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論文紹介： Topology Matching for Fully Automatic Similarity Estimation of 3D Shapes. 2004 年 6 月 9 日 論文紹介者：牧之内研 M2 陸 応亮. 論文タイトル.
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論文紹介：Topology Matching for Fully Automatic Similarity Estimation of 3D Shapes 2004年6月9日 論文紹介者：牧之内研M2 陸 応亮
論文タイトル Masaki Hilaga, Yoshihisa Shinagawa, Taku Kohmura and Tosiyuki L. Kunii,“Topology Matching for Fully Automatic Similarity Estimation of 3D Shapes”,SIGGRAPH 2001 Conference Proceedings, pp. 203-212, L.A., CA, U.S.A., August 2001.
リスト • 背景 • 目標 • MRG（Mutiresolution Reeb Graph）の説明 • MRGの構築 • MRGによる類似度の計算 • マッチングアルゴリズム • 実験結果
既存の手法 • 断面図による比較 • シルエットによる比較 • 特定の軸・方向に依存 • ２つの形状データを比較する時に、最適な軸・方向を計算する必要がある • 変形やノイズに弱い
既存の問題点 • ３次元形状データの類似度計算の問題点 • 平行移動・回転・拡大縮小・局所変形 • ポリゴンの詳細度の変化 • ノイズの付加
提案手法の特徴 • MRG（MRG: Mutiresolution Reeb Graph） • 物体の骨格的・位相的な情報を表現 • MRG構築の際の連続関数μに、測地線距離を導入することで、変形に強い類似度判定 • 複数の解像度ごとにリーブグラフを構築し、粗いレベルから順に判定することで、高速計算 • MRGの構築、MRGの比較アルゴリズム
提案手法の目標 • ３次元形状データのSimilarityを計算する
提案手法の目標 • 以下のような図形に対応できる • 回転・移動・拡大 (b) • ポリゴン数減少 (d) • ＋ノイズの追加 (f)
変形 • 変形に対応できる
提案手法の実装 • http://3d.csie.ntu.edu.tw/~dynamic/cgi-bin/DatabaseII_v1.8/index.html
提案手法の実装 • [CHEN,A 3D object retrieval system based on multi-resolution reeb graph]
システム略図 • 関数μで図形のMRG生成 • 類似度の算出
リーブグラフ(RG) • Reeb Graph [Reeb 1946] • 3D 物体の有用なサーチキー • 一次元である • 回転、変形、雑音に対応できる
リーブグラフ • 一般に，地形の概形は頂上，底点，そして峠によって認識でき，これらは臨界点（critical point）とよばれる． • 高さ関数を与える軸にそって物体表面を等高線群で表すと，等高線の生成，分岐，併合，消滅といった位相変化から臨界点が抽出される． • RG はその臨界点を表すノード間を，連続する位相的に同値な各等高線の連結成分を抽象化したエッジで結ぶことによって得られた，物体表面の位相的「骨組み」を表現するグラフである． [FUJISHIRO]
リーブグラフ • タカハシさんのＲＧの抽出アルゴリズム [Takahashi 95]
MRGの属性 • リーブグラフのMutiresolution拡張である • 隣接するレベルのノード間に親子関係である • レベル k のグラフは、レベル k+1 のグラフから構築可能
連続関数μの定義 • リーブグラフは連続関数μに依存 • 従来手法では z座標値をμとして使用 • 地形データ、CTデータなどの特定アプリケーションには有効 • 測地線距離（geodesic distance）を導入 • 測地線距離：曲面上にある２点間の、曲面上をたどる時の最短距離 • 平行移動・回転・局所変形による影響がない
連続関数μ • 他の全ての点からの測地線距離の合計 • 中央部ほど小さく、末端部ほど大きい値になる • 最大値で正規化 • モデルのサイズによる影響をなくすため アルゴリズム
MRGの構築 • 与えられたポリゴンモデルに対応するMRGを構築 • 頂点間の測地線距離を計算 • 最も細かいレベルのグラフを計算 • 順に粗いレベルのグラフを計算
MRG構築の前処理 • もとのメッシュを十分に細分化 [Ding-Yun Chen] • short-cut edgeのための辺 を追加 • Dijkstra のアルゴリズム [Dijkstra 1959] • ある頂点から全頂点への最小距離を計算 • 開始頂点から隣接頂点へ順番に最小距離を更新
RGの計算１ • 各区分に分割し、境界線上に頂点を追加
RGの計算２ • 連続部（T-set）から各ノード（R-node）を計算 • ノード間の接続関係（R-edge）を設定 • 順に１つ上のレベルのグラフを構築 Finest resolution RG 親 RG μn-range R-node T-set R-edge
MRGによる類似度計算 • ２つの３次元形状データのMRGにより類似度を計算 • ２つのリーブグラフにおける対応するノードの類似度の合計を計算 • ノード m, n の類似度 • グラフ R,S の類似度
グラフの類似度計算の手順 • 詳細レベルでマッチするノードの類似度を合計 • NLIST 未マッチングノードリスト • MLIST マッチングしているノードリスト(MPAIRの集合) MLIST MLIST MLIST
MRG間の位相構造の考慮 • R-node m,nは、以下の条件を満たす時にのみマッチする • 両方が同じ μ-range に属する • m, n の親がマッチする • m, n が隣接ノードから見て同一の枝にある（MLIST一致）
連続関数μの境界の問題 • 境界の位置によるμ空間分割の変化 • 境界を最適に動かすのは難しい • 複数のノードとマッチできるよう修正 • m1 は n1, n2, {n1,n2} とマッチ可能
実験環境 • 230モデルデータ を使用 • MRG resolution level is 7 （最大64μn区間） • Weight ： 0.5 • PentiumⅡ400MHz • OS:Linux
実験結果１ • 回転・移動・拡大 (b) • ポリゴン数減少 (d) • ＋ノイズの追加 (f)
計算速度（リーブグラフの構築） • 測地線距離の計算速度（Dijkstraのアルゴリズム）は、形状データの頂点数 v に依存 • O (vlog v) • 計算時間 • 10,000頂点で15秒 • 最初に一度だけ構築しておけば良い
計算速度（類似度計算） • 類似度評価の計算速度は、双方のMRGのノード数 m, n に依存 • O (m・(m+n)) when m<n • 計算時間 • １回の比較に平均 0.05 秒 • あるモデルと他の230個全部との比較時間 • 最低 1 秒・・・球（R-node数7） • 最高 37 秒・・・木のモデル（R-node数約300）
まとめ • ３次元形状データの類似度計算 • MRG、測地線距離 • 形状データの分類・検索などに活用可能 • 今後の課題 • ほかの図形情報を利用できるよう • 色・テクスチャ・曲率などを利用できるよう • 変形の区別を選択できるよう（測地線距離の代わりにユークリッド距離を導入）
付録１ 名詞short-cut edge • short-cut edge：メッシュの辺が同じ向きの場合、 は偏りがある
付録２ 基準点より頂点の測地線距離を計算アルゴリズム付録２ 基準点より頂点の測地線距離を計算アルゴリズム • {bi}はDijsktraのアルゴリズムよりの基準点
付録２ 基準点より頂点の測地線距離を計算アルゴリズム付録２ 基準点より頂点の測地線距離を計算アルゴリズム • {bi}はDijsktraのアルゴリズムよりの基準点 {bi} area(bi)
MRGのマッチ判定 • R , S はそれぞれの MRG
ノードのマッチ判定 • 類似度：a(m) と l(m) を一定の比率で考慮 • 自分自身のノードと隣接するノードの類似度からノードがマッチするかを判定
ノードの類似度計算 • a(m)・・・ノードmの占める面積の比率 • l(m)・・・ノードmの占める長さ(μの範囲)
