LOGIKA

1. LOGIKA

2. Vizsga • Előadások: • http://hps.elte.hu/~gszabo/Filozofiadiszciplinai.html • Logika • Tankönyv: • Madarász T., Pólos L., Ruzsa I.: A logika elemei, Osiris, 2005. • Ruzsa I., Máté A.: Bevezetés a modern logikába, Osiris, 1997. • Internet: • Szabadbölcsészet / Filozófia / Kijelentéslogika: http://szabadbolcseszet.elte.hu/index.php?option=com_tanelem&task=all&id_tananyag=51

3. Mi a logika? • Régebbi elnevezés: • dialektika (a vitatkozás művészete) • analitika (Arisztotelésznél) • Logika: az érvényes következtetés elmélete • Következtetés: • 1. premissza: Ha esik az eső, sáros az út. • 2. premissza: Esik az eső. • Konklúzió: Sáros az út.

4. Következtetések • Érvényes következtetés: • 1. premissza: Marci jön a keddi filmre, vagy Marcsi jön a keddi filmre. (Rövidebben: Marci vagy Marcsi jön a keddi filmre.) • 2. premissza: Marci nem jön a keddi filmre. • Konklúzió: Marcsi jön a keddi filmre. • Érvénytelen következtetés: • 1. premissza: Ha Marci jön a keddi filmre, akkor Robi nem jön a keddi filmre. • 2. premissza: Robi nem jön a keddi filmre. • Konklúzió: Marci jön a keddi filmre.

5. Következtetések • Érvényes következtetés: • 1. premissza: Minden bálna hal. (hamis) • 2. premissza: Minden hal szőrös (hamis) • Konklúzió: Minden bálna szőrös. (hamis) Ha a premisszák és a konklúzió hamisak, akkor a következtetés még nem feltétlenül érvénytelen. • Érvénytelen következtetés: • 1. premissza: Minden szamár gerinces. (igaz) • 2. premissza: Minden szamár emlős. (igaz) • Konklúzió: Minden emlős gerinces. (igaz) Ha a premisszák és a konklúzió igazak, akkor a következtetés még nem feltétlenül érvényes.

6. Mikor érvényes egy következtetés? • Mit értünk azon, hogy az alábbi következtetés érvényes? • Ha esik az eső, sáros az út. • Esik az eső. • Sáros az út. • Ha a premisszák igazak, akkor a konklúzió is igaz. • Aki elfogadja a premisszák igazságát, annak el „kell” fogadnia a konklúzió igazságát is. • „Nem tudunk” elképzelni olyan szituációt, ahol a premisszák igazak, a konklúzió azonban hamis.

7. Tárgysemlegesség • 1. premissza: Ha esik az eső, sáros az út. • 2. premissza:Esik az eső. • Konklúzió: Sáros az út. • 1. premissza: Ha dolgozom, elfáradok. • 2. premissza: Dolgozom. • Konklúzió: Elfáradok. A következtetés sémája: • Ha A, akkor B. • A • B • A következtésben csak a logikai szerkezet számít, a tartalom nem!

8. Formalizálás • Atomi mondatok: • p: Esik az eső. • q: Sáros az út. • Funktorok: • ~: nem • &: és • ∨: vagy • ⊃: ha … akkor • ≡: akkor és csak akkor • Formulák (összetett mondatok): • A = p ⊃ q: Ha esik az eső, sáros az út. • B = p & ~q: Esik az eső, de (és) nem sáros az út.

9. Formalizálás • Természetes nyelvi mondat: • Vagy elhiszed, hogy baj van, és adsz pénzt, hogy segíthessek, vagy nem hiszed el, és megnézheted magad. • Jelölések: • p: elhiszed, hogy baj van • q: adsz pénzt, hogy segíthessek • r: megnézheted magad • Szerkezet: (p & q) ∨ (~p & r)

10. Formalizálja az alábbi mondatokat! • Visszavárhat Jóska, Sára, Tercsi, Fercsi, Kata, Klára. • Vagy most mondasz igazat, de akkor a múlt héten hazudtál, vagy fordítva. • Hittem neki, pedig egy férfinak soha nem szabadna hinni • Tehetsz rá fokhagymát, friss borsot, esetleg kakukkfüvet vagy bazsalikomot; na meg egy csipet tengeri sót, de bolti jódozottat semmiképp. • Vagy Hume téved az emberi természetet illetően, vagy Nietzsche. Vagy egyikük sem téved, csak én vagyok összezavarodva. • El is ment a királyhoz, meg nem is; vitt is ajándékot, meg nem is; fel is volt öltözve, meg nem is. • Nem igaz, hogy nem volt nyúl a cilinderben. Igenis volt, csak ügyesen elrejtették. Nyulak nem keletkeznek csak úgy hirtelen. • Néha a ‘pedig’ ‘és’t jelent, meg a ‘de’ is, de a ‘meg’ is.

11. Érvényes-e az alábbi következtetés? • Ebben a házban nincs más állat, csak macska. • Minden állat alkalmas kedvencnek, amelyik szereti a Holdat bámulni. • Ha egy állatot utálok, akkor elkerülöm. • Minden húsevő éjjel jár a zsákmány után. • Nincs olyan macska, amely nem fog egeret. • Csak olyan állat vonzódik hozzám, amely a házbeli. • A kenguruk nem alkalmasak kedvencnek. • Csak húsevő állatok fognak egeret. • Utálom azokat az állatokat, amelyek nem vonzódnak hozzám. • Azok az állatok, amelyek éjjel járnak zsákmány után, szeretik a Holdat bámulni. Mindig elkerülöm a kengurukat.

12. Szemantika felépítés: A következmény-relációt az igaz és a hamis fogalmán keresztül vezeti be. Szintaktikai felépítés: A következmény-relációt a nyelvi jelek kombinációján keresztül vezeti be. Szemantika és szintaxis

13. Igazságérték • Az állítások igazságértékkel bírnak. • Két Arisztotelésztől származó elv: • A kizárt harmadik elve (Tertium non datur): Minden állítás vagy igaz, vagy hamis. • Az ellentmondás elve: Egy állítás nem lehet egyszerre igaz is, és hamis is. • Összefoglalva: • A kétértékűség elve: Minden állítás vagy igaz, vagy hamis, de nem lehet egyszerre mind a kettő. • Az állítások igazságértéke objektív, és tudásunktól független. • A Tejútrendszerben a Földön kívül is van élet.

14. Szemantika • Igazságérték: • igaz: 1 • hamis: 0 • Atomi mondatok igazságértéke: • a mondat igaz: |p|=1 • a mondat hamis: |p|=0

15. a. Negáció • Nem igaz, hogy Péter magasabb, mint Pál. • Logikai jele: ~ (nem, non) • ~(Péter magasabb, mint Pál) ~(p) ~p • Igazságtáblázata: • ~p akkor és csak akkor igaz, ha p hamis. • Vigyázzunk a tagadásra: • ~(Minden prókátor hazudik)

16. b. Konjunkció • Péter magasabb, mint Pál, és Pál magasabb, mint Piroska. • Konjukció logikai jele: & (és, et) • (Péter magasabb, mint Pál) & (Pál magasabb, mint Piroska); p & q • Igazságtáblázata: • p & q akkor és csak akkor igaz, ha p is és q is igaz. • A konjunkció egyéb köznyelvi kifejezései: • …is, …is; bár; noha; mindazonáltal

17. c. Diszjunkció • Esik az eső, vagy fúj a szél. • Alternáció logikai jele: ∨ (vagy, vel) • (Esik az eső) ∨ (Fúj a szél); p ∨ q • A „vagy” kétféle értelmezése: • csak az egyik (kizáró vagy: aut) • esetleg mindkettő (megengedő vagy: vel; és/vagy) → Ezt használjuk! • Igazságtáblázata: • p ∨ q akkor és csak akkor hamis, ha p is és q is hamis.

18. Konjunkció és diszjunkció • Esik az eső, vagy fúj a szél. ⇔ Nem igaz, hogy sem nem esik az eső, sem nem fúj a szél. • A diszjunkció definíciója a konjunkcióval és negációval: p ∨ q ⇔ ~(~p & ~q) • A konjunkció és a diszjunkció egymás duálisai: • A konjunkció akkor és csak akkor igaz, ha mindkét tagja igaz. • A diszjunkció akkor és csak akkor hamis, ha mindkét tagja hamis.

19. d. Kondicionális • Ha esik az eső, (akkor) vizes a járda. • Kondicionális logikai jele: ⊃ (patkó) • (Esik az eső) ⊃ (Vizes a járda); p ⊃ q • A kondicionális értelmezése: • A kondicionális akkor hamis: ha előtagja igaz és utótagja hamis, a többi esetben igaz. • Igazságtáblázata:

20. e. Bikondicionális • Ha esik az eső, (akkor) fúj a szél, és ha fúj a szél, (akkor) esik az eső. • Bikondicionális logikai jele: ≡ (id) • (Esik az eső) ≡ (Fúj a szél); p ≡ q • A bikondicionális értelmezése: • A bikondicionális egy kondicionálist és megfordítását egyszerre állítja. • A bikondicionális akkor és csak akkor igaz, ha két bemenetének igazságértéke azonos. • Igazságtáblázata:

21. Funktorok igazságtáblázata tagadás (nem) konjunkció (és) diszjunkció (vagy) kondicionális (ha… akkor) bikondicionális (akkor és csak akkor)

22. Interpretáció • Interpretáció: • Minden atomi mondathoz igazságértéket rendelünk. • Pl. két mondat esetén 4 lehetséges interpretáció van, három mondat esetén 8. • n db atomi mondatnak 2n interpretációja van.

23. Interpretáció • Az összetett mondatok a funktorokon keresztül nyernek igazságértéket. • pl. (p & ~q) ⊃ r: Ha esik az eső, és nem sáros az út, akkor elmegyek kirándulni.

24. Következményreláció • Érvényes következtetés: Ha a premisszák igazak, akkor a konklúzió is igaz. • Vagyis: ha minden olyan interpretációra, amelyben az összes premissza igaz, a konklúzió is igaz. • P = {p1, p2 …}: premisszák • K: konklúzió • Jelölés: P⇒ K

25. Következményreláció Érvényes következtetés: • 1. premissza: Marci vagy Marcsi jön a keddi filmre. • 2. premissza: Marci nem jön a keddi filmre. • Konklúzió: Marcsi jön a keddi filmre. • Formalizálás: • p: Marci jön a keddi filmre. • q: Marcsi jön a keddi filmre. • Premisszák: • 1. premissza: p∨q • 2. premissza: ~p • Konklúzió: q • Kérdés: {p ∨ q, ~p} ⇒q

26. Feladatok • Érvényesek-e az alábbi következtetések? • {~p & q, p ⊃ q, ~p} ⇒ p & ~q • {p & ~q, ~p ∨ q} ⇒ p ∨ q • Igazolja az alábbi következtetések érvényességét! • {p ⊃ q, p} ⇒ q (leválasztási szabály, modus ponens) • {p ⊃ q, ~q} ⇒ ~p (modus tollens) • {p ⊃ q, q ⊃ r} ⇒ p ⊃ r (láncszabály) • {p ∨ q, ~q} ⇒ p {p ∨ q, ~p} ⇒ q • p ≡ q ⇒ p ⊃ q p ≡ q ⇒ q ⊃ p • {p ≡ q, q ≡ r} ⇒ p ≡ r

27. Logikai igazság • ⇒ A: Egy A mondat logikai igazság (tautológia), ha minden interpretációra igaz. • ⇒(p ∨ ~p) ⇒(p ⊃ p) • ⇒(~p ⊃ p)⊃ p (consequentia mirabilis: Ha akkor is baj van, ha nincs baj, akkor bizony baj van.) • A logikai igazságok nem a világról szólnak, hanem a nyelvről. • A logikai igazság a következményreláció speciális esete: a konklúzió az üres premisszahalmazból következik.

28. Ellentmondás • ⇏ A: Egy A mondat ellentmondás (kontradikció), ha minden interpretációra hamis. • ⇏ (p & ~p) ⇏ ~(p ⊃ p) • Bonyolultabb ellentmondás: • ⇏((p ⊃ q) v ~r) ≡((p & ~q) & r)

29. Logikai ekvivalencia • A ⇔ B: A és B mondatok logikailag ekvivalensek, ha igazságtáblázatuk megegyezik. • ~~p ⇔ p (kettős tagadás) • p & q ⇔ q & p (a konjunkció kommutativitása) • ~(p ∨ q) ⇔ (~p & ~q) (De Morgan-törvények) • ~(p & q) ⇔(~p ∨ ~q) • A logikai ekvivalencia (⇔) is a következményreláció speciális esete: a jobb- (⇒) és baloldali (⇐) következményreláció összeolvasztása.

30. Logikai ekvivalenciák • ~~p ⇔ p (kettős tagadás) • p & q ⇔ q & p (kommutativitás) • (p & q) & r ⇔ p & (q & r) (asszociativitás) • (p & q) v r ⇔ (p v r) & (q v r) (disztributivitás) • ~(p ∨ q) ⇔ (~p & ~q) (De Morgan-törvények) ~(p & q) ⇔(~p ∨ ~q) • p ∨ q ⇔ ~(~p & ~q) (a diszjunkció definíciója) • p ⊃ q ⇔ ~(p & ~q) ⇔ ~p ∨ q (a kondicionális definíciója) • p ≡ q ⇔ (p ⊃q) & (q ⊃p) (a bikondicionális definíciói) p ≡ q ⇔ (p &q) v (~p & ~q) • (p ⊃ q) ⇔ (~q ⊃ ~p) (kontrapozíció törvénye) • p ⊃ (q ⊃ r)⇔ (p & q) ⊃ r (áthelyezési törvény)

31. Feladatok • Formalizálja a premisszákat és a konklúziót! Ahol lehetséges, a De Morgan-szabályok segítségével alakítsa át logikailag ekvivalens alakba a kijelentéseket! • A narancssárga vagy a virágmintás kardigánt, és a trapézfarmert vagy a bordó kordnadrágot veszem fel. • A narancssárga kardigánt és a bordó kordnadrágot nem veszem fel együtt. • Annyi már biztos, hogy vagy a virágmintás kardigánt, vagy a trapézfarmert felveszem.

32. Megoldás • A narancssárga vagy a virágmintás kardigánt, és a trapézfarmert vagy a bordó kordnadrágot veszem fel. • A narancssárga kardigánt és a bordó kordnadrágot nem veszem fel együtt. • Annyi már biztos, hogy vagy a virágmintás kardigánt, vagy a trapézfarmert felveszem. • Jelölések: • p: a narancssárga kardigánt veszem fel • q: a virágmintás kardigánt veszem fel • r: a trapézfarmert veszem fel • s: a bordó kordnadrágot veszem fel • Szerkezet: • (p ∨ q) & (r ∨ s) • ~ (p & s) • q ∨ r • De Morgan-szabályt a második premisszára lehet alkalmazni, ez ‘~p ∨ ~s’-sel ekvivalens. (‘Nem veszem fel a narancssárga kardigánt vagy nem veszem fel a bordó kordnadrágot.’)

33. További feladatok • Az nem megy, hogy apa is ott legyen a diplomaosztómon, meg anya is. • Az sem megy, hogy se apa ne legyen ott, se anya. • Tehát vagy anya lesz ott, de apa nem, vagy apa lesz ott, de anya nem. • Mindenki ott lesz, aki számít, de vagy nem engednek be újságírókat, vagy nem esik szó semmi érdemlegesről. • Olyan nincs, hogy mindenki ott legyen, aki számít, és senkinek ne járjon el a szája. • Ezeknél nagy a fegyelem. Vagy beengednek újságírókat, vagy senkinek nem jár el a szája. • Tehát nem esik szó semmi érdemlegesről. • Tamás vagy Tibi biztosan ott van az értekezleten, és Tibi vagy az értekezleten van, vagy ügyféllel tárgyal. • Tibi nincs ott az értekezleten. • Tehát Tamás ott van az értekezleten, vagy Tibi ügyféllel tárgyal. • Tévedés, hogy Bogáncs is keverék, meg Morzsi is. • Az is tévedés, hogy Morzsi is keverék, meg Tóbiás is. • Sőt mi több, az is tévedés, hogy Tóbiás is keverék, meg Bogáncs is. • Tehát akkor sem Bogáncs, sem Morzsi, sem Tóbiás nem keverék.

34. Elsőrendű logika • Nulladrend: A mondatokat nem bontjuk fel. • Elsőrend: A mondatokat felbontjuk. • A két grammatikai alapkategória: • Mondat: „Marci jön a keddi filmre” • Név: • Tulajdonnév: „ XVI. Károly Gusztáv” • Határozott leírás: „a jelenlegi svéd király” • Névmások: „ő” • Funktor (függvény): minden más értelmes kifejezés • Az autó megáll. • A gepárd gyorsabb, mint az antilop.

35. A funktorok fajtái • Az autó megáll. • A gepárd gyorsabb, mint az antilop. • Predikátum: név → mondat • Szerencse, hogy Mária már meggyógyult. • Péter nyugtalan volt, mert Mária késett. • Mondatfunktor: mondat → mondat • Péter anyja • öt meg három • Névfunkor: név → név Összefoglalóan: • Funktor: {név, mondat} → {név, mondat}

36. Funktorok argumentumai • … megáll • …, mert … • argumentumhely: üres helyek • argumentumok száma: az üres helyek száma • … megáll • egyargumentumú predikátum • bemenet: Az autó (név) • kimenet: Az autó megáll. (mondat) • … , mert … • kétargumentumú mondatfunktor • bemenet: Péter nyugtalan volt; Mária késett (mondatok) • kimenet: Péter nyugtalan volt, mert Mária késett. (mondat)

37. Feladatok • Melyek és hány argumentumúak a funktorok az alábbi mondatokban? • Éva okos. • Juli kitartóbb, mint Éva. • Márta pulóvere piros. • A dohányzás ártalmas az egészségre. • Mária fiatal nagymama. • Ha Ádám megjön, Éva elmegy. • Itt van a kutya elásva. • Tünde István és Péter között ül.

38. Grammatika és szemantika nyelv • Grammatika = nyelvtan: a nyelv értelmes („jólformált”) kifejezéseivel foglalkozik. • Szemantika = jelentéstan: a nyelvi kifejezéseknek a nyelven kívüli világhoz való kapcsolódásával foglalkozik. nyelv világ

39. Faktuális érték • Faktuális érték (extenzió): az a tárgy vagy tényállás, amelyre a kifejezés utal. • Mondat faktuális értéke: az igazságértéke. • Mondat: „A Föld gömbölyű” → {1,0} mondat {0,1}

40. Faktuális érték • Faktuális érték (extenzió): az a tárgy vagy tényállás, amelyre a kifejezés utal. • Mondat faktuális értéke: az igazságértéke. • Mondat: „A Föld gömbölyű” → {1,0} • Név faktuális értéke: a jelölete, vagyis az a tárgy, amit a név jelöl. • Név: „a jelenlegi svéd király” → név mondat {0,1}

41. Faktuális érték • Faktuális érték (extenzió): az a tárgy vagy tényállás, amelyre a kifejezés utal. • Mondat faktuális értéke: az igazságértéke. • Mondat: „A Föld gömbölyű” → {1,0} • Név faktuális értéke: a jelölete, vagyis az a tárgy, amit a név jelöl. • Név: „a jelenlegi svéd király” → • Funktor faktuális értéke: név mondat funktor {0,1}

42. Extenzionális és intenzionális funktorok • Nem minden funktornak van faktuális értéke! • Extenzionális funktorok: a bemenet faktuális értéke meghatározza a kimenet faktuális értékét. • predikátum: … a Fekete-tengerbe ömlik. • Duna, Magyarország leghosszabb folyója • mondatfunktor: nem igaz, hogy … • 2+2=5, Az Eiffel-torony Londonban van • névfunktor: … apja • Péter, az osztály legmagasabb fiúja • Intenzionális funktorok: a bemenet faktuális értéke nem határozza meg a kimenet faktuális értékét. • predikátum: Péter ismeri …-t • körzeti orvos, bélyegklub titkára • mondatfunktor: lehetetlen, hogy … • 2+2=5, A jelenlegi brit miniszterelnök nő • névfunktor: az, aki nem tudja, hogy … írta a Pestist • Albert Camus, az 1957-ben Nobel-díjjal jutalmazott író

43. Feladatok • Melyik funktor extenzionális az alábbiak közül? • Péter talált egy darab fát. • Péter keresi a portást. • István tudja, hogy nincs baj. • Azt álmodtam, hogy otthon vagyok. • Egyesek azt állítják, hogy ha piros az ég alja, akkor szél lesz. • Lehetséges, hogy a szünetben elutazunk. • Péter leendő házára gondol.

44. Feladatok • Keressük ki a predikátumokat az alábbi mondatokból! Osztályozzuk őket argumentumszámuk szerint! • Dezső és Oszkár barátok. • Az ég kék. • A nyolc nem prímszám. • Senki sem okosabb mindenkinél. • Amelyik kutya ugat, az nem harap. • Móricz Zsigmond ismertebb, mint Tersánszky Józsi Jenő. • Ez nem más, mint az utolsó példamondat.

45. Feladatok • Az alábbi predikátumok közül melyek azok, amelyek argumentumaik sorrendjének felcserélésére • mindig más igazságértékű állítást adnak, • néha más igazságértékű állítást is adnak, • sohasem adnak más igazságértékű állítást! • … testvére …; … alacsonyabb, mint …; … szereti …; … párhuzamos …; … merőleges …; … megszökteti …; … anyja …; … évfolyamtársa …

46. Változók és kvantorok • Individuumnevek: • tulajdonnevek (XVI. Károly Gusztáv) • leírások (a jelenlegi svéd király) • névmások (ő) • Szabad névmás: Ő álmos. • ő: A tárgyalási univerzum minden elemére vonatkozhat. • Kötött névmás: A főnök kirúgta a könyvelőt, aki becsapta őt. • ő: A főnökre vonatkozik. • A névmások jelölésére változókat használunk: x, y, z • Ő álmos. → x álmos. • szabad változó: a helyén nevek szerepelhetnek. • kötött változó: a helyén nem szerepelhetnek nevek.

47. Nyitott és zárt mondatok • Predikátum: • … kezet fogott …-val • A predikátum argumentumhelyeire változókat beírva nyitott mondatot kapunk: • x kezet fogott y-nal. • Nyitott mondat és predikátum: • Micimackó mézéhes medve, és Malacka szereti őt. • (Micimackó mézéhes) & (Micimackó medve) & (Malacka szereti Micimackót). • (… mézéhes) & (… medve) & (… szereti …-t): négyváltozós predikátum • (x mézéhes) & (x medve) & (y szereti x-t): kétváltozós nyitott mondat • Nyitott mondat: tartalmaz szabad változót. • Zárt mondat: csak kötött változót tartalmaz. • Hogyan lehet változókat lekötni? → Kvantorokkal.

48. Kvantorok • Univerzális kvantor: ∀ (minden) • Egzisztenciális kvantor: ∃ (van olyan) • Nyitott mondat: • x álmos. • Kvantort eléírva: • ∀x(x álmos): Minden x-re, x álmos. Röviden: Mindenki álmos. • ∃x (x álmos): Van olyan x, x álmos. Röviden: Van, aki álmos. • Kvantor alkalmazásának sémája: • kvantor – változó – (hatókör) • A kvantor leköti a nyitott mondat szabad változóját. • Az egyváltozós nyitott mondatból zárt mondatot csinál.

49. Példák • Kétváltozós nyitott mondat: • (x ember) ⊃ (y barátja x-nek) • Kiolvasás: Ha x ember, akkor y barátja x-nek. • Kössük le y-t egzisztenciális kvantorral: • (x ember) ⊃ ∃y (y barátja x-nek) • Kiolvasás: Ha x ember, akkor van olyan y, hogy x barátja y-nak. • Röviden: Ha x ember, akkor x-nek van barátja. • Kössük le x-et univerzális kvantorral: • ∀x [(x ember) ⊃ ∃y (y barátja x-nek)] • Kiolvasás: Minden x-re: ha x ember, akkor x-nek van barátja. • Röviden: Minden embernek van barátja.

50. További példák • Júliát mindenki szereti: • ∀x (x szereti Júliát) • Júlia mindenkit szeret: • ∀x (Júlia szereti x-et) • Mindenki szeret valakit: • ∀x ∃y (x szereti y-t) • Mindenkit szeret valaki: • ∀x ∃y (y szereti x-et) • Mindenki szeret mindenkit: • ∀x ∀y (x szereti y-t)