Download
1 / 21

DANE INFORMACYJNE - PowerPoint PPT Presentation


  • 139 Views
  • Uploaded on

DANE INFORMACYJNE. Nazwa szkoły: ZESPÓŁ SZKÓŁ PONADGIMNAZJALNYCH IM J. MARCIŃCA W KOŹMINIE WLKP. ID grupy: 97/93_MF_G1 Opiekun: MGR MARZENA KRAWCZYK Kompetencja: MATEMATYCZNO-FIZYCZNA Temat projektowy: WZÓR EULERA DLA WIELOŚCIANÓW Semestr/rok szkolny: V / 2011-2012. LEONHARD EULER.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' DANE INFORMACYJNE ' - evita


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
Dane informacyjne
DANE INFORMACYJNE

  • Nazwa szkoły:

    ZESPÓŁ SZKÓŁ PONADGIMNAZJALNYCH IM J. MARCIŃCA W KOŹMINIE WLKP.

  • ID grupy:

    97/93_MF_G1

  • Opiekun:

    MGR MARZENA KRAWCZYK

  • Kompetencja:

    MATEMATYCZNO-FIZYCZNA

  • Temat projektowy:

    WZÓR EULERA DLA WIELOŚCIANÓW

  • Semestr/rok szkolny:

    V / 2011-2012


Leonhard euler
LEONHARD EULER

Czytajcie Eulera, czytajcie go – jest mistrzem nas wszystkich

szwajcarski

Matematyk

i fizyk

1707-1783


Wz r eulera dla wielo cian w
WZÓR EULERA DLA WIELOŚCIANÓW

W 1752 Euler, wówczas profesor Akademii Nauk w Berlinie,

odkrył zadziwiający związek między liczbami s, k, w ścian, krawędzi i wierzchołków dowolnego wielościanu wypukłego .

s - k + w = 2.


Nasza praca projektowa
NASZA PRACA PROJEKTOWA

OTO PRZYGOTOWANE PRZEZ NAS MODELE DO BADAŃ


S uszno wzoru eulera dla graniastos up w
SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA GRANIASTOSŁUPÓW

Graniastosłup TO wielościan, w którym dwie ściany zwane podstawami są równoległymi wielokątami przystającymi, A ściany boczne są równoległobokami.

S=n+2

W=2n

K=3n

S + W- K=(n+2)+2n-3n=2


S uszno wzoru eulera dla ostros up w
SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA OSTROSŁUPÓW

Ostrosłup to wielościan, którego jedna ściana jest dowolnym wielokątem ( podstawa ), a pozostałe ściany (ściany boczne ) są trójkątami o wspólnym wierzchołku.

S=n+1

W=n+1

K=2n

S + W- K=(n+1)+(n+1)-2n=2


S uszno wzoru eulera dla wielo cianu wydr onego
SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA WIELOŚCIANU WYDRĄŻONEGO?

W PROSTOPADŁOŚCIANIE WYDRĄZYLIŚMY GRANIASTOSŁUP PROSTY O PODSTAWIE TRÓJKATA PROSTOKĄTNEGO.

Odkryliśmy, że:

  • W 1813 roku Simon Antoine Jean Lhuilier

  • udowodnił, ze dla wielościanów dziurami wzór Eulera przyjmuje postać W − K + S = 2 − 2g gdzie g jest liczba “dziur”.


S uszno wzoru eulera dla bry plato skich
SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA BRYŁ PLATOŃSKICH

ZBUDOWALIŚMY MODEL dwunastościanu foremnego

S=12

W=30

K=20

S + W- K=12+30-20=2


O liczbie wielościanów foremnych możemy przekonać się z WZORU Eulera

  • Oznaczmy:

  • W - ilość wszystkich wierzchołków wielościanu, W ≥ 4,

  • K - ilość jego wszystkich krawędzi, K ≥ 6,

  • S - ilość ścian, S ≥ 4

  • p = ilość krawędzi w jednej ścianie, , p ≥ 3,

  • q = ilość krawędzi przy jednym wierzchołku q ≥ 3. .

  • Każda krawędź należy do dwóch ścian i łączy dwa wierzchołki. Stąd więc wynikają dwie zależności: Sp=2K     qW=2K

  • Stąd : S= 2K/p, W = 2K/q,

  • podstawiając do równania Eulera S + W - K = 2  dla wielościanów daje zależność: 2K/q +2K/p - K = 2 , która po podzieleniu stronami przez 2K daje równanie: 1/p +1/q= 1/2+ 1/K

  • Ono oznacza, że 1/p + 1/q > 1/2.  Ten związek nie spełniają dowolne liczby naturalne p i q. Wybierając wszystkie pary  p ≥ 3,q ≥ 3 otrzymujemy tylko pary: (3,3), (3,4), (4,3), (3,5) i (5,3). Dla p ≥ 6 lub q ≥ 6 związek ten już nie zachodzi.

  • Podstawiając wyznaczone pary liczb (p,q) do wzorów na W, S i K otrzymujemy wartości określające pięć wielościanów foremnych


S uszno wzoru eulera dla wielo cian w p foremnych czyli archimedesowych
SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA WIELOŚCIANÓW PÓŁFOREMNYCH CZYLI ARCHIMEDESOWYCH

ZBUDOWALIŚMY MODEL CZWOROŚCIANU ŚCIĘTEGO

S=8

W=12

K=18

S + W- K=8+12-18=2


S uszno wzoru eulera dla wielo cian w p foremnych czyli archimedesowych1
SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA WIELOŚCIANÓW PÓŁFOREMNYCH CZYLI ARCHIMEDESOWYCH

ZBUDOWALIŚMY MODEL SZEŚCIO-OŚMIOŚCIANU

S=14

W=12

K=24

S + W- K=14+12-24=2


S uszno wzoru eulera dla wielo cian w catalana
SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA WIELOŚCIANÓW CATALANA CZYLI ARCHIMEDESOWYCH

ZBUDOWALIŚMY MODEL TRZYDZIESTOŚCIANU ROMBOWEGO

S=30

W=32

K=60

S + W- K=30+32-60=2


S uszno wzoru eulera dla wielo cian w catalana1
SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA WIELOŚCIANÓW CATALANA CZYLI ARCHIMEDESOWYCH

ZBUDOWALIŚMY MODEL DWUNASTOŚCIANU ROMBOWEGO

S=12

W=14

K=24

S + W- K=12+14-24=2


S uszno wzoru eulera dla wielo cian w johnsona
SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA WIELOŚCIANÓW JOHNSONA CZYLI ARCHIMEDESOWYCH

ZBUDOWALIŚMY MODEL wydłużonej dwukopuły czworokątnej przekręconej

S=26

W=28

K=52

S + W- K=26+28-52=2


S uszno wzoru eulera dla wielo cian w wkl s ych
SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA WIELOŚCIANÓW WKLĘSŁYCH? CZYLI ARCHIMEDESOWYCH

ZBUDOWALIŚMY MODEL graniastosłupa prawidłowego pięciokątnego gwiaździstego

S=12

W=20

K=30

S + W- K=12+20-30=2


S uszno wzoru eulera dla wielo cian w wkl s ych1
SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA WIELOŚCIANÓW WKLĘSŁYCH? CZYLI ARCHIMEDESOWYCH

Twierdzenie Eulera prawdziwe jest również dla wielu wielościanów innych niż wypukłe. Wystarczy założyć, żeby wielościan był homeomorficzny z kulą, a każda z jego ścian homeomorficzna z kołem.


Gwiazda morawska
GWIAZDA MORAWSKA CZYLI ARCHIMEDESOWYCH

powstaje w wyniku doklejenia prawidłowych ostrosłupów do ścian wielościanu archimedesowego zwanego sześcio-ośmiościanem rombowym małym – wzór eulera nie zachodzi


Stella octangula o mio cian gwia dzisty
STELLA OCTANGULA OŚMIOŚCIAN GWIAŹDZISTY CZYLI ARCHIMEDESOWYCH

wielościan gwieździsty skonstruowany poprzez nałożenie na siebie dwóch przystających czworościanów foremnych lub stellację czworościanu foremnego. Inaczej mówiąc jest to czworościan foremny wydłużony o ostrosłupy doczepione do jego ścian. Posiada 12 krawędzi, 8 wierzchołków i 8(stellonych)/24 ściany będące trójkątami równobocznymi W pewnym sensie spełnia kryteria wielościanu foremnego, z wyjątkiem wymogu wypukłości


Bibliografia
BIBLIOGRAFIA CZYLI ARCHIMEDESOWYCH

http://pl.wikibooks.org/wiki/Matematyka_dla_liceum

http://www.math.edu.pl/bryly-platonski

http://www.szkolnictwo.pl

http://www.edukator.pl/portal-edukacyjny/matematyka/311.html

http://www.jakubas.pl/konspekty/Tw-Eulera/Tw-Eulera.htm

http://www.wiw.pl/delta/jeszcze_raz.asp

http://www.moskat.pl/szkola/matematyka/b_stereometria.php

http://www.maximus.pl/bw-wielosciany_foremne-520.html

http://pl.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Skarbnica

http://pl.wikipedia.org/wiki/Stereometria

K. Starnawski, Wybrane zagadnienia z geometrii WPR

M. Dobrowolska, Matematyka III Podręcznik GWO

R. Kalina, Matematyka III Sens

K. Sieńkowski Przygoda z niemożliwymi kształtami

Encyklopedia szkolna Matematyka


ad