1 / 28

MATRIKS

MATRIKS. MATRIKS. DEFINISI. Matriks adalah himpunan skalar ( bilangan riil / kompleks ) yang disusun secara empat persegi panjang ( menurut baris dan kolom ). Bentuk umum A=(aij) ,i= 1,2,...m J=1,2,...m a 11 a 12 ……a 1n baris 1

ezhno
Download Presentation

MATRIKS

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. MATRIKS

  2. MATRIKS DEFINISI Matriksadalahhimpunanskalar (bilanganriil/kompleks) yang disusunsecaraempatpersegipanjang (menurutbarisdankolom) Bentuk umum A=(aij) ,i= 1,2,...m J=1,2,...m a11 a12……a1n baris 1 a21 a22…..a2n baris 2 Am1 am2…amn baris m Kolom n Kolom 2 Kolom 1 Matriks di atas mempunyai m buah baris dan n buah kolom maka dikatakan ukuran matriks tersebut adalah (mxn).

  3. 1 2 4 2 1 3 1 2 4 2 1 3 A = B = 1 2 2 2 1 3 2 1 2 2 1 3 C = D = 1 2 4 2 2 2 x 2 4 2 2 2 E = F = ? ? ? ? ? ? ? ? ? • 2 2 • 5 6 • 9 0 7 H = G = Kesamaanduamatriks Duabuahmatriks A=(aij) dan B=(bij) dikatakansama A=B, jikaukurannyasama (mxn) danberlakuaij=bij. A = B C ≠ D E = F jika x = 1 2 2 2 G = H 4 5 6 9 0 7

  4. Contoh penjumlahan matriks: OperasipadaMatriks 1. Penjumlahan / Pengurangan Syarat = keduamatrikstersebutberukuransama 2 2 4 1 A = B = A + B 3 6 3 6 + = 3 6 + = 12 6

  5. PENGURANGAN MATRIKS Contoh: 2 2 4 1 A = B = A - B 3 6 3 6 - = -1 -2 - = 0 0

  6. 2. Perkalian scalar terhadap matriks Jika λ suatu scalar dari A=(aij) maka λ A diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan λ Contoh: HukumpadaPenjumlahandanPerkalianSkalar Misal. A, B & C matriksberukuransama, danλ scalar, maka: (1). A+B = B+A : komutatif (2). (A+B)+C = A+(B+C) : Asosiatif (3). λ(A+B) = λA+ λB : Distributif (4). Selaluadamatriks D sedemikiansehingga A+D=B

  7. 3. Perkalian Matriks Dua buah matriks A&B dapat dikalikan jika: Jumlah kolom matriks pertama (A) sama dengan jumlah baris matriks kedua (B). Misal. A(mxn) dan B(nxp), C=AxB maka C(mxp). • A=(aij) dengan i=1,2,3,…,m dan j=1,2,3,…,n • B=(bjk) dengan j=1,2,3,…,n dan k=1,2,3,…,p • C=(cik) dengan i=1,2,3,…,m dan k=1,2,3,…,p • Maka : • A x B = (aij) x (bjk)=(cik)

  8. Contoh: 1 0 0 1 1 -4 -4 -4 0 0 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 B = A = 4 4 4 2 1 2 1 2 1 1 4 5 0 0 0 0 0 4 4 4 4 5 5 5 5 0 1 2 2 0 0 1 1 2 2 x 9 + x = + x x 16 + x = + x x + 3 A x B = + x = x x = 13 + x + x x + + x = 8 x x x + + x = 14

  9. Hukumpadaperkalianmatriks Jika A,B,C adalahmatriks-matriks yang memenuhisyarat-syarat yang diperlukan, maka: • A(B+C)=AB+AC • A(BC)=(AB).C • Perkalianmatrikstidakkomutatif = AB≠BA tetapiadabeberapamatriks yang berlaku AB=BA • Bila AB=AC , belumtentu B=C • Bila AB=0(matriksnol) • Makakemungkinan-kemungkinan: 1. A=0 & B=0 2. A=0 atau B=0 3. A≠B dan B≠0

  10. 4 2 6 7 5 3 -9 7 A = Transpose 4 5 2 3 6 -9 77 AT = A’ = • Definisi: • Transpose mariks A adalah matriks AT dimana kolom-kolomnya adalah baris-baris dari A, baris-barisnya adalah kolom-kolom dari A. • [AT]ij = [A]ji n x m Jika A adalah matriks m x n, maka matriks transpose AT berukuran ……

  11. 4 2 6 7 5 3 -9 7 Sifat-sifat transpose matriks • (AT )T = A • Transpose dari A transpose adalah A: (AT)T A = A AT Contoh: 4 5 2 3 6 -9 77 4 5 2 3 6 -9 77

  12. T T T A A+B B = + • (A+B)T = • AT • BT + Sifat-sifat transpose matriks 2. (A+B)T = AT + BT

  13. Sifat-sifat transpose matriks 3. (kA)T = k(A) T untuk skalar k T A kA T k • (kA)T = k(A)T

  14. T T T B AB A Sifat-sifat transpose matriks 4. (AB)T = BT AT = • (AB)T • = BTAT • AB

  15. JenisMatriksKhusus 1. Matriksbujursangkar Adalahsuatumatriksdenganbanyaknyabarissamadenganbanyaknyakolom Contoh elemen diagonal utama

  16. 2. Matriks Nol Adalah matriks yang semua elemennya nol 2x2 3x3 3. Matriks Diagonal Adalah matriks yang semua elemen diluar diagonal utama adalah nol Contoh:

  17. 4. Matriks Identitas Adalah matriks diagonal yang elemen diagonal utamanya semua=1 Contoh: 5. Matriks Skalar Adalah matriks diagonal dengan semua elemen diagonal utama=K Contoh: 6. Matriks Segitiga Bawah Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen diatas diagonal utama=0 Contoh:

  18. 7. Matriks Segitiga Atas Adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen dibawah diagonal utama=0 Contoh: 8. Matriks Simetris Adalah matriks yang transfosenya sama dengan dirinya sendiri.(A=AT). Contoh:

  19. 9. Matriks Anti Simetris Adalah matriks yang transfosenya adalah negatifnya. Contoh: 10. Matriks Hermitian Adalah matriks yang transfose hermitiannya sama dengan dirinya sendiri Contoh:

  20. 11. Matriks Invers Misal A(nxn), B(nxn) dan berlaku AB=BA=I maka dikatakan B invers dari A→B=A-1 atau A invers dari B→A=B-1 Contoh: 12. Matriks Komutatif Jika A dan B matriks-matriks bujur sangkar dan berlaku AB=BA, maka A dan B dikatakan berkomutatif satu sama lain. Contoh:

  21. TransformasiElementer Yang dimaksudTransformasiElementerpadamatriksadalahoperasisbb: 1. Bij : Pergantianbariskeidenganbariske j 2. Kij : Pergantiankolomkeidengankolomke j 3. Bi(λ) : Elemen-elemenbariskeimasing-masingdikalikan denganskalarλ≠0 4. Ki(λ) : Elemen-elemenkolomke j masing-masingdikalikandengan skalarλ≠0 5. Bij(λ) : Elemen-elemenbariskeimasing-masingditambahdenganλ kali bariske j 6. Kij(λ) : Elemen-elemenkolomkeimasing-masingditambahdenganλ kali kolomke j

  22. Contoh: Di ketahuimatriks , maka:

  23. MatriksEkivalen Duamatriks A dan B dikatakanekivalen(A~B) jikamatriks yang satudapatdiperolehdarimatriks yang lain dengantransformasibarisdanataukolom. Contoh: • Adalah ekivalen karena:

  24. MatriksEselon Setiap matriks yang bukan matriks nol dapat dirubah menjadi matriks eselon dengan menggunakan “Transformasi Elementer”. Matriks yang memenuhi bahwa elemen-elemen yang sekolom dengan setiap elemen tidak nol terkiri semuanya nol (kecuali elemen 1 terkirinya) disebut “ Matriks Eselon “.

  25. Kondisi-kondisimatriksbentukeselonbarisdaneselonbaristereduksi:Kondisi-kondisimatriksbentukeselonbarisdaneselonbaristereduksi: Ya Tidak • 1. Elemen pertama yang tidak nol adalah 1 (satu utama) • 2. Satu utama baris berikutnya berada lebih kanan dari baris sebelumnya • 3. Baris nol berada di paling bawah • 4. Elemen di atas satu utama nol semua 1 0 2 4 0 1 3 6 0 0 1 0 1 0 2 4 0 3 1 6 0 0 1 0 1 0 2 4 0 0 1 6 0 0 0 1 1 0 2 4 0 0 1 6 0 1 0 0 1 0 2 4 0 1 6 0 0 0 0 0 1 0 2 4 0 0 0 0 0 1 6 0 0 1 6 0 0 1 0 0 0 1 0 6 0 0 0 0 1 5 0 0 0 0 0 0 1 0 2 4 0 1 3 6 0 0 1 0

  26. 1 utama Sembarang nilai * Nol * * * * * * * * * * * * eselon baris. eselon baris tereduksi Matriksdalambentukeselonbaris (eb) daneselonbaristereduksi (ebt) Matriks yang memenuhi kondisi 1, 2, 3 disebut matriks berbentuk eselon baris. Jika matriks memenuhi kondisi 1, 2, 3, 4, maka matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi.

  27. Rank Matriks Setiap matriks dapat dijadikan matriks eselon atau eselon tereduksi dengan menggunakan transformasi elementer. Jumlah elemen satu terkiri pada matriks eselon atau jumlah baris yang tidak sama dengan nol (tidak dapat di nolkan) pada matriks eselon disebut Rank Matriks.

  28. Contoh : Tentukan rank matriksdibawahini : Jawab : 2 matrikeselon Jadi rank matriksdiatasadalah 2

More Related