1 / 98

Dane informacyjne

Dane informacyjne. Nazwa szkoły: Gimnazjum nr 5 im. Tadeusza Ko ś ciuszki w Pile ID grupy: 98/27_MF_G1 Opiekun: Alicja Marcinek Kompetencja: matematyczno-fizyczna Temat projektowy: Pot ę gi w słu ż bie pozycyjnych systemów liczbowych Semestr/rok szkolny : lll semestr 2010/2011.

hieu
Download Presentation

Dane informacyjne

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Dane informacyjne • Nazwa szkoły: Gimnazjum nr 5 im. Tadeusza Kościuszki w Pile • ID grupy: 98/27_MF_G1 • Opiekun:Alicja Marcinek • Kompetencja: matematyczno-fizyczna • Temat projektowy: • Potęgi w służbie pozycyjnych systemów liczbowych • Semestr/rok szkolny: lll semestr 2010/2011

  2. Potęgi w służbie pozycyjnych systemów liczbowych

  3. Spis treści • Definicja potęgowania • Własności potęg • Porównywanie potęg • Notacja wykładnicza • Liczby „olbrzymy” i „liliputy” • Zadanie problemowe • Systemy liczbowe • Ciekawostki • Bibliografia

  4. Co to jest potęgowanie? Potęgowanie jest to działanie dwuargumentowe będące uogólnieniem wielokrotnego mnożenia elementu przez siebie. Potęgowany element nazywa się podstawą, a liczba mnożeń, zapisywana zwykle w indeksie górnym po prawej stronie podstawy, nosi nazwę wykładnika. wykładnik podstawa

  5. Przyjmujemy, że: • Symbolu 00nie definiujemy. a 1 = a, dlakażdej liczby a a 0= 1,dla dowolnej liczby a różnej od liczby 0

  6. Symbol 00 • Symbolu 00 nie definiujemy. Powodem, dla którego nie określamy tej potęgi, jest następujący, trudny do rozstrzygnięcia konflikt: • z jednej strony liczba zero podniesiona do jakiejkolwiek potęgi n > 0 daje zero, • z drugiej strony przyjęliśmy, że każda liczba (z wyjątkiem zera) podniesiona do potęgi zero daje 1.

  7. 1. Własności potęg

  8. Mnożenie potęg o takich samych podstawach Iloczyn potęgo takich samych podstawach różnych od zera jest równy potędze o wykładniku równym sumie wykładników potęg z zachowaniem podstawy. an.am=an+m

  9. Dzielenie potęg o takich samych podstawach Iloraz potęg o tych samych podstawach różnych od zera jest równy potędze o wykładniku równym różnicy wykładników potęg z zachowaniem podstawy. an:am=an-m

  10. Mnożenie potęg o takich samych wykładnikach Potęga iloczynuliczb różnych od zera, jest równa iloczynowi potęg tych liczb z zachowaniem wykładników. (a.b)n=an.bn

  11. Dzielenie potęg o takich samych podstawach Potęga ilorazudwóch liczb różnych od zera jest równa ilorazowi potęg tych liczb przy zachowaniu wykładnika. (a:b)n = an:bn

  12. Potęgowaniepotęgi Potęga potęgiliczby różnej od zera jest równa potędze o tej samej podstawie i iloczynie wykładników. (an)m = anm

  13. Potęga o wykładniku ujemnym Potęga o wykładniku ujemnymliczby różnej od zera jest odwrotnością potęgi o tej samej podstawie i przeciwnym wykładniku. a –n = 1/an

  14. zadania

  15. Zadanie 1.1. Zapisz w postaci pojedynczej potęgi: 1) 2) 3) 4)

  16. Zadanie 1.1. – c.d. 5) 6) 7)

  17. Zadanie 1.1. – c.d. 8)

  18. Zadanie 1.2. Oblicz korzystając z własności potęg: 1) 2)

  19. Zadanie 1.2. – c.d. • 3) • 4)

  20. Zadanie 1.3. • Wykaż, że dla dowolnej dodatniej liczby naturalnej n liczba 3n+3 + 3n jest podzielna przez 28. • Rozwiązanie: • Jeśli liczba naturalna A dzieli się przez 28, to można ją zapisać w postaci A = 28B, gdzie B także jest liczbą naturalną i na odwrót – liczba postaci 28B, gdzie B jest liczbą naturalną, jest podzielna przez 28. Po tej uwadze przystępujemy do rozwiązania zadania:

  21. Zadanie 1.3. – c.d. • zatem okazuje się, że liczba A = 3n+3 + 3n • jest postaci 28B, więc jest podzielna przez 28.

  22. 2. porównywanie potęg

  23. Porównywanie potęg • Aby ustalić, która z podanych potęg jest większa porównujemy wykładniki przy takich samych podstawach lub porównujemy podstawy przy takich samych wykładnikach.

  24. Porównywanie potęg o takich samych podstawach • Jeżeli dwie potęgi mają jednakowe podstawy dodatnie większe od 1 to większa jest ta potęga, która ma większy wykładnik. • Jeżeli dwie potęgi mają jednakowe podstawy dodatnie i mniejsze od 1 to większa jest ta potęga, która ma mniejszy wykładnik.

  25. Porównywanie potęg o takich samych wykładnikach • Jeżeli dwie potęgi o dodatnich podstawach mają jednakowe wykładniki to większa jest ta potęga, która ma większą podstawę.

  26. zadania

  27. Zadanie 2.1. Uporządkuj podane liczby rosnąco: 1) Rozwiązanie: 2) Rozwiązanie:

  28. Zadanie 2.2. • Która z liczb jest większa 3111 czy 1714? • Rozwiązanie: • Liczby 31 i 17 kojarzymy z potęgami liczby 2: • i ,stąd pomysł na oszacowania: • zatem 3111 jest mniejsze niż 1714.

  29. Zadanie 2.3. • Co jest większe 2520 czy 2025? • Rozwiązanie: • Potęgi można rozpisać następująco: • czyli 45 > 53, więc 2025 > 2520.

  30. Zadanie 2.4. • Wykaż, że liczba 2100 ma co najmniej 31 cyfr. • Rozwiązanie: • Wiemy, że , stąd otrzymujemy, że: • Liczba 1030 ma 31 cyfr, zatem liczba 2100 • jako większa od niej ma ich co najmniej tyle samo.

  31. 3. Notacja wykładnicza

  32. Notacjawykładnicza Każdą liczbę dodatnią można przedstawić w postaci iloczynu k.10n, gdzie 1 ≤ k < 10, a n jest liczbą całkowitą. Takie przedstawienie liczby nazywamy notacją wykładniczą lub naukową. Taką postać przedstawienia liczby stosujemy do zapisu liczb bardzo dużych i bardzo małych.

  33. Zastosowanie notacjiwykładniczej - Planety

  34. zadania

  35. Zadanie 3.1. • Masa Słońca wynosi około 2  1030 kg, a masa Ziemi około 6  1024 kg. Ile razy masa Słońca jest większa od masy Ziemi? • Rozwiązanie: • Odp. Masa Słońca jest ok. 3,3  105 razy większa od masy Ziemi.

  36. Zadanie 3.2. • Prędkość obniżenia terenu w okolicach Elbląga wynosi 8  10-11 m/s. O ile centymetrów obniżył się ten teren w ciągu stu lat? • Rozwiązanie: • Zamieniamy 100 lat na sekundy: 1 rok = 365 dni, 1 doba = 24 godziny, 1 godzina = 3600 sekund • 100 lat = 100  365  24  3600 s = • = 315360 s  • Odp.

  37. Zadanie 3.2. – c.d. • Obliczamy, o ile obniżył się teren w ciągu • : • Odp. W ciągu stu lat teren w okolicach Elblaga obniżył się o ok. 25 cm.

  38. Zadanie 3.3. Na głowie jest około 105 włosów. Włos rośniez prędkością 12 . 10-2 metra w ciągu roku. Zsumuj przyrosty wszystkich włosów w ciągu roku. Ile to metrów? Rozwiązanie: ilość włosów – 105 = 100000 sztuk roczny przyrost – 12 cm 100000 . 12 = 1200000 cm = 12000 m Odp. W ciągu roku razem włosy wydłużą się o 12000 m.

  39. Zadanie 3.4. Odległość Ziemi od Słońca zmienia się w ciągu roku od 1,471  108 km (w peryhelium, ok. 3 stycznia) do 1,521  108 km (w aphelium, ok. 6 lipca). Jaka jest różnica odległości Ziemi od Słońca w aphelium i w peryhelium? Rozwiązanie: 1,521  108 - 1,471  108 = 108 (1,521 - 1,471) = = 0,05  108 = 5  106 [km] Odp. Różnica odległości Ziemi od Słońca w podanym okresie wynosi 5 000 000km.

  40. Liczby „olbrzymy” i „liliputy”

  41. Liczby „olbrzymy” • Z liczbami-olbrzymami spotykamy się nie tylko w obliczeniach naukowych, bajkach, legendach, ale i w przyrodzie, zarówno w mikroświecie, w świecie atomów, jak i w makroświecie, w kosmosie, w świecie galaktyk. Liczba fizyczna jest wynikiem porównania pewnej wielkości z inną przyjętą za jednostkę miary. Nasze ludzkie jednostki są zbyt duże w świecie atomów, a zbyt małe w świecie galaktyk. Człowiek stoi więc na granicy dwu światów: "nieskończenie" małego i "nieskończenie" wielkiego.

  42. Liczby „olbrzymy” • W pogodną noc możemy zobaczyć gołym okiem najbliższą galaktykę: Wielką Mgławicę w Andromedzie, podobną do naszej Galaktyki. Natomiast w bezchmurny dzień widzimy Słońce, najbliższą naszą gwiazdę. • Jeśli uświadomimy sobie, że Wielka Mgławica w Andromedzie jest oddalona od Ziemi o około 220 000 000000000000000 km, a masa Słońca jest równa około • 1989 000 000000000000000000000000000 g, • to mamy wyobrażenie o liczbach olbrzymach.

  43. Liczby „olbrzymy” • Poniższa tabela przedstawia nazwy liczb, ich zapis w postaci dziesiętnej, oraz zapis w postaci potęgi liczby 10 (dla systemu stosowanego w Polsce).

  44. Przykłady liczb dużych • odległość Księżyca od Ziemi = 3,8  105 km • odległość Ziemi od Słońca = 1,5  108 km • odległość Ziemi od Marsa = 7,83  107 km • odległość Słońca od Gwiazdy Porannej • = 9,5  1018 km • odległość Słońca od Alfa Centauri • = 4,02  1016 km

  45. Przykłady liczb dużych odległość od najbliższej gwiazdy 4,1·1016 km płetwal błękitny waży 1,3∙105 kg słoń indyjski = 3,9 ∙103 kg goryl = 1,9 ∙10-2 t

  46. Przykłady liczb dużych • Masa całego znanego obecnie wszechświata wynosi (podobno) ponad 20 nonilionów gramów. (20 1054 g) • Ciało ludzkie składa się z 1028 atomów, Ziemia ma ich 1052. • Widocznych gwiazd jest około 1087.

  47. Liczby „liliputy”

  48. Przykłady liczb bardzo małych • średnica tułowia ameby = 6,2  10-4 m • masa wirusa ospy = 7  10-12 g • masa ziarenka maku = 5  10-4 g • masa atomu wodoru = 1,67  10-24 g • prędkość, z jaką rośnie bambus = 1,210-5 m/s

  49. Przykłady liczb bardzo małych • Masa cząsteczki wody – • 0,000 000 000000000000000 00003 kg • Masa protonu – 0,000 000 000000000000000000 001 672 6 kg • Masa elektronu - 0,000 000 000000000000000000000000 910 95 kg

More Related