Einführung in die Meteorologie (met210) - Teil IV: Dynamik der Atmosphäre

1. Einführung in die Meteorologie (met210) - Teil IV: Dynamik der Atmosphäre Clemens Simmer

2. IV Dynamik der Atmosphäre • Kinematik • Divergenz und Rotation • Massenerhaltung • Stromlinien und Trajektorien • Die Bewegungsgleichung • Newtonsche Axiome und wirksame Kräfte • Navier-Stokes-Gleichung • Skalenanalyse • Zweidimensionale Windsysteme • natürliches Koordinatensystem • Gradientwind und andere • Reibungseinfluss auf das Vertikalprofil des Windes Dynamische Meteorologie ist die Lehre von der Natur und den Ursachen der Bewegung in der Atmosphäre. Sie teilt sich auf in Kinematik und Dynamik im engeren Sinne

3. IV.2 Die Bewegungsgleichung • Die Newtonschen Axiome • Die wirksamen Kräfte • Druckgradient • Schwerkraft • Reibungskraft • Scheinkräfte (Zentrifugal-, Corioliskraft) • Die Navier-Stokes-Gleichung • Skalenanalyse • geostrophische Approximation • hydrostatische Approximation • geostrophischer Wind im p-Koordinatensystem

4. IV.2.1 Bewegungsgleichung im Inertialsystem Im kräftefreien Raum bewegt sich ein Körper mit konstanter Geschwindigkeit fort. Auf angreifende Kräfte reagiert ein Körper mit einer Beschleunigung (auch Definition der Masse). Greift eine Kraft an einem Körper an, so wirkt eine gleiche Kraft mit umgekehrtem Vorzeichen (actio = reactio). Unterschiedliche Kräfte addieren sich vektoriell zur Gesamtkraft. Die Newtonschen Axiome, die nur in einem Inertialsystem gelten, sind der Ausgangspunkt für die Bewegungsgleichung auf der rotierenden Erde.

5. IV.2.2 Auf die Atmosphäre wirksame Kräfte a) in einem Inertialsystem gilt nach Axiom 2 und dem Korrolar

6. Druckgradientbeschleunigung • An allen Wänden des Volumens (ΔxΔyΔz) wirkt der Luftdruck als Impulsflussdichte p=Kraft/Fläche =Impuls/(Zeit x Fläche) • Fläche A: p(x0+ Δx/2)=p(x0)+(∂p/∂x)(Δx/2) • Fläche B: p(x0 - Δx/2)=p(x0) -(∂p/∂x)(Δx/2) • Nettoimpulsflussdichte in x-Richtung p(x0+ Δx/2)-p(x0 - Δx/2)=- (∂p/∂x)Δx • Nettokraft (Druck x Fläche) Kx=­(∂p/∂x)ΔxΔyΔz= ­(∂p/∂x)V • massenspezifische Kraft (Beschleunigung) fx=Kx/m=­(∂p/∂x)V/m ­(1/ρ)(∂p/∂x) z A Δz B x0, y0, z0 y Δy Δx x

7. Schwerebeschleunigung Im Inertialsystem dürfen wir aber die Zentrifugalbeschleunigung der Erde nicht einbeziehen. Also gilt

8. x, y, z Reibungskraft (1) Austausch von Molekülen zwischen den Schichten unterschiedlicher Geschwindigkeit durch thermische Bewegung = molekulare Reibung Austausch von Luftpaketen zwischen den Schichten unterschiedlicher Geschwindigkeit durch Turbulenz = turbulente Reibung « Prinzip der Reibung: Analog zum Druck ist Reibung als Impulsaustausch zu sehen, allerdings nun parallel zu den Grenzflächen

9. x0, y0, z0 Δz Δy Δx Reibungskraft (2) Grundlegender Ansatz: Schubspannung, intuitiv zunächst nur für Reibung in der Horizontalen • τxz: Schub in Richtung x durch Impulsaustausch in Richtung ±z • wirkt oben und unten am Volumen • Differenz bewirkt Nettoschub

10. Reibungskraft (3) • τxz(z0+Δz/2) = 0 • τxz(z0-Δz/2) >0 • Δτxz= τxz(z0+Δz/2)- τxz(z0-Δz/2)<0 • Abbremsung • τxz(z0+Δz/2) > 0 • τxz(z0-Δz/2) <0 • Δτxz= τxz(z0+Δz/2)- τxz(z0-Δz/2)»0 • starke Beschleunigung • τxz(z0+Δz/2) >0 • τxz(z0-Δz/2) >0 • Δτxz= τxz(z0+Δz/2)- τxz(z0-Δz/2)~0 • weder Abbremsung noch Beschleunigung Entscheidend für Abbremsung oder Beschneunigung ist also nicht der Impulstransport selbst, sondern dessen räumliche Änderung: Konvergenz beschleunigt, Divergenz bremst.

11. Reibungskraft (5) Berechnung der Nettokraft in x-Richtung (Impulsflussdivergenz): Laminare und turbulente Strömungen

12. Reibungskraft (6) Problem: Neben τxz existieren noch τxy und τxx, und analog für die anderen Richtungen τyx, τyy und τyz, und τzx, τzy und τzz. Die τii sind schon durch die Druckgradientkraft erledigt! Lösung: Schubspannungstensor

13. Bewegungsgleichung für die Atmosphäre im Inertialsystem In der Bewegungsgleichung für das Inertialsystem treten die bekannten Coriolis- und Zentrifugalbeschleunigungen nicht auf! Als brauchbares Inertialsystem kann dabei ein in der Sonne verankertes Koordinatensystem sein, das seine Achsen starr am Fixsternhimmels ausrichtet.

14. IV.2.2 Bewegungsgleichung im Erdsystem b) im erdfesten Bezugssystem • Das erdfeste System ist kein Inertialsystem, da jeder feste Punkt (bis auf die Pole) durch die Erddrehung ständig seine Bewegungsrichtung ändern muss. • Massen auf der Erde reagieren auf diese Beschleunigungen mit Trägheit, d.h. sie versuchen ihre momentane Bewegung im Inertialsystem beizubehalten. • Im erdfesten System erscheinen diese Trägheitsbewegungen als Beschleunigungen, die dann als Reaktion auf Scheinkräfte interpretiert werden

15. Coriolisbeschleunigung- qualitativ (1) - • Ein von P (fest auf der Scheibe) nach Q geworfener Körper hat auch eine x-Komponente der Geschwindigkeit; sie entspricht etwa der u-Bewegung von P. • Nach der Zeit Δt ist P bei P‘ und auch der Körper muss etwa die gleiche Strecke in x-Richtung nach Q‘ zurück gelegt haben. • Der Punkt Q hat sich aber nur nach Q‘‘ verlagert, durch die kleinere Entfernung von der Drehachse. • Der Körper hat sich also relativ zur Scheibenoberfläche nach rechts bewegt. • Analoges ergibt sich für die umgekehrte Richtung. Q‘‘ Q Q‘ P‘ P t+Δt t0

16. Coriolisbeschleunigung- qualitativ (2) - • Die Vektoren seien Wege nach einer festen Zeit Δt. • P wirft nach Q (blauer Vektor). • Doch gleichzeitig ist die Drehung der Scheibe zu berücksichtigen (roter Vektor). • Die Summe ist der grüne Vektor, der die Position des Balls im Intertialsystem anzeigt. • Beachte nun die Position des Balls Q‘‘ relativ zu der Geraden P‘ Q‘. • Rechtsablenkung Q‘ Q P Q‘‘ P‘ Q‘ Q Q‘‘ P‘ P

17. Coriolisbeschleunigung- halb quantitativ (1) - Δs= ΔuΩΔt=(uΩ(A)- uΩ(B))Δt =(Rcos(φ)Δλ/Δt - Rcos(φ +Δφ)Δλ/Δt) Δt =(R(cos(φ) - cos(φ +Δφ))Ω) Δt mit λ Länge und φ Breite Mit bC= 2Δs/(Δt)² (Annahme einer konstanten Beschleunigung nach Ost: →s=1/2bct²) und Δφ/Δt=v/R → Δt= Δφ R/v folgt bC= 2R(cos(φ)-cos(φ +Δφ))Ω / (Δφ R/v ) = - 2Ωv(cos(φ+Δφ)-cos(φ)) / (Δφ) = - 2Ωv(Δcos(φ)) / (Δφ) ≈ -2Ωvd(cosφ)/dφ = 2Ωvsinφ • Ein Körper startet bei A mit konstanter Geschwindigkeit v nach B (nach Norden) und hält v aufrecht über ein Zeitintervall Δt. • Durch Erhaltung des Ost-Impulses nimmt er dabei eine Relativge-schwindigkeit in Ostrichtung ΔuΩ auf, und hat nach Δt die Strecke Δs nach Osten zurückgelegt. Δ • Der Körper beschleunigt nach rechts in Abhängigkeit von Geschwindigkeit und Breite Δ

18. Coriolisbeschleunigung- halb quantitativ (2) - • Ein Körper bewege sich mit der Relativgeschwindigkeit u nach Ost. • Er hat dann die Absolutgeschwindigkeit ua=u+Ωr=u+ΩRcosφ. • Da er einer Kreisbewegung folgt folgt eine Zentrifugalbeschleuni-gung von (ua)2/r. • Der erste Term ist das bekannte gz. • Die beiden letzten Terme beschreiben die zusätzliche Zentrifugalbeschleuni-gung durch die (relative) u-Bewegung. • Der dabei meist dominierende mittlere Term (nur er hängt vom Vorzeichen von u ab!) lässt sich in eine z und eine y-Komponente aufteilen (Abbildung). • Offensichtlich erfolgt in der Horizon-talen wieder eine Rechtsablenkung und zwar mit der Beschleunigung

19. Coriolisbeschleunigung- formal (1) - • Betrachtung der Darstellung eines Vektors im Intertialsystem und im rotierenden Erdsystem • Bildung der zeitlichen Ableitung unter Berücksichtigung der Änderung des rotierenden Koordinatensystems • Anwendung auf den Vektor der absoluten Geschwindigkeit.

20. z y‘ z‘ x‘ y x Coriolisbeschleunigung- formal (2) -

21. Coriolisbeschleunigung- formal (3) -

22. Coriolisbeschleunigung- formal (4) - • Scheinbare Beschleunigung relativ zur Erdoberfläche • Beschleunigung im Inertialsystem (= Summe der angreifenden Kräfte) • Beschleunigung durch Änderung der Erdrotation (Herbsttag 0,05 s kürzer als Sommertag, i.a. aber vernachlässigbar) • Coriolisbeschleunigung • Zentrifugalbeschleunigung

23. Coriolisbeschleunigung- formal (5) Coriolisbeschleunigung Wo ist u²/r von Folie 18 geblieben? Mit dem Coriolisparameter f=2Ωsinφ gilt für die horizontale Komponente

24. Navier-Stokes-Gleichung (1) + • Dabei wurden • totale Ableitung in partielle Ableitungen gesplittet • Rotationsvektor als konstant angenommen • Zentrifugalbeschleunigung in der Schwerebeschleunigung integriert • d‘/dt=d/dt gesetzt • Reibung verallgemeinert

25. Navier-Stokes-Gleichung (2) komponentenweise gekoppelte nichtlinear Diff‘gleichungen 2. Ordnung

26. IV.2.3 Skalenanalyse- für synoptische Systeme der mittleren Breiten - • Synoptische Skalenanalyse der z-Komponente (Vertikalwind) -> statische Grundgleichung • Synoptische Skalenanalyse der x/y- Komponente (Horizonalwind) -> der geostrophische Wind

27. Skalenanalyse (2)- charakteristische synoptische Größen - • Horizontalgeschw. U ~ 10 m/s • Vertikalgeschw. W ~ 10-2 m/s • Länge L ~ 106 m (1000 km) • Höhe H ~ 104 m (10 km) • Luftdruckvariat. DP ~ 103 Pa (10 hPa) • Zeit L/U = T ~ 105 s (ca. 1 Tag) • Coriolisparam. f = 2Wsinj ~ 10-4 s-1 • Luftdichte r ~ 1 kg/m3 • Luftdruck am Boden po ~ 105 Pa (1000 hPa)

28. Skalenanalyse (3) – horizontale Bewegungsgleichung - U/T 1/rDp/L fU fW - 10-4 10-3 10-3 10-6 - m/s2 ...Coriolisbeschleunigung und Druckgradientbeschleunigung heben sich gegenseitig auf!

29. synoptische Skalenanalyse (4)– geostrophischer Wind - geostrophischer Wind:

30. synoptische Skalenanalyse (5)- 3. Bewegungsgleichung - W/T 1/r po/H g fU - 10-7 10 10 10-3 - m/s2 ...Schwerebeschleunigung und Druckgradientbeschleunigung heben sich gegenseitig auf!

31. Synoptische Skalenanalyse (6)- Berücksichtigung der Beschleunigung - Offensichtlich bestimmt der ageostrophische Wind die Änderung des Windes. Wann ist das wichtig? Mit gegebenen Zahlen gilt Ro=0,1, also 10% Fehler bei Anname des geostrophischen Windes. Bei L=100 km und sonst unveränderten Skalen gilt Ro=1, also 100% Fehler (z.B. für Mesoszyklonen, oder mit U größer bei Hurrikanen)

32. Übungen zu IV.2 • Berechne den Vektor der Druckgradientbeschleunigung, wenn bei p=1000 hPa und einer Temperatur von 20°C der Luftdruck von Westen nach Osten um 5 hPa auf 100 km abnimmt. • Wie groß sind die Komponenten der Coriolisbeschleunigung bei einem Windvektor (u,v,w) = (15 m/s, 5 m/s, 0.002 m/s) am Pol, in 45°N und am Äquator. • Schätze die Größe der Terme der Gleichung für die Zentrifugalbeschleunigung auf Seite 18 ab. • Erläutere die Ableitung der Bewegungsgleichung auf der rotierenden Erde in ca. 20 Zeilen. • Welche Beschleunigungen würden Änderungen des Betrags des Rotationsvektors der Erde um 1%/Tag auslösen? Vergleiche den Betrag mit dem der Coriolisbeschleunigung. • Versuche eine Skalenanalyse der horizontalen Bewegungsgleichung für einen Badewannenwirbel.