VIBRASI KRISTAL

1. VIBRASI KRISTAL 3.1. GelombangElastis • Zatpadatsecaramikroskopiktersusunatas atom-atom yang diskri. Kediskritaninidigunakandalampembahasanvibrasikisi Bilagelombang yang merambatadalahgelombang longitudinal danperpindahansecaraelastispadatitik x adalah u(x), makasesuaidenganhukum Newton II padasegmendxberlakuhubungan x x+dx dx dimana = rapatmasa ; A = luaspenampang ; S = stress yang didefinisikansebagaigayapersatuanluas, sesuaidenganhukum Hooke S = Ye Dengan Y = modulus Young (atau modulus elastis “bulk” K), e = strain yang didefinisikansebagai

2. Sehinggadapatdiperolehpersamaangelombangsatudimensi. Bentukpenyelesaianpersamaaniniadalahberbentuk : • U=Cei(kx–t) C = amplitudo ; k = bilangangelombang ;  = frekuensisudutgelombangdenganrelasi = vk • Gelombangdarivibrasikisidalamkristaladalahpengulanganperpindahanatomik (longitudinal, transversal ataukombinasikeduanya). dikarakterisasioleh : • Cepatrambatgelombang v • Panjanggelombangatauvektorgelombang | k |= 2/ • Frekuensiataufrekuensisudut = 2  = v k

4. Us-1 Us+4 Us+1 Us Us+2 Us+3 K 3.2. VibrasiPada Kisi Monoatomik Gelombangelastikdarivibrasipadakisidisebutsebagaifonon, yang manamerupakanvibrasikolektifsuatubahan. Model kisidengan basis monoatomikdalamsatubidang s dengankonstantakisi asebagaiberikut . Model kisimonotomik: Bidang atom berpindahpadagelombang longitudinal Koordinat Umenggambarkanperpindahanbidang s dariposisikesetimbangannya.

5. Us-1 Us+1 Us Us+2 Us-2 K • Model kisimonotomik : Bidang atom berpindahpadagelombang transversal. • Koordinat Umenggambarkanperpindahanbidang s dariposisikesetimbangannya.

6. Bilaterdapatgaya yang bekerjapadabidang s sehinggamengakibatkanperpindahan atom-atom padabidang s kes+p, dimanagayatersebutsebandingdenganperbedaanperpindahankeduabidang, (Us+p – Us). Bilakitahanyamemperhatikaninteraksiantarabidangterdekatsaja, yaitu p = ± 1 saja, gaya total pada s yang datangdaribidang s ± 1 denganadalahkonstantagaya. Iniadalahungkapandarihukum Hooke denganperpindahan linier Padazatpadat yang homogentransmisisuatugelombangbidangdalamarahtertentu, arah x dapatdiungkapkandalambentukpersamaanperpindahan, U=Aexp.[i(kx–t)] A = amplitudo, k = bilangangelombang,  = frekwensisudut, t = waktu

7. Lebihkhususseamalogdengan pers.(3-9), perpindahanbidangke s, Us=Aexp.[i(k.s.a – t)] (3-10) s.a = posisikesetimbanganbidangke s ; a = jarakantarbidang. Turunandua kali pers.(3-10) terhadapwaktu t, diperoleh Sesuaidenganhukum Newton kedua, gayapemulihpadabidang s adalah :

8. Relasidispersigelombangdalamkisimonotomikadalah : . Tanda + dan - menunjukkanperambatangelombangkekananataukekiri. kemiringan (slope) kurvadarisebagaifungsi k adalahnolpadabataszonaBrillouin

9. karenapada k = ±/a, sin(k.a) = sin(±) = 0. Plot terhadapk sbb : 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0

10. Daerah | k | </a adalahzonaBrillouinpertama • Daerah k yang kecilmerupakandaerahspektrumdarigelombang yang panjang. • Bagik.a <<1, maka sin (k.a/2)  (k.a/2) danrelasifrekwensisudutterhadapbilangangelombangadalah

11. 3.3. KecepatanFasedanKecepatan Group Besaran v0=/k adalahkecepatanfasauntukpanjanggelombang yang panjangdalam medium elastis. Besaran m/a adalahkerapatan (masapersatuanpanjang) adalah modulus “bulk”dalamsatudimensi. Dalamtigadimensizatpadatberbentukkubus, rapatmasa  = m/a3dan modulus bulk B = /a. Denganbesaranbesaraninihargakoefisienkekakuan (stiffness) antaratomikdapatdiungkapkansebagai Kecepatantransmisisuatupaketgelombangdisebutdengankecepatan group, yang didefinisikansebagai

12. Iniadalahkecepatanrambatenergididalam medium. Sedangkankecepatanfasanyaadalah : Hargaadalahmaksimumpada | sin (ka/2) | = 1. Inidapatdiperolehpada k= ± (2n+1)/a, dengan n = 0,1,2,3, …. Kecepatanfasagelombangmisalnyapada n = 0, atau k = ±/a adalah sedangkankecepatangroupnyaadalahnol untuk k mendekati 0, dimana sin(ka/2)  ka/2 kecepanfasenyaadalah

13. Padadaerah k<</a atau 2a<< (panjanggelombangjauhlebihbesardaripadajarakantar atom) kecepatanfasadankecepatan group adalahsama, dimana 2a <<dinamakanbatasgelombangpanjang. Panjanggelombangterpendekbagigelombangdalamkristal linier yang masihmempunyaimaknafisisadalahpada =2a, dengan a adalahjarakantara atom terdekatdidalamkristalpadakedudukankesetimbangnya. • =2a adalahsesuaidenganharga k=/a. Daerah antara -/ak/a dinamakandaerahBillouinpertama. Derahinimerepresentasikansemuagelombang yang masihbermaknafisisdidalamkristal. • Kasusdimana k=/a disebutjugasebagaikondisirefleksi Bragg. Padakasusini atom yang bertetanggabergetardenganfase yang berlawanan, sebagaimanadengangelombangtegak. • Untuk k=0 yang manasesuaidengan = ~, menunjukkanbahwasemua atom atomsecarabersamaanbergerakkesatuarahtertentuataubertranslasisebagaisatukesatuan.

14. 3.4. Kristal Linier Diatomik a a (2r-2) 2r Anadaikanterdapatduajenis atom yang bermasaM yang terletakdalamsatubidangdan atom yang bermasampadabidang yang lain. Kedua atom tersebutdapatdipandangsebagaisaturantai linier dimanajarakantaradua atom terdekatpadasaatkeadaankesetimbangannyaadalah a. Diasumsikanbahwainteraksihanyaterjadidiantara atom terdekatsajadankonstantagayaadalahidentik . • Persamaangayabagiperpindahan U2rdan U2r + 1 adalah (2r+1) (2r+2) (2r-1)

15. Persamaaninimempunyaisolusi yang berbentuk : U2r = Aei[ka (2r) – t • U2r+1=Bei[ka (2r+1) – t] • Substitusipersamaaninikedalampersamaangerakdiatasdiperolehpersamaan linier simultan. • M2 B =  A [eika + e-ika] – 2 B • m2 A =  B [eika + e-ika] – 2 A • Atau • M2 B =  A [2 Cos (ka)] – 2 B • m2 A =  B [2 Cos (ka)] – 2 A • Persamaaninimemilikisolusi yang tidak trivial hanyajikadeterminankoefisien A dan B samadengannol, yaitu (2  - M2 ) - 2 Cos (ka) = 0 - 2Cos (ka)(2 - m2)

16. Dengandemikiandapatdiperolehduasolusi, yaitu Dengan12 = 0untuk k = 0dan12 = 2/Muntuk ka = /2 • 22 = 2  (1/m + 1/M) untuk k = 0 dan22 = 2/m untuk ka = /a • Spektrum yang dihasilkandarihubungansebagaifungsi k sepertidiperlihatkanpadaGambarberikut

17. Modus Optik Modus Akustik 12 = 2/M Cabangbagianbawahadalahbagiannegatifnya. Cabanginidisebutdengancabangakustik. Cabangbagianatasadalahbagianpositifnya . Cabanginidisebutdengancabangoptik 22 = 2/m FrekuensiSudut ω (-/2a) 0 (-/2a) Gelombang vector k

18. Analisisgambar : Perpindahansekarangdapatdiungkapkandalambentukvektorgelombangdenganbesarabsoluttidaklebihbesardari/2a sedangkanbatasdaerahBrillouinpadarantai linier monoatomikadalah ± /a • Dari cabangakustiknya • Frekwensisudutmaksimumragamvibrasiakustikadalah : • Tampakbahwafrekuensisudutmaksimumtidaktergantungpadamasa atom yang lain didalamrantai. Frekuensisudutberkisarantara 0 sampai1 • 2. Perbandinganamplitudokedua atom sebagaifungsifrekwensi Tampakperbandinganamplitudotersebutmendekatisatu (seluruh atom bergerakdengancara yang sama, padagelombang yang panjang, amplitudonyasefasa, vektorgelombang | k | << /2a

19. 3. Pada | k | = /2a Frekuensisudut Dari cabangoptiknya, daerahvibrasiadalah

20. Panjang-gelombang yang panjangpada modus optic memnuhikondisi 1. * Pada k  0 ; Kecepatanfasa/k  ~ Kecepatan group d/dk 0 * Pada k /2a • Kecepatan group d/dk 0 2. Pada k = 0 perbandinganamplitudo B/A adalahnegatif : Artinya, getaran atom bermasa m berlawananfasadengangetaran atom bermasa M ; MB + mA=0 menyatakanbahwatitikpusatmasa atom tidakberubah

21. 3.5. KuantisasiGelombangElastis Gelombangelastisdalamkristaldibangunolehapa yang disebutdenganfonon. Energikuantumfononadalahseanalogdenganfotongelombangelektromagnetik. Olehkarenaituenergivibrasikisi (fanon) adalanterkuantisasi, dapatdiungkapkansebagai n = bilangankuantumutama ;  = frekwensisudut. Suku ½adalahenergititiknoldariragam (modus) vibrasi. Persamaandiatasdapatdiperolehdari model fonondalamkristalsebagaikuantumosilatorharmonik. Telahdiperlihatkandalambabterdahuluhukum Bragg dapatditulisdengancara rang berbeda, k = Ghkl Dengank = k’- k adalahvektorhamburan, Ghkladalahvektordalamkisibalik.

22. Hubungantersebutkemudiandapatdituliskanmenjadi k = k’+ Ghkl Inidapatdiinterpretasikansebagai : k adalah momentum linier fotondatang, k’adalah momentum linier fotonterhambur. Ghkldiinterpretasikansebagai momentum linier seluruh kristal Dengandemikian pers.(3-36) dapatdiinterpretasikansebagaikekekalan momentum linier dalamprosestumbukan Energikinetik yang berkaitandengan momentum linier kristaltersebutadalah dengan M adalahmasakristal. Masakristaladalahsangatbesardibandingkandenganenergifoton yang terlibat, sehinggaenergikinetikdiatashampirmendekati nol.

23. Bilasuatukristalriilditembakidenganberkasnetronmonokromatiksehinggaterjadiinteraksiantaranetrondenganinti atom yang dalamkeadaanbergetar yang diinterpretasikansebagaifonon. Hukumkekekalam momentum linier dinyatakansebagai, k = k’+ Ghkl+ K (3-37) dengan kadalah momentum linier netrondatang, k’ adalah momentum linier netronterhambur, Ghkladalah momentum kristal, K adalah momentum linier fonon. DalamhaliniKdapatberharga + atau – (: dapatdihasilkanfonon (phonon creation) ataufononsirna (phonon annihilation)), tergantungkeadaandalamproses). Hubungandiatasadalahhamburantak-elastis. • Kekekalanenergidalamprosestersebutdinyatakansebagai • m= masanetron ; M=masaseluruhkristal; Kadalahfrekuensifonon.

24. Telahdisebutkandiatasbahwaenergikinetikkristaladalahmendekatinol, sehingga Dengandemikiandapatdisimpulkan • Fononadalahkuantisasidarigetarankisikristal. • Dalaminteraksinyadenganpartikel, fononberprilakusebagaipartikeldengan momentum tertentu. • Hubunganantarafrekunsifonondenganmomentumnyatidakperlu linier, tergantungpadabentukpersamaandispersi = (K)