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MOTIVAÇÃO. A Estatística e Deming. W. E. DEMING Nasceu em 14 de Outubro de 1900 em Sioux City, Iowa. Em 1921 licenciou-se em Física, na Universidade do Wyoming e, em 1928, doutorou-se em Matemática pela Yale University.

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MOTIVAÇÃO

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Presentation Transcript


Motiva o

MOTIVAO

A Estatstica e Deming.

W. E. DEMING

Nasceu em 14 de Outubro de 1900 em Sioux City, Iowa. Em 1921 licenciou-se em Fsica, na Universidade do Wyoming e, em 1928, doutorou-se em Matemtica pela Yale University.


Motiva o

O impacto das suas idias foi de tal forma elevado que Deming , hoje, considerado o pai do milagre industrial japons. Morreu em 1993, com 93 anos.Em sua homenagem, a JUSE (Japan Union of Scientists and Engineers) instituiu o Deming Prize, que premia anualmente as melhores empresas no campo da qualidade. Deming foi condecorado pelo imperador do Japo com o mais elevado galardo atribudo a um estrangeiro: a Medalha de 2. Ordem do Sagrado Tesouro.

Os Estados Unidos s o descobriram na dcada de 80. Em 1986, Reagan atribuiu-lhe a National Medal of Technology e nesse ano foi lanado o livro Out of Crisis, a obra que consolidou de vez a sua fama como o grande mestre da qualidade.


Motiva o

W.E. DEMING

W. E. DEMING


Motiva o

ENGENHARIA: CEP, DOE, CONFIABILIDADE


Motiva o

Allysson Paulinelli Ministro da Agric. 1974 linelli

Coloca Eliseu Alves, na presidncia da EMBRAPA

Cria 14 Centros de Pesquisas em 14 regies do pas (exceto o caf que tinha o IBC e o cacau que tinha a CEPLAC)

Criou 4 Centros de Recursos Genticos para o cerrado em Braslia.

Com uma verba de US 200 milhes, escolheu nas melhores universidades brasileiras 1600 recm-formados e mandou-os fazer Mestrado e Doutorado nas melhores escolas agrcolas do mundo: California, Wisconsin, California, Wisconsin, Frana, Espanha, ndia, Japo, etc.


Motiva o

1. ANLISE COMBINATRIA

As vrias maneiras de se dispor os objetos de um conjunto em grupos denominados agrupamentos dependem basicamente de duas caractersticas:

1.) em cada agrupamento formado todos os elementos so distintos;

2.) em cada agrupamento pode haver repetio de elementos.


Motiva o

Quando os agrupamentos tm a primeira caracterstica (todos os elementos so distintos) so chamados de agrupamentos simples.

E, quando os agrupamentos tm a segunda caracterstica (repetio de elementos) denominam-se agrupamentos com repetio.

Considerando o modo de formao dos grupos tem-se:

Arranjos, Permutaes e Combinaes


Motiva o

Anlise Combinatria Simples o estudo da formao, contagem e propriedades dos agrupamentos simples.

Nos agrupamento simples os grupos diferem pela ordem ou pela natureza dos elementos que o compem.

E, no caso de diferirem pela natureza, tem-se que pelo menos um dos elementos de um dos grupos formados no pertence ao outro.


Motiva o

FATORIAL de um nmero inteiro n representado por n! definido por:

n! = n(n-1)(n-2)(n-3)........(n-n+2)(n-n+1)

n! = n(n-1)(n-2)(n-3)........3.2.1

Especialmente, tem-se, por definio:

0! = 1

1! = 1

ARRANJOS de n elementos tomados p a p

= = n(n-1).(n-2)......(n-p+2)(n-p+1)


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Permutao de n elementos a denominao dada aos arranjos com n = p, ou seja, so os elementos de A com p = n. Fica fcil ver que Pn = = n(n-1)(n-2) ... (n-n+1) = n!

Combinao simples de n elementos tomados p a p

representada por = Cn,p = =

Nmeros Binomiais ou Combinatrios

Os nmeros conhecidos como binomiais so aqueles da forma

e so representados por:


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Exerccios:

1) Calcule o valor numrico de cada uma das expresses:

a) 5! + 2! = 5.4.3.2.1 + 2.1 = 120 + 2 = 122

b) = =

5) Calcule o valor de x na equao (x+2)! = 2(x+1)!

Soluo:

(x+2)(x+1)x(x-1)(x-2)1 = 2[(x+1)x(x-1)(x-2)...1]

(x+2) = 2 x = 0


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8) Calcule o nmero de arranjos de 4 elementos tomados de 2 em 2.

Soluo: A = = = 12

11) Calcule o valor da expresso

Soluo: + + = 1+ 120+ 1 = 122

2) Qual o nmero de permutaes simples com objetos repetidos que se pode obter com as letras da palavra matemtica?

P =


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Matemtica tem: 2 letras m, 3 letras a, 2 letras t, 1 letra e, 1 letra i e 1 letra c. Logo, n = 10 letras.


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4) Em certo ano, somente quatro times de futebol tm chances de ficar em dos trs primeiros lugares do campeonato brasileiro. So eles Santos, Corinthians, Coritiba e Flamengo. Quantas so as possibilidades para cada um dos trs primeiros lugares? R: 24

Soluo:

Deve-se agrupar 4 elementos de 3 em 3. Como os agrupamentos so distintos pela ordem e pelos elementos tem-se Arranjo.

A =


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7) Quantas diagonais tem o pentgono?

Soluo:

necessrio agrupar os 5 vrtices do pentgono de 2 em 2. Trocando a ordem o agrupamento o mesmo, portanto tem-se combinao de 5 elementos tomados de 2 em 2, mas deve-se descontar os 5 lados.

Cn,p = - 5 = - 5 = 10 5 = 5


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9) Considere n objetos. Agrupando-os 4 a 4 de modo que cada grupo possua pelo menos um objeto diferente do outro obtm-se o mesmo nmero de grupos que o obtido quando se junta os objetos de 6 em 6. Qual o valor de n?

Soluo:

Cn,p = Cn,4 =

Cn,6 =

Sabe-se que nmeros binomiais com mesmo numerador (n) e mdulos complementares (p) so iguais.


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Ento,

so complementares

portanto 4 = p e 6 = n p

6 = n - 4

n = 10


2 probabilidade e modelos de probabilidade

2. PROBABILIDADE E MODELOS DE PROBABILIDADE

  • Considere o experimento de jogar um dado equilibrado e observar o nmero da face superior. Observa-se no experimento que:

  • Os resultados possveis de ocorrer formam o conjunto = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

  • DEF. 1 ESPAO AMOSTRAL, , de um experimento realizado sob condies fixas, o conjunto de todos os resultados possveis do experimento, entendendo-se por resultado possvel todo resultado elementar e indivisvel do experimento.


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2.1.1) Considere, o experimento que consiste na escolha, ao acaso, de um ponto equidistante dos extremos do segmento de reta AB com comprimento de 2 cm, contido no eixo das abscissas de um Sistema Cartesiano e com A colocado na origem do sistema.

y m

A 1 1 B x


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  • Descreva o espao amostral do experimento;

  • = {(x,y) R2 | x = 1}

  • b) Descreva o resultado 1 distncia entre o ponto escolhido e o ponto mdio do segmento 2 na forma de subconjunto do espao amostral;

  • 1 = { (x,y) | y 2}

  • c) Descreva o resultado 2 distncia entre o ponto escolhido e a origem ;

  • 2 = { } =

  • d) Descreva o resultado 3 a 1a. coordenada do ponto escolhido tem comprimento menor que a 2. .

  • { (x,y) | x |y|}


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DEF. 2 RESULTADO COMPOSTO todo resultado formado por mais de um resultado elementar e indivisvel.

Ex.: O resultado nmero par NP = {2, 4, 6}no elementar e indivisvel, pois composto por trs resultados deste tipo {2}, {4} e {6}, logo nmero par um resultado composto.

O resultado nmero par o subconjunto NP = {2, 4, 6} . Assim, todo resultado do experimento subconjunto do espao amostral.


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DEF. 3-LGEBRA, A, de subconjuntos do conjunto no-vazio a classe de subconjuntos de satisfazendo as propriedades:

1a.) A

2a.) Se A A Ac A

3a.) Se A1, A2, A3, ..... A A

A -LGEBRA mais simples o conjunto das partes de , ou seja, P() = {, {1}, ... , {6}, {1,2}, ... , {5,6},...., } no experimento do lanamento do dado, p.ex.

DEF. 4 Seja o espao amostral do experimento. Todo subconjunto A ser chamado de evento, o conjunto evento certo, o subconjunto o evento impossvel e se o evento {} dito elementar e indivisvel.


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DEF. 5 DEFINIO CLSSICA DE PROBABILIDADE (quando finito).

Seja A um subconjunto do espao amostral , AP(), ento se todos os resultados elementares de so equiprovveis a medida da probabilidade de ocorrncia do evento A dada por

P(A) = , A A.


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  • 2.1.2) Um dado lanado. Pergunta-se a probabilidade dos eventos:

  • A = sair um nmero mpar.

  • A = {1, 3, 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

  • P(A) = =

  • b) B = sair um nmero menor que 3.

  • B = {1, 2}

  • P(B) = = = 1/3


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c) C = sair um nmero maior que 10.

C = { }

P(C) = =

d) = sair um nmero inteiro maior ou igual a 1 e menor ou igual a 6.

= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

P() = =


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2.2.5) Durante um perodo de 24 h, em algum momento X, uma chave posta na posio ligada. Depois em algum momento futuro Y (dentro do perodo de 24h) a chave virada para a posio desligada. Suponha que X e Y sejam medidas em horas, no eixo dos tempos, com o incio do perodo na origem da escala. O resultado do experimento constitudo pelo par de nmeros (X, Y).


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  • Descreva o espao amostral.

  • = {(x,y) R2 | 0 < x < y < 24}

  • b) Descreva e marque no plano XY os seguintes eventos:

  • (i) O circuito est ligado por uma hora ou menos.

  • A = {(x,y) | y x < 1}

y< x +1

y > x+1

y = x


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(ii) O circuito est ligado no tempo Z, onde Z algum instante no perodo de 24 h.

B = {(x,y) | 0 < x < z < y < 24}

y > x


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(iii) O circuito ligado antes do tempo t1 e desligado depois do tempo t2 (onde t1< t2 so dois instantes durante o perodo especificado de 24 h).

C = {(x,y) | x < t1 < t2 < y < 24}

(iv) O circuito permanece ligado duas vezes mais tempo do que desligado.

y x = 2(x+24-y)

y x = 2x+48-2y 0 x y 24

3y = 3x + 48

y = x + 16


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D = {(x,y) | y = x + 16}


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DEF. 7 DEF. GEOMTRICA DE PROBABILIDADE (Gnedenko)

Suponha que um segmento seja parte de um outro maior L

e que se tenha escolhido ao acaso um ponto de L.

Se admitirmos que a probabilidade deste ponto pertencer a

seja proporcional ao comprimento de e no depende do

lugar que ocupa em L, ento a probabilidade de que o ponto selecionado esteja em :

L


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Exerccio

Suponha que a rea de um estado seja de aproximadamente 200.000 km2. e que a rea de uma regio metropolitana seja de 2.500 km2. Ento, sabendo-se que um raio caiu no estado, qual a probabilidade de ter cado nessa regio metropolitana?

P(R) = = = 0,0125 = 1,25%


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DEF. 9 DEF. AXIOMTICA DE PROBABILIDADE (Kolmogorov)

Probabilidade ou medida de probabilidade na -lgebra A a funo P definida em A e que satisfaz os axiomas seguintes:

A1) P(A) 0

A2) P() = 1

A3) Se A e BA e so disjuntos P(A B) = P(A) + P(B)

Se A1, A2, A3, ... , An A e so disjuntos, ento

A3) Se A1, A2, A3, ... A e so disjuntos, ento


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DEF.10 ESPAO DE PROBABILIDADE

o trio (, A, P), onde , A e Pso definidas anteriormente.

Propriedades da Probabilidade

Alm das propriedades enunciadas na definio axiomtica, a funo P goza, ainda, das seguintes:

P1) Se A um evento aleatrio, ento a probabilidade de A no ocorrer dada por: P(Ac) = 1 P(A)

P2) Se A um evento aleatrio, ento 0 P(A) 1

P3) Se A1 A2 P(A1) P(A2) e P(A2 - A1) = P(A2) - P(A1)

P4) P(A1A2) = P(A1) + P(A2) - P(A1A2)

P5)

P6)


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P7)

  • P8)

  • P9)

  • P10) Continuidade em Probabilidade: Seja a seqncia {Ai}

  • i = 1,2,3, ... onde Ai Ai, ento:

  • se Ai A P(Ai) P(A) e

  • se Ai A P(Ai) P(A).


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Exerccio 1: Prove a propriedade P1.

Prova de: P(Ac) = 1 P(A)

Seja o espao amostral A

Ac

Considere a unio de subconjuntos disjuntos AAc =

P(AAc) = P()

P(A) + P(Ac) = 1 pelos axiomas A2 e A3

P(Ac) = 1 P(A)


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Exerccio 2: Prove a propriedade P2.

Prova de: 0 < P(A) < 1

Do axioma A1 P(A) > 0

E da propriedade P1 P(A) = 1 P(Ac)

para o menor valor de P(Ac) que zero (axioma 1) tem-se o maior valor de P(A) que 1. Portanto,

0 < P(A) < 1


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Exerccio 3: Prove a propriedade P3 .

Prova de: Se A1 A2 P(A1) < P(A2) e P(A2 A1) = P(A2) P(A1)

Seja a unio de eventos disjuntos:

A2 = A1(A2A1c)

P(A2) = P[A1(A2A1c)]

P(A2) = P(A1) + P(A2A1c) axioma A3

P(A1) = P(A2) P(A2A1c) P(A1) < P(A2)

E, P(A2 A1c) = P(A2 A1)

P(A2 A1c) = P(A2) P(A1)

Ento, P(A2 A1) = P(A2A1c) = P(A2) P(A1)

A1

A2


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Exerccio 4: Prove a propriedade P4 .

Prova: P(A1A2) = P(A1) + P(A2) P(A1A2)

A2

A1

A1 A2

Seja a unio de eventos disjuntos A1A2 = A1 (A2 A1 A2)

Ento, P(A1A2) = P[A1 (A2 A1 A2)]

P(A1A2) = P(A1) + P[A2 A1 A2)]

P(A1A2) = P(A1) + P(A2) P(A1 A2) por P3


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  • 2.2.6) Sejam A, B, C trs eventos associados a um experimento. Exprima em notao de conjunto as seguintes afirmaes verbais:

  • Veja que significa ou e associamos a adio (+).

  • E, significa e e associamos a multiplicao (x).

  • Ao menos um dos eventos ocorre;

  • ABC

  • b) Exatamente um dos eventos ocorre;

  • (ABc Cc) (AcBCc) (AcBc C)

  • c) Exatamente dois dos eventos ocorrem;

  • (AB Cc) (ABc C) (AcBC)

  • d) No mais de dois eventos ocorrem simultaneamente.

  • (AB C)c


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Probabilidade Condicional

DEF. Seja o espao de probabilidade (, A, P) e os eventos A, B A com P(B) > 0, a probabilidade condicional do evento A dado o evento B definida por:

P(AB) =

OBS:

1.) Se P(B) = 0, P(AB) pode ser arbitrariamente definida. A maioria dos livros faz P(AB) = 0, mas conveniente pela independncia se fazer P(AB) = P(A).

2.) Como P(AB) uma probabilidade, vale para ela todas as propriedades de probabilidade.


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3.) Como P(AB) =

Ento, a probabilidade da ocorrncia simultnea de A e B dada por: P(A

Teorema da Multiplicao ou da Prob. Composta

Seja o espao de probabilidade (, A, P), ento:

I. P(A A,B A

II. P(

= P(A

A1, A2, A3, ....., AnA.


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Prova:

n = 2 P(A1A2) = P(A1)P(A2|A1) por definio

n = 3 P(A1 A2 A3) = P[(A1 A2) A3]

= P(A1 A2).P(A3|A1 A2) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 A2)

por induo, aceita-se a regra para n 1

P(A1 ... An-1)=P(A1).P(A2|A1)...P(An-1|A1 A2 ... An-2)

E prova-se para n assumindo o resultado de n -1

P(A1 ... An)=P[(A1 ...An-1) An)

= P(A1 ... An-1)P(An|A1 ... An-1)

usando o resultado para n-1

= P(A1)P(A2|A1)...P(An-1|A1 ...An-2)P(An |A1 ... An-1)


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Independncia de eventos

DEF.: Seja o espao de probabilidade (, A, P). Os eventos aleatrios A e BA so estocasticamente independentes se:

P(A , ou seja, P(B|A) = P(B) e P(A|B)=P(A).

Eventos Mutuamente Exclusivos

DEF.: Os eventos A e B, com A, B A so mutuamente exclusivos (disjuntos) se , ou seja, A .


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Propriedades de Eventos Independentes

1a.) O evento aleatrio AA independente de si mesmo se e somente se P(A) = 0 ou P(A) = 1.

2a.) Se A e B so eventos aleatrios independentes pertencentes a A, ento A e Bc, Ac e B, Ac e Bc tambm so independentes.

3a.) Se A e B so eventos aleatrios mutuamente exclusivos pertencentes a A, ento A e B so independentes somente se P(A) = 0 ou P(B) = 0.


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A1

A3

.......

A2

  • Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes

  • PARTIO DO ESPAO AMOSTRAL

  • Sejam A1, A2, A3, ... eventos aleatrios mutuamente exclusivos e exaustivos, isto , os Ai so disjuntos e Ai = . Ento, os eventos Ai formam uma PARTIO DO ESPAO amostral .


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importante observar DUAS COISAS, admitindo-se que a seqncia A1, A2, A3, ... seja FINITA ou INFINITA ENUMERVEL:

1.) Ai e Aic formam uma PARTIOAiA.

2.) evento B A tem-se pois os Ai so disjuntos e, ento, os B Ai tambm so disjuntos e logo

P(B) = P[ ]


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A4

A1

A3

A2

A5

B

Seja o evento B , ento a probabilidade do evento B ocorrer dada por: que o Teorema da Probabilidade Total


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Com base no Teorema da Probabilidade Total possvel calcular a probabilidade do evento Aj dada a ocorrncia do evento B, pela frmula conhecida como,

Teorema de Bayes


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2.3.1) Dez fichas numeradas de 1 a 10 so misturadas em uma urna. Duas fichas, numeradas (x, y), so extradas da urna sucessivamente e sem reposio. Qual a probabilidade de x + y =10?

= {(1,2), (1,3), ...... ,(9,10)} # =

A = {(1,9), (2,8), (3,7), (4,6), (9,1), (8,2), (7,3), (6,4)} #A = 8

P(A) =


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  • 2.3.2) Um lote formado de 10 artigos bons, 4 com defeitos menores e 2 com defeitos graves. Um artigo escolhido ao acaso. Ache a probabilidade de que:

  • Ele no tenha defeitos;

  • P(B) =

  • b) Ele no tenha defeitos graves;

  • P(DGc) =


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c) Ele, ou seja perfeito ou tenha defeitos graves;

P(B DG) = P(B) + P(DG) P(BDG)

P(B DG) = + - 0 = = (mutuamente exclusivos)

d) Resolva os itens b e c aplicando a definio de probabilidade.

(b) P(DGc) =

(c) P(B DG) =


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  • 2.3.3) Se do lote de artigos do problema anterior, dois artigos forem escolhidos (sem reposio), ache a probabilidade de que:

  • Ambos sejam perfeitos;

  • P(B1 B2) = P(B1)P(B2|B1) =

  • b) Ambos tenham defeitos graves;

  • P(DG1 DG2) = P(DG1)P(DG2|DG1) =

  • c) Ao menos 1 seja perfeito;

  • P[(B1 B2c) (B1c B2) (B1 B2) =

  • = P[(B1 B2c )+P(B1c B2)+ P(B1 B2)

  • = P(B1)P(B2c|B1) + P(B1c)P(B2|B1c) + P(B1)P(B2|B1)


Motiva o

= = 7/8

d) No mximo 1 seja perfeito;

P[(B1c B2c) (B1 B2c) (B1c B2)] =

= P(B1c B2c) + P(B1 B2c) + P(B1c B2) =

= P(B1c)P(B2c|B1c) + P(B1)P(B2c|B1) + P(B1c)P(B2|B1c) =

=


Motiva o

  • 2.5.2) A probabilidade de que um aluno saiba a resposta para certa questo, de um exame de mltipla escolha p. Das opes de resposta para cada questo, somente uma correta. Se o aluno no sabe a resposta para a questo, ele seleciona ao acaso uma resposta dentre as m opes. Se a probabilidade do aluno responder corretamente dado que ele sabe a resposta 0,88 pergunta-se:

  • Se o aluno responder corretamente a questo, qual a probabilidade de que ele chutou a resposta?

  • P(chutou|RC) = =


Motiva o

P(chutou|RC) =

(RC) = (AS RC) (ASc RC)

P(RC) = P[(AS RC) (ASc RC)]

P(RC) = P(AS)P(RC|AS)+P(ASc)P(RC|ASc]

P(RC) = p.0,88 + (1-p)


Motiva o

b) Se o aluno responder incorretamente a questo, qual a probabilidade de que ele no chutou a resposta?

P(no chutou|RI) = =

RI = (ASRI)(ASc RI)

P(RI) = P[(AS RI) + (ASc RI)]

P(RI) = P(AS)P(RI|AS)+P(ASc)P(RI|ASc]

P(RI) = p.(1-0,88) + (1-p)

P(no chutou|RI) = =


Motiva o

2.5.4) Durante o ms de novembro a probabilidade de chuva 0,3. O meu time ganha um jogo em dia de chuva com probabilidade 0,4 e em dia sem chuva com probabilidade 0,6. Se ganhou o jogo em novembro, qual a probabilidade de que tenha chovido no dia?

A1: chove no dia e A2: no chove

B : meu time ganha o jogo

P(A1|B) =

P(A1|B) = =

A1

A2

B


Motiva o

P(A1|B) =


3 vari vel aleat ria

3. VARIVEL ALEATRIA

  • DEF. Uma varivel X em um espao de probabilidade (,A,P) uma funo real definida no espao , tal que o evento [X x] evento aleatrio x R isto , a funo X: R v. a. se o evento [ X x ] A, x R.

  • EXEMPLO

  • Seja uma famlia com duas crianas.

  • Escreva todas as situaes possveis de ocorrer quanto ao sexo das crianas;

  • R: = {(F1, F2), (F1, M2), (M1, F2), (M1, M2)}


Motiva o

b) Associe a cada situao possvel um nmero real considerando a funo que conta o nmero de meninos do evento;

O 1 2 R

1=(F1,F2)

X() = x

2=(F1,M2)

2=(M1,F2)

2=(M1,M2)


Motiva o

c) O campo de variao da varivel aleatria X, ou contradomnio, o conjunto {0, 1, 2}.

DEF. VARIVEL ALEATRIA DISCRETA

A v.a. X chamada de DISCRETA quando o seu contradomnio um conjunto finito ou infinito enumervel, ou melhor, se existe um conjunto finito ou infinito enumervel {x1, x2, x3, ... } R tal que

X() {x1, x2, x3, ... } .

DEF. VARIVEL ALEATRIA CONTNUA

A v.a. X chamada de CONTNUA quando o seu contradomnio um conjunto infinito no enumervel.


Motiva o

DEF. FUNO DISTRIBUIO F(x): A funo distribuio ou funo distribuio acumulada da v.a. X definida por F(x) = P(X x).

DEF. A f.p. da v.a. X, discreta, representada por P(X=xi) = p(xi) uma funo tal que para X() {x1, x2, x3, ...}

A P(X = xi) = p(xi) 0 e

DEF. A f.d.p. da v.a. X, contnua, representada por fX(x)

uma funo tal que fX(x) 0 e .


Motiva o

DETERMINAO da DISTRIBUIO de PROBABILIDADE da v.a. X

A distribuio de probabilidades de uma v.a. X fica determinada por qualquer das seguintes funes. Usa-se, geralmente, a mais apropriada.

A funo distribuio, f.d., F(X);

A funo de probabilidade, f.p., P(X = x) = p(x);

A funo densidade de probabilidade, f.d.p., fx(x);

A funo caracterstica X(x) = E(eitx).


Motiva o

DISTRIBUIES DE PROBABILIDADES

Distribuio de Bernoulli (v.a. discreta)

Uma v.a. X tem uma distribuio de Bernoulli com parmetro quando assume apenas os valores 1 e 0 com probabilidade e (1 - ), respectivamente, (1 em geral representa sucesso).

EXEMPLOS

1) Face de uma moeda: cara ou coroa.

2) Sexo de uma criana: masculino ou feminino.

3) Qualidade de uma pea: perfeita ou defeituosa.


Motiva o

  • A f.p. da v.a. Bernoulli dada por:

  • P(X = x) = x(1 - )1-x x = 0, 1 0 < < 1

  • Os parmetros de uma varivel Bernoulli so:

  • Mdia = E(X) =

  • Varincia 2 = V(X) = (1-)

  • e o desvio padro = =


Motiva o

  • EXERCCIO

  • 3.2.1.1) Qual a esperana e a varincia da v.a. X ~ b(1, 1/4)?

  • Soluo:

  • = E(X) = = 1.P(X=1)+0.P(X=0) = P(X=1) =

  • = E(X) =

    2 = V(X) = =

    = (0- )2.P(X=0)+(1- )2.P(X=1) =

    = 2(1- )+(1- )2 = (1- )[+(1- )]

    2 = V(X) = (1- )[+(1- )] = (1- ) = (1/4)(3/4) = 3/16


Motiva o

Distribuio Binomial (v.a. discreta)

Uma v.a. Y tem distribuio binomial com parmetros n e quando assume valores no conjunto {0, 1, 2, 3, ... , n} e a sua f.p. dada pela expresso:

y = 0, 1, ... , n

  • A esperana e a varincia de Y so:

  • = E(Y) = n e 2 = V(Y) = n(1- )

    A v.a. Binomial corresponde ao nmero de sucessos em n provas tipo Bernoulli independentes.


Motiva o

  • Exemplos de v.a. Binomial:

  • Nmero de peas defeituosas em um lote com n = 20 peas;

  • y = 0, 1, 2, ..... , 20 n = 20

  • 2) Nmero de meninas em uma famlia com n = 5 crianas.

  • y = 0, 1, 2, .... , 5 n = 5


Motiva o

3.2.1.3) De um lote que contm vinte e cinco peas das quais cinco so defeituosas, so escolhidas quatro ao acaso. Seja X o nmero de defeituosas encontradas na amostra tomada do lote. Escreva a distribuio de probabilidade de X, quando as peas forem escolhidas com reposio.

P(D) = 5/25 = 1/5 = n = 4 Binomial b(4, 1/5)


Motiva o

3.2.1.3) De um lote que contm vinte e cinco peas das quais cinco so defeituosas, so escolhidas quatro ao acaso. Seja X o nmero de defeituosas encontradas na amostra tomada do lote. Escreva a distribuio de probabilidade de X, quando as peas forem escolhidas sem reposio.

P(Y = y) = Hipergeomtrica


Motiva o

  • Exerccio

  • a) Calcule a esperana matemtica de Y no experimento do exerccio 3.2.1.3 primeira parte.

  • = E(Y) = n = 4x(1/5) = 4/5

  • b) Calcule o desvio padro de Y no experimento do 3.2.1.3 primeira parte.

  • =


Motiva o

Distribuio de Poisson

Uma v.a. X tem distribuio de Poisson quando a sua f.p. da forma:

P(X = x) = x = 0,1,2,3,... e > 0

A esperana e a varincia de X so dadas por:

= E(X) = e 2 = V(X) =

Exemplos:

1) Nmero de erros tipogrficos em uma nica pgina de um livro P(); no exerccio 3.2.1.9 = 1.

2) Nmero erros de solda em uma placa de circuito impresso P().


Motiva o

Distribuio Normal (Gaussiana) v.a. contnua

Uma v.a. X tem distribuio Normal ou Gaussiana quando a sua f.d.p. tem a forma:

f(x) = x , e +


Motiva o

A fig. anterior mostra o grfico da f.d.p. f(x) de uma N(20, 1), ou seja, Gaussiana com mdia = 20 e desvio padro = 1.

A fig. adiante mostra o grfico da f.d.p. f(x) de uma Normal Padro, ou seja, N(0, 1).


Motiva o

Como difcil trabalhar-se com todos os membros da famlia Normal, prefere-se trabalhar com a Normal Reduzida ou Normal Padro. Esta v.a. representada por Z e tem a seguinte f.d.p.:

f(z) = z

P(X < x) = P( < ) = P(Z < z)


Motiva o

Na distribuio Normal a probabilidade da v.a. X assumir um valor entre a e b (a < b) dado por:

P(a X b) =

A distribuio da v.a. Z tem mdia e varincia iguais a, respectivamente, = 0 e 2 = 1 e essa v.a. obtida da transformao de X em Z = (X - )/, onde X ~ N(, 2).

P(a<X<b) = P( < < ) = P(a< Z < b)

P(a< Z < b) =


Motiva o

VERIFICAO DA NORMALIDADE DE UMA AMOSTRA (dados)

A Gaussianidade de dados, ou seja, o teste da hiptese de que as observaes seguem uma distribuio Gaussiana, N(, 2), pode ser feito por meio dos mtodos:

Kolmogorov-Smirnov; Shapiro-Wilks; Qui-quadrado;

e outros.

O mtodo de Kolmogorov-Smirnov geral, usado para a Normal e para as outras distribuies. J o mtodo de Shapiro-Wilks especifico para a distribuio Normal. O teste Qui-quadrado aplicvel, somente, quando a mostra tem um tamanho grande. Na prtica estes mtodos so aplicveis com uso de programa estatstico (MINITAB, STATGRAPHICS, R, SPSS, etc.


Motiva o

Exemplo 1

Verifique usando os mtodos de Kolmogorov-Smirnov e Shapiro-Wilks se a amostra aleatria segue a distribuio Gaussiana. Os dados esto em gramas e correspondem ao peso de determinado produto observado n = 20 vezes.

49,6890 50,4332 49,1072 49,7983 49,9152 50,2821 50,0048 49,8834 49,7633 49,8403 49,9567 50,8553 49,5055 49,4060 50,3345 50,4099 49,3756 49,9681

49,2399 50,2500

MTB> STAT, BASIC STATISTICS, NORMALITY TEST (entre com peso, o teste K-S e depois o de R-J).


Motiva o

O grfico de probabilidade normal apresentado adiante e mostra que o valor-p do teste p > 0,150 indicando que os dados vm de uma populao (distribuio Gaussiana) conforme o teste de Kolmogorov-Smirnov. J o teste de Ryan-Joiner similar ao de Shapiro-Wilks (disponvel no programa) indicou um valor-p de p > 0,100 confirmando o apontado pelo teste de Kolmogorov-Smirnov.


Motiva o

Exemplo 2

Escreva a expresso do modelo Gaussiano que pode ser ajustado adequadamente aos dados.

f(x) = = x R

Exemplo 3

Verifique usando o mtodo de K-S se a a.a. adiante segue a distribuio Exponencial de probabilidades. Os dados esto em mm e correspondem ao comprimento de determinado produto que foi observado n = 30 vezes.


Motiva o

Usando o STATGRAPHICS

STATG> DESCRIBE, DISTRIBUTIONS, DITRIBUTION FITTING (entra com a coluna com os dados), BOTO DA DIREITA DO MOUSE, ANALYSIS OPTIONS (marcar Exponencial), BOTO AMARELO DAS OPES, GOODNESS OF FITTING.

0,451000 1,96945 7,13563 31,7629 6,64905 6,18010 9,09503 0,384300 0,951424 9,40156 9,51063 14,0222 3,94125 8,65843 6,12337 5,32622 9,42843 22,7070 8,62611 43,0589 14,4677 2,12289 4,74482 14,7730

0,120617 6,38820 2,80350 20,7474 7,38290 5,69364


Motiva o

RESULTADOS:

Estimated Kolmogorov statistic DPLUS = 0.133655

Estimated Kolmogorov statistic DMINUS = 0.129582

Estimated overall statistic DN = 0.133655

Valor-p p = 0.657417

Como o teste de Kolmogorov-Smirnov forneceu valor-p de p = 0,657417 > 0,05 aceit-se a hiptese de que os dados tenham vindo de uma distribuio exponencial com parmetro = 9,48758 (mdia amostral).


Motiva o

Exemplo 4

Escreva a expresso do modelo exponencial que pode ser ajustado aos dados do exemplo 3 adequadamente.

f(x) = e-x = 9,48758e x > 0

EXERCCIOS

3.2.1.12) Seja a v.a. X ~ N (10,4). Calcule:

a) P(8<X<10).

Soluo:

P(8<X<10) = =

P(8<X<10) = 0,341345


Motiva o

E, usando o MINITAB o caminho :

MTB> CALC/ PROBABILITY DISTRIBUTIONS/ NORMAL

Cumulative probability

Mean 10 Standard deviation 2

Input constant 10 (depois entra com 8)

As sadas so: 0,5 e 0,158655

P(8<X<10) = F(10) F(8) = 0,5 0,158655 = 0,341345


Motiva o

ESPERANA E VARINCIA DE UMA VARIVEL ALEATRIA - Definies

DEF. Seja uma varivel aleatria X, discreta, que assume valores no conjunto {x1, x2, x3, ... , }. Chamamos valor mdio ou esperana matemtica de X ao valor:

DEF. Chamamos VARINCIA da v.a. X ao valor:

2 = V(X) =


Motiva o

DEF. A raiz quadrada da varincia da v.a. X denominada desvio-padro da v.a. X, =

Uma relao muito importante , onde

Se a v.a. contnua tem-se a esperana de X dada por:

e a varincia por E(x-)2 = 2 =


Motiva o

DEF. Se as v.as X e Y no so independentes existe uma diferena entre E(X.Y) e E(X).E(Y). Esta diferena chamada de covarincia e definida por:

cov(X,Y) = E[(X - E(X)).(Y - E(Y))]

cov(X,Y) = E[(X - X).(Y - Y )]

e se cov(X,Y) = 0 as v.as so chamadas de no-correlacionadas.

DEF. A covarincia entre as v.as X e Y padronizadas chamada de coeficiente de correlao

= E[( )]


Motiva o

Exemplo

Os dados adiante referem-se ao peso e ao comprimento de uma aste de seo constante. Calcule a correlao entre as variveis.

Peso: 5 8 10 15 21 24 31 36

Comprimento: 10 15 20 30 40 50 60 75

O Diagrama de Disperso (adiante) mostra a tendncia da evoluo dos dados, ou seja, a forma do relacionamento entre as duas variveis Peso e Comprimento.


Motiva o

Esse grfico foi obtido no MINITAB usando o caminho:

MTB> graphs/ scatterplots / with regression

E, o valor do coeficiente de correlao estimado obtido aplicando-se a expresso do estimador de dada por:

onde a mdia amostral da v.a. X

e a mdia amostral da v.a. Y


Motiva o

O caminho do clculo no MINITAB o seguinte:

MTB> STAT/ BASIC STATISTICS/ CORRELATION

= 0,997 (correlao alta)

Quando se pretende modelar o relacionamento pode-se ajustar o modelo linear:

Yi = 0 + 1xi + i i = 1,2, ..., n

MTB> STAT / REGRESSION / REGRESSION RESPONSE Y /PREDICTORS X


Motiva o

A equao de regression estimada :

y = 0,557 + 0,485x

Os resultados para os coeficientes so:

Predictor Coef. E.P. t p

0.5574 0.4110 1.36 0.196

0.485135 0.009508 51.03 0.000

s = 0.817875 R2 = 99.5%


Motiva o

ESTATSTICA DESCRITIVA

Populao, Amostra e Descrio Numrica de Variveis.

POPULAO

Em Estatstica denomina-se populao alvo a totalidade de elementos que esto sob discusso e dos quais se deseja informao.

AMOSTRA ALEATRIA

Uma a.a. aleatria tomada de uma determinada populao aquela em que os elementos que compem a populao tm uma chance probabilstica de pertencer amostra. Uma amostra aleatria de tamanho n geralmente representada por [X1, X2, ... , Xn], onde Xi i = 1,2, .. ,n so os valores obtidos para compor a amostra.


Motiva o

Na Cincia Estatstica a populao amostrada corresponde distribuio de probabilidade correspondente a certa caracterstica (fsica ou no) e a amostra corresponde a valores medidos dessa caracterstica. Essa distribuio de probabilidade definida por uma funo que depende de parmetros que so, em geral, desconhecidos. Esses parmetros devem ser estimados com base nos valores amostrais usando-se seus estimadores.


Motiva o

Exemplo 1

O dimetro de um calibrador tampo liso cilndrico foi medido em uma mquina de medio universal por meio de um mtodo de medio direta e se obteve uma amostra de n = 10 leituras. A amostra est na tabela adiante. As n = 10 medidas obtidas correspondem a.a. tomada da caracterstica dimetro do calibrador. A populao amostrada corresponde distribuio de probabilidade da caracterstica X = dimetro do calibrador. Uma medida fsica geralmente tem distribuio de probabilidade Gaussiana (Normal), ento a populao amostrada a Distribuio de Probabilidade Gaussiana (Normal).


Motiva o

Gaussianidade

Ser que os dados vm de uma distribuio Gaussiana?

Aplicao do Teste de Kolmogorov-Smirnov

CAMINHO:

MTB> STAT/BASIC STATISTICS/NORMALITY TEST/ KOLMOGOROV-SMIRNOV

RESULTADOS DO TESTE; valor-p p > 0,150

Os dados vem de distribuio Gaussiana (Normal).


Motiva o

Exemplo 2

Seja a a.a. [X1, X2, ... , Xn] de uma caracterstica populacional com f.d.p. Gaussiana com mdia e varincia 2 e representada por N(, 2). A mdia amostral , a varincia amostral s2 e o desvio padro s so estatsticas. So funes de v.as observveis e no dependem de qualquer parmetro desconhecido. Veja as expresses das estatsticas citadas:

Mdia amostral = estima o parmetro

Varincia e amostral s2 = estima o parmetro

d.p. s = estima o parmetro


Motiva o

  • Exemplo 3

  • A funo da mdia amostral estimar a mdia populacional (parmetro desconhecido) ;

  • A funo da varincia amostral s2 estimar a varincia populacional (parmetro desconhecido) 2;

  • A funo do desvio padro amostral s estimar o desvio padro populacional (parmetro desconhecido) ;


Motiva o

Exemplo 4

Usando os dados da tabela 1 estime o parmetro correspondente verdadeira mdia do dimetro do calibrador.

Caminho no MINITAB:

MTB> STAT/BASIC STATISTICS/DISPLAY DESCRIPTIVE STATISTICS

= = (10,0024 + .... + 10,0026) = 10,0025


Motiva o

Exemplo 5

Usando os dados da tabela 1 estime o parmetro correspondente verdadeira varincia 2 do dimetro do calibrador.

s2 = =

s2 =

s2 = = 0,000000072889


Motiva o

Exemplo 6

Usando os dados da tabela 1 estime o parmetro correspondente ao verdadeiro desvio padro do dimetro do calibrador.

s = = =

s = = 0,000270


Motiva o

Exemplo 7

A figura adiante mostra a distribuio de probabilidade da v.a. correspondente ao dimetro do calibrador da tabela 1.


Motiva o

Exemplo 8

As figuras adiante representam as distribuies (populaes) correspondentes a uma caracterstica X de um produto fabricado por trs empresas. De qual das empresas voc compraria o produto considerando que a caracterstica X fundamental ao funcionamento do produto? Considere que a caracterstica X do produto est especificada por: alvo = 5,0 e tolerncia de = 0,5, ou seja, 5,0 0,5.


Motiva o

Observe que voc deve comprar do fabricante 2 porque o desvio padro da caracterstica X do produto desse fabricante 0,05 e, portanto, a produo ficar mais concentrada dentro das especificaes. De modo nenhum a compra deve ser feita do fabricante 3, pois a quantidade de defeituosos (fora das especificaes) ser inaceitavelmente grande. Observe as amplitudes de variao mostradas nos trs grficos.


Motiva o

  • DESCRIO NUMRICA DE VARIVEL

  • A descrio numrica dos dados (amostra) de uma varivel aleatria feita usando as estatsticas seguintes:

  • Estatsticas de Centralidade (Medidas de Tendncia Central) e Separatrizes.

  • mdia amostral (a mdia amostral estima a verdadeira mdia populacional ).


Motiva o

Exemplo 1:

Duas mquinas produzem peas que esto especificadas com valor nominal = 2 mm e tolerncia = 0.2 mm. Foi tomada da 1a. mquina uma amostra com tamanho n = 5 peas que forneceram as seguintes observaes: 1,98 2,01 2,02 1,99 e 2,00. J a 2a. mquina forneceu uma amostra do mesmo tamanho com as observaes: 2,00 2,01 2,01 1,98 2,0. Voc diria, com base nas amostras, que as duas mquinas esto centradas no alvo das especificaes? Tome a sua deciso calculando as mdias amostrais.


Motiva o

= 1,98+2,01+2,02+1,99+ 2,00) = 2,00

= 2,00+2,01+2,01+1,98+ 2,00) = 2,00

Sim, as mquinas esto centradas no alvo (valor nominal) das especificaes.


Motiva o

  • mediana (separa os dados ordenados em duas partes com igual nmero de termos)

  • Exemplo 3:

  • Calcule a mediana amostral de cada uma das amostras aleatrias seguintes. Lembre de primeiro ordenar as observaes.

  • a) 20 30 40 20 25

  • b) 1,5 2,0 1,0 2,5 3,0


Motiva o

  • Soluo:

  • Ordenando os termos: 20, 20, 25, 30, 40

  • b) Ordenando os termos: 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

  • c)


Motiva o

EXERCCIOS

1) A mediana uma separatriz, alm de uma medida de centralidade. Ento, o que faz a separatriz?

R: Separa as observaes ordenadas em duas partes com igual nmero de termos.

2) Os quartis so medidas de posio (ordem), ou ainda, separatrizes. Quantos so os quartis e o qual a sua funo?

R: Os quartis so trs: Q1 o quartil inferior, Q2 a mediana e Q3 o quartil superior. A funo dos trs quartis separar os dados ordenados em quatro partes com igual nmero de termos; deste modo 25% das observaes so inferiores a Q1, 50% so nferiores a Q2 = e 75% so inferiores a Q3.


Motiva o

3) A descrio dos dados de uma amostra forneceu os seguintes valores para os quartis: Q1 = 7, Q2 = 10 e Q3 = 13. Interprete o significado de cada um dos quartis quanto populao de onde vieram os dados.

4) Os percents so medidas de posio (ordem), ou ainda, separatrizes. Qual a sua funo?

R: Os percents so em nmero de 99 e tm por funo separar os dados ordenados em 100 partes com igual nmero de termos.


Motiva o

Exerccio

Descreva os dados do dimetro do calibrador que esto na tabela 1 do exemplo 1.

Soluo: usa-se um pacote estatstico (MINITAB p.ex.)

Descriptive Statistics: diam_calib

Varivel Mdia E.P. D.P. Varincia Min. Q1

diam_calib 10.0025 0.0000854 0.000270 7.28889E-08 10.002 10.0020

Variable Mediana Q3 Max. Amplitude

diam_calib 10.0026 10.003 10.0028 0.000800


Motiva o

Q1= 10.0023

Mdia = 10,0025

Mediana = 10,0026

Q3 = 10,0027

Mximo = 10,0028

Amplitude = 0,0220

Desvio padro = 0,000270

Caminho no Minitab:

STAT BASIC STATISCS DISPLAY DESCRIPTIVES ...


Motiva o

Exerccio 3:

Os dados abaixo correspondem a uma amostra aleatria do dimetro do furo (em mm) para fixao de certo equipamento aeronutico. Descreva os dados numericamente e graficamente.

120,5 120,9 120,3 121,3 120,4 120,2 120,1 120,5 120,7 121,1

120,9 120,8 120,3 120,2 120,3 120,4 120,5 120,2 120,8 120,9

120,5 120,6 120,4 120,7 120,5 120,6 120,5 120,7 120,6 120,5


Motiva o

Soluo:

Caminho no Minitab:

STAT > BASIC STATISCS >DISPLAY > DESCRIPTIVES ...

Descrio numrica consiste em calcular as estatsticas descritivas: mdia, desvio padro, varincia, etc.

Variable Mean SE Mean StDev Variance CoefVar Minimum Q1 Median

diam_furo 120,56 0,0511 0,280 0,0783 0,0023 120,10 120,38 120,50

Variable Q3 Maximum Range

diam_furo 120,73 121,30 1,20


Motiva o

Mdia = 120,56

Desvio padro s = = 0,280

Erro padro da mdia EP =

Varincia = s2 = = 0,0783


Motiva o

Coef. de variao = = 0,23%

Ento, o desvio padro 0,23% da mdia.

O valor mnimo x(1) = 120,10

O primeiro quartil Q1 = 120,38

Significa que 25% dos termos so inferiores a 120,38

Posio de Q1 = , ento Q1 est entre o 70.

e o 80. termos ordenados.


Motiva o

  • A mediana = 120,5

  • Posio da mediana n/2

  • Se n impar a mediana o termo central (termos ordenados).

  • Se n par a mediana a mdia aritmtica dos dois termos centrais (termos ordenados).

  • O segundo quartil Q2 = = 120,5

  • O terceiro quartil Q3 = 120,73

  • A posio de Q3

  • Ento Q3 situa-se entre o 220. e o 230. termos.


Motiva o

O valor mximo x(n) = 121,30

A amplitude dos dados R = x(n) - x(1) = 121,30 120,10

R = 1,20


Motiva o

Descrio grfica consiste em construir o histograma dos dados.

Caminho no MINITAB: GRAPH HISTOGRAM


Motiva o

2) O tempo de vida at falhar, em horas, de um componente eletrnico sujeito a um teste de durabilidade acelerado mostrado abaixo para uma amostra com tamanho n = 40. Para acelerar a falha no teste, as unidades experimentais so testadas sob uma temperatura elevada.

127 125 131 124 129 121 142 151 160 125 124 123 120 119 128 133 137 124 142123 121 136 140 137 125 124 128 129 130 122 118 131 125 133 141 125 140 132 129 126


Motiva o

a) Calcule a mdia amostral.

b) Calcule a varincia amostral.

c) Calcule o desvio padro amostral.

d) O erro padro da mdia.

e) Calcule a varincia.

f) Calcule o coeficiente de variao.

g) Calcule a mediana e os quartis.

h) Calcule a amplitude dos dados.

i) Qual a finalidade das estatsticas que voc calculou nos itens anteriores.

j) Construa o histograma. E ajuste a curva normal aos dados, use qualquer programa estatstico.


Motiva o

Soluo:

Usando o MINITAB com o caminho:

MTB> STAT>BASIC STATISTICS>DISPLAY DESCRIP. ......

Resultados:

Variable Mean SE Mean StDev Var. CoefVar Minimum Q1 Median

tempoVIDA 130,00 1,41 8,92 79,54 6,86% 118,00 124,00 128,00

Variable Q3 Maximum Range

tempoVIDA 135,25 160,00 42,00


Motiva o

Mdia = (127+125+ +126) =130,00

Desvio padro s = = 8,92

Erro padro da mdia EP = =

Varincia s2 = = 79,54

Coef. de Variao cv = = = 6,86%


Motiva o

Mediana = 128 (N = 40, ento a mediana a media aritmtica dos dois termos centrais: 190 e 200);

10. Quartil Q1 = 124 (25% dos termos so inferiores a 124)

30. Quartil Q3 = 135,25 (25% dos termos so superiores a 135,25)

Amplitude R = x(n) x(1) = 160 118 = 42

i) A finalidade das estatsticas calculadas estimar (avaliar) os verdadeiros parmetros.


Motiva o

f) Histograma e ajuste a curva normal

Soluo: usando o MINITAB com o caminho:

STAT BASIC STATISTICS NORMALITY TEST


Motiva o

O ajuste da Curva Normal foi aceito pois no teste de Kolmogorov-Smirnov o valor-p foi p = 0,115 > 0,05.


Motiva o

3) Os dados adiante so leituras do rendimento de um processo qumico em dias sucessivos (leia da esquerda para a direita). Faa o histograma dos dados, comente o aspecto do histograma e verifique se o histograma lembra alguma distribuio de probabilidade conhecida. E, ainda, descreva numericamente os dados, calculando as estatsticas listadas adiante.

a) Calcule a media amostral.

b) Calcule a varincia amostral.

c) Calcule o desvio padro amostral.

d) Calcule a mediana e os quartis.

e) Qual a finalidade das estatsticas que voc calculou nos itens anteriores. Escreva para que serve cada uma delas.


Motiva o

94,1 87,3 94,1 92,4 84,6 85,4 93,2 84,1 92,1 90,683,6 86,6 90,6 90,1 96,4 89,1 85,4 91,7 91,4 95,288,2 88,8 89,7 87,5 88,2 86,1 86,4 86,4 87,6 84,286,1 94,3 85,0 85,1 85,1 85,1 95,1 93,2 84,9 84,089,6 90,5 90,0 86,7 87,3 93,7 90,0 95,6 92,4 83,089,6 87,7 90,1 88,3 87,3 95,3 90,3 90,6 94,3 84,1 86,6 94,1 93,1 89,4 97,3 83,7 91,2 97,8 94,6 88,696,8 82,9 86,1 93,1 96,3 84,1 94,4 87,3 90,4 86,494,7 82,6 96,1 86,4 89,1 87,6 91,1 83,1 98,0 84,5


Motiva o

Soluo: Usando o MINITAB no caminho

MTB> STAT> BASIC STATISTICS> DISPLAY DESCR..

Variable Mean SE Mean StDev Variance CoefVar Minimum Q1 Median

RENDpq 89,476 0,438 4,158 17,287 4,65 82,6 86,1 89,250

Variable Q3 Maximum Range

RENDpq 93,1 98,000 15,400

A finalidade dessas estatsticas estimar os verdadeiros parmetros.


Motiva o

Mdia amostral = 89,476

A verdadeira mdia do rendimento mdio um parmetro desconhecido e estimado pela mdia amostral em 89,476.

Varincia amostral s2 = = 17,287.

A verdadeira varincia do rendimento mdio um parmetro desconhecido e estimado pela varincia amostral em 17,287.

Desvio padro amostral s = = 4,158


Motiva o

O verdadeiro desvio padro do rendimento um parmetro desconhecido, mas estimado pelo desvio padro amostral

s = 4,158.

A mediana amostral 89,250

A verdadeira mediana do rendimento um parmetro desconhecido, mas estimado pela mediana amostral 89,250.

Ento, entende-se que 50% dos valores do rendimento so inferiores ao rendimento de 89,250.


Motiva o

O primeiro quartil Q1 = 86,1

O valor de Q1 determinado a partir da posio dessa

separatriz . Ento, o primeiro quartil est

entre o 220. termo (86,1) e o 230. termo (86,1) ordenados.

Logo, ele 86,1. Isto significa que 25% dos termos so inferiores a 86,1 e, consequentemente, 75% so superiores.


Motiva o

O terceiro quartil Q3 = 93,1

O valor de Q3 determinado a partir da posio dessa

separatriz . Ento, o terceiro quartil est

entre o 670. termo (93,1) e o 680. termo (93,1) ordenados.

Logo, ele 93,1. Isto significa que 25% dos termos so superiores a 93,1 e, consequentemente, 75% dos termos so inferiores.

A finalidade de cada estatstica calculada avaliar (estimar) o parmetro verdadeiro (populacional) desconhecido.


Motiva o

Ajustamento de Um modelo Probabilstico aos Dados

Seja agora o problema de se ajustar um modelo de probabilidade aos dados adiante. Isto deve ser feito por programa estatstico computacional. Usando o MINITAB o caminho : GRAPH PROBABILITY PLOT

Dados: (Amostra de uma distribuio log-normal)

3,940261,946442,838702,17336

2,656172,211812,185873,19817

3,567921,483822,416912,06446

3,866314,690821,766952,62691

3,601341,572352,911952,94858


Motiva o

Vamos examinar o histograma dos dados:


Motiva o

Ajuste do Modelo Normal p = 0,597 > 0,05 (aceito)


Motiva o

Modelo Lognormal p = 0,962 > 0,05 (melhor modelo)


Motiva o

5. Estimao de Parmetros

Introduo

Seja a a.a. [X1, X2, ... , Xn] obtida de uma distribuio de probabilidade que corresponde a populao amostrada. Ento, essa amostra trs informaes sobre os parmetros da distribuio (populao) e possvel estimar esses parmetros usando as informaes da amostra.

ESTIMADOR

Um estimador uma estatstica (funo conhecida de v.as observveis que tambm uma v.a.) cujos valores so usados para estimar alguma funo do parmetro .


Motiva o

Exemplo 1

A estimao da mdia populacional (parmetro) feita usando-se o estimador mais adequado, que a mdia amostral

Este estimador (estatstica) tem propriedades excelentes, tais como: suficiente, consistente, eficiente e no-viciado, ou seja, ele UMVU.


Motiva o

Pergunta importante:

Preciso e acurcia significa a mesma coisa?

Seja a a.a. [x1, x2, ... , xn] obtida de uma distribuio de probabilidade que corresponde a populao amostrada. Ento, essa amostra trs informaes sobre os parmetros da distribuio (populao) e possvel estimar esses parmetros usando as informaes da amostra.

Preciso mede a diferena entre a estimativa que avalia o parmetro e a mdia da amostra, ou seja, . Preciso tem a ver com disperso dos dados.

Acurcia mede a diferena entre a estimativa que avalia o parmetro e o prprio parmetro estimado, ou seja, -


Motiva o

Um estimador suficiente resume todas as informaes que a a.a. trs, este resumo pode ser observado na estatstica que agrega todas as informaes;

J um estimador consistente aquele que medida que o tamanho da amostra (n) aumenta, a estimativa obtida se aproxima do verdadeiro parmetro populacional ;

Um estimador eficiente significa que as estimativas fornecidas por ele possuem a menor varincia entre as de todos os possveis estimadores do parmetro;

E, finalmente, um estimador no-viciado tal que a esperana matemtica (mdia) dele o prprio parmetro que ele est estimando, ou seja, E(T) = .


Motiva o

ESTIMATIVA

o valor numrico obtido para o estimador com os dados da amostra.

TIPOS ESTIMAO

Existem dois tipos de estimao. O que fornece uma estimativa PONTUAL, e que nesse caso corresponde a um nico valor para a estimativa. E o que fornece uma estimativa por INTERVALO, nesse caso tem-se um limite inferior e um limite superior para a variao do parmetro com certo nvel de confiana.

ESTIMAO PONTUAL

Seja a abordagem desse tema por meio de um exemplo:


Motiva o

  • Exemplo 2

  • Seja a a.a. das cinco leituras do dimetro do calibrador listada na tabela adiante.

  • A estimativa pontual do verdadeiro dimetro mdio do calibrador obtida usando-se o estimador:

  • = 10,0028

  • que forneceu a estimativa pontual de 10,0028.

  • b) A estimativa pontual da varincia 2 dada pelo estimador:

  • s2 = = 5.9E-7


Motiva o

que forneceu com os valores da amostra a estimativa pontual de s2 = 5.9E-7.

c) A estimativa pontual do desvio padro dada pelo estimador:

s = = 0,00768115

que forneceu com os valores da amostra a estimativa pontual s = 0,00768115.


Motiva o

Os dados analisados so:

Medidas do Dimetro do Calibrador


Motiva o

ESTIMAO POR INTERVALO:

A estimao por intervalo consiste na construo de um intervalo de confiana em torno da estimativa pontual, de modo que esse tenha uma probabilidade fixada do intervalo cobrir o verdadeiro valor do parmetro.

Geralmente, o que se faz na construo do intervalo somar e subtrair estimativa pontual um mltiplo do erro padro da estatstica usada na estimao, de modo que se tenha certa probabilidade de cobrir o intervalo.


Motiva o

INTERVALO DE CONFIANA PARA A

MDIA POPULACIONAL

Quando os dados vm de uma distribuio Normal, ou ainda, quando n > 30 e se for conhecido tem-se a seguinte expresso para o intervalo de confiana de nvel (1 - ) para a mdia :

onde


Motiva o

Este intervalo construdo com base na estatstica:

A v.a. z tem uma distribuio de probabilidade Normal Padro, ou seja, N(0, 1). Sua f.d.p. :

f(z) =


Motiva o

Quando os dados vm de uma distribuio Normal (Gaussiana) e for desconhecido, tem-se a seguinte expresso para o intervalo de confiana de nvel (1 - ) para a mdia :

onde

Este intervalo construdo com base na estatstica:


Motiva o

A f.d.p. da distribuio t de Student tem o seguinte grfico no caso do nmero de G.L. ser n 1 = 5 1 = 4


Motiva o

  • Exerccios

  • Seja a amostra aleatria dos dimetros de esferas de rolamento com tamanho n = 5, [2,0; 2,1; 2,0; 2,2; 2,1]. Os dimetros esto em milmetros. Estime por pontoa mdia do processo de produo desse item.

  • = = = 2,08


Motiva o

2) Estime por ponto o desvio padro da amostra do ex. 1.

s = =

s = = 0,0837


Motiva o

3) Estime o erro padro da estimativa do exerccio 1.

EP = = = = 0,0374

4) Estime por intervalo a mdia do processo de produo do dimetro considerando o nvel de confiana de 95%.

=


Motiva o

Mas, ser que os dados vm de uma distribuio Gaussiana?

MT> STAT>BASIC STATISTICS> NORMALITY TEST

Valor-p p > 0,150

Aceito a hipotese nula dos Dados serem Gaussianos


Motiva o

O clculo do escore da distribuio t de Student com = n 1 = 4 graus de liberdade :

MTB> CALC> PROBABILITY DISTRIBUTIONS> t > Inverse Cumulative Probability

P(T<=t) t

0,025 -2,77645

Ento, faz-se as contas:

P(2,08-2,77645.0,0374< < 2,08 + 2,77645.0,0374) = 0,95

P(1,97607 < < 2,18389) = 0,95

Ento, IC de nvel 95% : [1,976607 ; 2,18389]


Motiva o

Intervalo de Confiana Usando o MINITAB:

MTB> STAT> BASIC STATISTICS> 1-Sample t

One-Sample T: diamESFF

Test of mu = 2 vs not = 2

Variable N Mean StDev SE Mean 95% CI T p

diamESFF 5 2,080 0,08367 0,03742 (1,97611; 2,18389) 2,14 0,099

Este comando faz tambm o teste de H0 : = 0 = 2

Deciso: Aceita-se H0 pois o valor-p p = 0,099 > 0,05.


Motiva o

5) A amostra adiante corresponde a n = 20 observaes da espessura de chapas metlicas. Este produto est especificado pelo valor nominal = 5 mm e tolerncia de 0,5 mm e toda chapa produzida deve ficar dentro dos limites de especificao, ou seja, entre LIE = 4,5 e LSE = 5,5 mm.

4.836295.102385.094974.966084.931445.063094.906084.890915.067835.078284.963884.944154.932164.832975.136544.867225.104404.976265.018994.81916


Motiva o

a) Verifique se os dados vm de uma distribuio Normal.

Usando o MINITAB no caminho:

MTB> STAT> BASIC STATISTICS> NORMALITY TEST


Motiva o

Como o valor-p p > 0,150 aceita-se a Gaussianidade.

b) Determine o intervalo de confiana de nvel 1 - = 0,95 para a mdia e verifique se ele est contido no intervalo da especificao.

One-Sample T: ESP_CHAPA

Test of mu = 5 vs not = 5

Variable N Mean StDev SE Mean 95% CI t p

ESP_CHAPA 20 4,97665 0,10115 0,02262 (4,92931; 5,02400) -1,03 0,315

LIE = 4,5 e LSE = 5,5 logo o IC no est dentro da amplitude de especificao, existe uma parcela de no-conformes abaixo de 4,5.


Motiva o

c) Teste a hiptese de que a espessura mdia das chapas seja igual ao alvo das especificaes.

Soluo:

H0 = = 0 = 5 (hiptese nula)

H1 = 5

Estatstica do teste: t = ~ tn-1

Ento, t = = -1,03 ~ t19

Ento, determina-se o valor-p dessa estatstica.


Motiva o

No MINITAB com o caminho:

MTB> CALC>PROBABILITY DISTRIBUTIONS> t

Valor-p p = 2x0,151084 = 0,315 > 0,05

Aceit-se H0 e o processo de produo da chapa tem mdia estatisticamente igual ao alvo do processo.

Verifique o desempenho do processo de produo

analisando a capacidade do processo no MINITAB

CAMINHO:

MTB> STAT>QUALITY TOOLS>CAPABILITY ANALYSIS> NORMAL


Motiva o

Analisando os nmeros da capacidade do processo:

= 1,50 Razo entre as amplitudes de especificao e do processo.

( 4,976)

Com esta capacidade (capability) de 1,50 o nmero de defeituosos esperado de: 9,95 10 ppm


Motiva o

6) Suponha que outra empresa produz a mesma chapa e uma descrio de uma a.a. de n = 20 dessas chapas

produziu: = 4,8 e s = 0,1021. Verifique se os dois processos so equivalentes na mdia.

Hiptese nula a ser testada H0 : X = y X - y = 0

Estatstica do teste: t = ~ tn1+n2-2

onde sp =


Motiva o

Clculo da estatstica do teste:

t = = = 5,476 ~ t38

Sp == 0,101626

Valor-p p = 0,0000 < 0,05 Rejeita-se a hiptese H0.


Motiva o

E, se queremos fazer direto no MINITAB?

Usa-se o comando:

MTB> STAT> BASIC STATISTICS> 2-sample t

E, entra-se com os valores das mdias e desvios padres ou com os dados, conforme o caso. Resultados:

Two-Sample T-Test and CI

Sample N Mean StDev SE Mean

1 20 4.976 0.101 0.023

2 20 4.800 0.102 0.023

Difference = mu (1) - mu (2)

Estimate for difference: 0.176000

95% CI for difference: (0.110942; 0.241058)

T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = 5.48 P-Value = 0.000 DF = 38

Both use Pooled StDev = 0.1016 REJEITA-SE H0


Motiva o

ANLISE DA VARINCIA

Quando se faz um experimento que envolve amostras de mais de dois grupos (populaes) e se necessita testar a hiptese nula:

H0: 1 = 2 = .... = k = contra

H1: pelo menos uma das mdias diferente das demais,

aplica-se o mtodo conhecido como Anlise da Varincia, detalhado a seguir.


Motiva o

EXEMPLO

Os dados adiante correspondem aos resultados de um experimento onde 4 tratamentos de plasma so comparados quanto ao tempo de coagulao. Amostras de plasma de 32 indivduos foram alocadas aos 4 tratamentos numa ordem aleatria (experimento completamente casualizado). Faa uma anlise estatstica com a finalidade de verificar se existe diferena estatisticamente significativa entre os tratamentos.


Motiva o

SOLUO:

MTB> STAT>ANOVA>ONEWAY ANOVA

Resultados:

One-way ANOVA: REPOSTA versus TRAT

Source DF SS MS F p

TRAT 3 13.02 4.34 1.31 0.291

Error 28 92.76 3.31

Total 31 105.78

S = 1.820 R-Sq = 12.31% R-Sq(adj) = 2.91%

H0: 1 = 2 = 3 = 4

Concluso: No existe diferena entre as mdias, aceit-se H0, ou seja os tratamentos produzem a mesma mdia.


Motiva o

EXEMPLO

Uma fbrica de papel usado para fazer sacolas de papel est interessada em melhorar a resistncia do papel tenso. A engenharia de produto da empresa imagina que a resistncia tenso depende da concentrao da madeira de lei na polpa e que a faixa prtica de interesse dessa concentrao est entre 5% e 20%. Foi feito ento um experimento nos seguintes nveis de concentrao: 5%, 10%, 15% e 20% e mediu-se a resistncia tenso em seis sacolas de prova em cada nvel. Os resultados esto adiante. Faa uma Anlise da Varincia.


Motiva o

Resistncia Tenso (psi)


Motiva o

  • A aplicao da ANOVA exige Gaussianidade dos dados.

  • Isto verificado com base nos resduos do ajuste do moedelo para a resposta (resistncia):

  • yij = + i + ij

  • onde: yij a resposta medida;

  • a mdia geral;

  • i o efeito do nvel i fator (conc. da madeira de lei);

  • ij o erro aleatrio -componente estocstica do mod.

  • ij ~ N(0, 2) (suposies do modelo verificar)


Motiva o

Testando a hiptese nula H0: 1 = 2 = 2 = 4

One-way ANOVA: concentrao versus nvel

Source DF SS MS F P

nvel 3 382.79 127.60 19.61 0.000

Error 20 130.17 6.51

Total 23 512.96

S = 2.551 R-Sq = 74.62% R-Sq(adj) = 70.82%

Rejeit-se a hiptese nula, pois p = 0,000 < 0,05.


Motiva o

Individual 95% CIs For Mean Based on

Pooled StDev

Level N Mean StDev +---------+---------+---------+---------

5% 6 10.000 2.828 (----*----)

10% 6 15.667 2.805 (----*-----)

15% 6 17.000 1.789 (----*-----)

20% 6 21.167 2.639 (-----*----)

+---------+---------+---------+---------

8.0 12.0 16.0 20.0

Pooled StDev = 2.551

Tukey 95% Simultaneous Confidence Intervals

All Pairwise Comparisons

Observa-se que 10%, 15% e 20% praticamente esto empatados. O nvel de 5%

diferente dos demais.


Motiva o

Verificando as suposies: Gaussianidade, homogeneidade da varincia e independncia dos resduos.

Gaussianidade

MTB> STAT> BASIC STATISTICS> NORMALITY TEST


Motiva o

Como o valor-p foi de p > 0,150 > 0,05 aceit-se a hiptese de Gaussianidade para os resduos.

Homogeneidade de varincia:

Test for Equal Variances: RESI1 versus nvel

Bartlett's Test (normal distribution)

Test statistic = 1.14; p-value = 0.769

Levene's Test (any continuous distribution)

Test statistic = 0.60; p-value = 0.623

Aceit-se a hiptese de homogeneidade na varincia

H0: 12 = 22 = 32 = 42 pois p > 0,05


Motiva o

  • 6. AMOSTRAGEM

  • Suponha que voc deseja estimar a verdadeira mdia da espessura de uma chapa metlica. Qual ser o tamanho adequado, n, da amostra?

  • Tamanho da Amostra com Erro Especificado e Conhecido

  • Deve ser fixado o nvel de confiana: 1 -

  • Deve ser fixado o erro de | | = e

  • n = onde o escore da N(0, 1)

  • correspondente a


Motiva o

  • Exemplo

  • Suponha que no caso da espessura da chapa foi fixado um erro de e = 0,05 e um nvel de confiana de 95%. Ento:

  • Com 1 - = 0,95 tem-se /2 = 0,025 e z0,025 = 1,96

  • MTB> CALC>PROBABILITY DISTRIBUTIONS> NORMAL>INVERSE CUMULATIVE PROBABILITY

  • Normal with mean = 0 and standard deviation = 1

  • P(X<=x) x

  • 0.025 -1.95996

  • n = = = 15,675 = 16


Motiva o

  • Tamanho da Amostra com Erro Especificado e Desconhecido

  • Neste caso h necessidade de se estimar o desvio padro .

  • Assim, toma-se uma amostra piloto de tamanho n0 e estima-se o desvio padro s0.

  • Usa-se a expresso para o tamanho n =

  • Ento, se n > n0 tudo bem e recalcula-se o erro e;

  • se n < n0 toma-se mais n0 n observaes adicionais.


Motiva o

Exemplo

Suponha que se deseja testar a hiptese de que o dimetro mdio de um pino tem mdia de 10 mm. Qual o tamanho da amostra, supondo que o desvio padro desconhecido, o nvel de confiana 95% e a preciso de 0,01.

Soluo:

Como o desvio padro desconhecido toma-se uma amostra piloto de tamanho n0 = 5. Os valores so: 10,1; 10,05; 9,98; 9,95 10.06.

A descrio da amostra piloto forneceu:

MTB> STAT> BASIC STATISTICS> DISPLAY ..

Variable N Mean SE Mean StDev

pino 5 10.010 0.0207 0.0464


Motiva o

Dimensionando o tamanho da amostra com base nas informaes da amostra piloto:

n =

s0 = 0,0678

Escore tn0;/2

MTB> CALC> PROBABILITY DISTRIBUTIONS> t

Inverse Cumulative Distribution Function

Student's t distribution with 4 DF

P(X<=x) x

0.025 -2.77645


Motiva o

n = = = 166

Ento, como tomamos n0 = 5, devemos tomar outras 161 observaes adicionais.

Por que deu um tamanho de amostra to grande? Devido o nvel de confiana de 95% (poderia ser menor 90%) e devido a preciso de 0,01.


Motiva o

PLANOS DE AMOSTRAGEM

Uma das maiores aplicaes da estatstica no controle de qualidade de produtos est na amostragem para aceitao de lotes. Muitas vezes as empresas recebem carregamentos ou lotes de bens (produtos) e fazem amostragem desses carregamentos com a finalidade de aceitar ou rejeitar o carregamento ou lote todo. Essa deciso conhecida como sentenciamento do lote. No incio da aplicao do controle estatstico, de qualidade, nas dcadas de 30 e 40, a amostragem de aceitao era usada, principalmente, para inspeo de entrada (recebimento) de produtos.


Motiva o

Nos ltimos anos passou-se a trabalhar com os fornecedores a fim de fazer com que melhorassem os seus processos de produo. Este aperfeioamento dos processos poderia ser alcanado por meio de CEP, DOE e outras tcnicas estatsticas. Assim, conseguir uma qualidade assegurada pareceu ser melhor do que a amostragem de aceitao. Contudo, estas tcnicas continuam sendo necessrias e usadas.


Motiva o

6.3- Plano de Amostragem de Aceitao por Varivel

Existem dois tipos de planos por varivel:

1.) Planos que controlam a frao de defeituosos (ou no conformes) do lote ou do processo;

2.) Planos que controlam um parmetro do lote ou do processo, em geral a mdia.

Suponha um plano de amostragem de variveis para controlar a frao de no-conformes do lote ou do processo. A caracterstica de qualidade uma varivel, ento existem limites de especificao: LIE e LSE, os dois ou apenas um deles. Esses limites definem os valores aceitveis do parmetro.


Motiva o

A frao p de no-conformes do lote corresponde a

P(X < LIE) = p,

no caso de especificao unilateral, e evidentemente

P(X < LIE) + P(X > LSE) = p

no caso de especificao bilateral. claro que p depende da mdia e do desvio padro do processo.

Suponha, agora, que o desvio padro seja conhecido. Ento, pode-se tomar uma amostra do lote para determinar se o valor da mdia , ou no, tal que a frao de defeituosos p seja aceitvel. O que se faz o seguinte:


Motiva o

1. Plano com a distncia crtica k. Toma-se a a.a. de tamanho n do lote, [x1, x2, .... ,xn] e calcula-se a estatstica:

ZLIE =

Observe que quanto maior o valor de ZLIE mais afastada est a mdia amostral do limite de especificao inferior LIE e, conseqentemente, menor ser a frao p de defeituosos do lote. Pode ser fixado um valor crtico, ou melhor, uma distncia crtica k, tal que ZLIE> k (no caso unilateral). Dessa forma, se ZLIE> k o lote aceito. E, em caso contrrio o lote ser rejeitado.


Motiva o

2. Plano com a rea crtica M. Este procedimento prope selecionar uma a.a. de n itens do lote e, ento, calcula-se a estatstica:

ZLIE =

A seguir usa-se ZLIE para se estimar a frao de defeituosos, p, do lote ou do processo como a rea sob a curva da normal padro abaixo de ZLIE.

Uma melhor estimativa ocorre quando se usa a estatstica

QLIE = ZLIE

ao invs de ZLIE, como o escore padronizado.


Motiva o

Ento, seja o valor estimado de p que se obtm. Se exceder um valor mximo especificado M (rea crtica) rejeita-se o lote, em caso contrrio o aceite.


Motiva o

Elaborao de um Plano de Amostragem para Variveis com uma Curva Caracterstica de Operao Especificada

A elaborao do plano de amostragem que tenha uma curva CO especfica e o escore de interesse k (distncia crtica) feita tomando-se dois pontos da curva (p1, 1 - ) e (p2, ). claro que p1 e p2 podem ser nveis da frao de no-conformes do lote ou do processo correspondentes a nveis ACEITVEL e REJEITVEL de qualidade, respectivamente. O nomograma, em anexo, permite que o engenheiro (ou outro profissional da qualidade) encontre o tamanho da amostra n exigido e o valor crtico k que satisfaam as condies dadas p1, 1 - , p2 e para os casos onde conhecido e desconhecido.


Motiva o

EXEMPLO 1

Seja o problema em que se pretende obter um plano com a distncia crtica k. Uma fbrica de refrigerantes compra garrafas descartveis de um fornecedor. A fbrica estabeleceu um limite de especificao inferior (LIE) de LIE = 225 psi. Se at 1% das garrafas do lote de fato se rompem abaixo desse limite a fbrica quer aceitar o lote com uma probabilidade de 1 - = 0,95. Assim, tem-se p1 = 0,01 e 1 - = 0,95. Mas, se 6% ou mais das garrafas do lote se rompem abaixo de LIE = 225, a fbrica deseja rejeitar o lote com probabilidade 0,90. Dessa vez tem-se p2 = 0,06 e = 0,10.


Motiva o

Soluo:

Trace no nomograma, as linhas: uma de p1 a 1 - e outra de p2 a , ou melhor, da frao de defeituosos p1 = 0,01 a probabilidade de aceitao 1 - = 0,95 (em cada escala respectiva), depois a outra linha da frao de defeituosos p2 = 0,06 a = 0,10. A interseco das linhas fornece k = 1,9.

Se desconhecido o tamanho da amostra obtido seguindo-se a curva at a escala superior que fornecer n = 40. Ento, o procedimento tomar uma amostra de tamanho n = 40 garrafas do lote, medir a fora de ruptura de cada uma, calcular a mdia e o desvio padro s e, em seguida, calcular:

ZLIE = e aceitar o lote se ZLIE> k = 1,9.


Motiva o

Mas, se conhecido deve-se descer verticalmente at a escala inferior conhecido resultando em n = 15. Portanto, se o desvio padro conhecido obtm-se uma amostra com tamanho sensivelmente reduzido.


Motiva o

EXEMPLO 2

Seja o problema do exemplo 1 e o plano com o procedimento da rea crtica M. Pretende-se determinar a frao de defeituosos crtica (permissvel) M.

Soluo:

Neste caso segue-se o procedimento anterior e acrescenta-se um passo adicional, ou seja, converte-se os valores de ZLIE ou ZLSE em uma frao de defeituosos estimada. sabido que n = 40 ( desconhecido) e k = 1,9. Ento, determina-se a abscissa :

= = 0,35


Motiva o

Ento, com o valor 0,35 encontra-se diretamente no nomograma adiante o valor de M = 0,030. Portanto, tomando-se a amostra definida de n = 40 e calculando-se a mdia amostral = 255 e o desvio padro s = 15, tem-se:

ZLIE = = = 2


Motiva o

Ento, entrando no 30. nomograma com ZLIE = 2 encontra-se = 0,02. E, como = 0,02 < M = 0,03 aceit-se o lote.


Motiva o

Ento, com o valor 0,35 encontra-se diretamente no nomograma (em anexo) o valor de M = 0,030. Portanto, tomando-se a amostra definida de n = 40 e calculando-se a mdia amostral = 255 e o desvio padro s = 15, tem-se:

ZLIE = = = 2


Motiva o

  • 7. REGRESSO

  • Suponha que se deseja estabelecer a relao entre duas variveis por meio de um modelo.

  • EXEMPLO:

  • Foram tomadas n = 9 amostras de um solo (canteiros) que foram tratadas com diferentes quantidades X de fsforo. Seja Y a quantidade de fsforo presente em sementes de plantas, de 38 dias, crescidas nos diferentes canteiros. Os dados esto adiante.

  • De incio se faz um Diagrama de Disperso para se visualizar o tipo de funo.

  • X 1 4 5 911132323 28

  • Y 6471548176937795109


Motiva o

Observa-se na forma do grfico que a funo uma reta.


Motiva o

Ajusta-se ento o modelo linear:

Yi = 0 + 1Xi + i

Onde 0 e 1 so os parmetros do modelo;

Y a varivel resposta;

Xi a varivel explicativa;

i o erro, supe-se que i~ N(o, 2)

O modelo ajustado por Mnimos Quadrados Ordinrios


Motiva o

O ajuste pelo MINITAB

MTB> STAT> REGRESSION> REGRESSION

Regression Analysis: Y versus X

The regression equation is

Y = 61.6 + 1.42 X

Predictor Coef SE Coef T P

Constant 61.580 6.248 9.86 0.000

X 1.4169 0.3947 3.59 0.009

S = 10.6933 R-Sq = 64.8%


Motiva o

  • Analysis of Variance

  • Source DF SS MS F P

  • Regression 1 1473.6 1473.6 12.89 0.009

  • Residual Error 7 800.4 114.3

  • Total 8 2274.0

  • Conclui-se que:

  • O modelo estatsticamente significativo p = 0,009 <0,05

  • A qualidade do modelo razovel R2 = 0,648.


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