϕ má ohodnocení TRUE pro každéohodnocení proměnných, kde každá z formulív Ψje TRUE. • Formule ϕ a ψjsou tautologicky ekvivalentní právětehdy když ψ je důsledkemϕ a ϕ je důsledkemψ.Značíme ϕ≡ψ. Formule jsou pravdivé pro stejná ohodnocení.

  44. Úplný systém výrokových spojek • Nulárníspojky TRUE (tautologie) a FALSE (kontradikce) • Unární spojky Identita a Negace ¬ • Pro log. funkce dvou proměnných máme celkem 24možných log. funkcí (máme 22 řádků v tabulce pravdivostního ohodnocení), potřebujeme tedy vyjádřit 14 funkcí (zbylé dvě jsou opět tautologie a kontradikce). • Úplný systém log. spojek je množina log. spojek, pomocí které můžeme zapsat všechny logické funkce. • Možný úplný systém log. spojek: ¬, ∨, ∧

  45. Všechny logické spojky

  46. Odvozovací pravidla

  47. Sémantické (logické) odvozování • Operaci odvození nové formule z množiny formulí S. Touto operacíobdržíme novou množinu formulí, kteráse skládá buď z předpokladůnebo z formulí odvozených pomocí některých odvozovacích pravidel. • Říkáme, že odvozenáformule βje log. Důsledkem S a logicky vyplývá z S. • Množina formulí S je nekonzistentní (rozporná) , právě tehdy když existuje formule α taková, že současně α a ¬α logicky vyplývají z S. Jinak říkáme, že množina Sje konzistentní (bezrozporná, zdravá).

  48. Úplnost výrokové logiky • Formule ϕje sémantickýmdůsledkem množiny formulí S, pokud platí, že při každém pravdivostním ohodnocení při kterém jsou všechny formule v S pravdivé, je pravdivá také formule ϕ. • Formule ϕje logickýmdůsledkem množiny formulí S, pokud platí lze odvodit pomocí odvozovacích pravidel (existuje její důkaz). • Pokud je množina S bezrozporná, je vše, co je logickým důsledkem i sémantickým důsledkem. • Pro výrokovou logiku to platíto i naopak. Vše co je sémantickým důsledkem je i logickým důsledkem (lze to dokázat. Této vlastnosti se říká úplnost dedukčního systému.

  49. Trojhodnotová (Lukasziewiczova) logika • Pravdivostní hodnoty T,F,N(nevíme)

  50. Mlhavá (fuzzy) logika • Pravdivostníhodnota výroku je číslo z intervalu <0,1>. • Výrokovéspojky lze zavést anologicky k příslušným množinovým operacím.

More Related