Dane informacyjne
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 21

DANE INFORMACYJNE PowerPoint PPT Presentation


  • 96 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

DANE INFORMACYJNE. Nazwa szkoły: ZESPÓŁ SZKÓŁ PONADGIMNAZJALNYCH IM J. MARCIŃCA W KOŹMINIE WLKP. ID grupy: 97/93_MF_G1 Opiekun: MGR MARZENA KRAWCZYK Kompetencja: MATEMATYCZNO-FIZYCZNA Temat projektowy: WZÓR EULERA DLA WIELOŚCIANÓW Semestr/rok szkolny: V / 2011-2012. LEONHARD EULER.

Download Presentation

DANE INFORMACYJNE

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Dane informacyjne

DANE INFORMACYJNE

  • Nazwa szkoły:

    ZESPÓŁ SZKÓŁ PONADGIMNAZJALNYCH IM J. MARCIŃCA W KOŹMINIE WLKP.

  • ID grupy:

    97/93_MF_G1

  • Opiekun:

    MGR MARZENA KRAWCZYK

  • Kompetencja:

    MATEMATYCZNO-FIZYCZNA

  • Temat projektowy:

    WZÓR EULERA DLA WIELOŚCIANÓW

  • Semestr/rok szkolny:

    V / 2011-2012


Leonhard euler

LEONHARD EULER

Czytajcie Eulera, czytajcie go – jest mistrzem nas wszystkich

szwajcarski

Matematyk

i fizyk

1707-1783


Wz r eulera dla wielo cian w

WZÓR EULERA DLA WIELOŚCIANÓW

W 1752 Euler, wówczas profesor Akademii Nauk w Berlinie,

odkrył zadziwiający związek między liczbami s, k, w ścian, krawędzi i wierzchołków dowolnego wielościanu wypukłego .

s - k + w = 2.


Nasza praca projektowa

NASZA PRACA PROJEKTOWA

OTO PRZYGOTOWANE PRZEZ NAS MODELE DO BADAŃ


S uszno wzoru eulera dla graniastos up w

SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA GRANIASTOSŁUPÓW

Graniastosłup TO wielościan, w którym dwie ściany zwane podstawami są równoległymi wielokątami przystającymi, A ściany boczne są równoległobokami.

S=n+2

W=2n

K=3n

S + W- K=(n+2)+2n-3n=2


S uszno wzoru eulera dla ostros up w

SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA OSTROSŁUPÓW

Ostrosłup to wielościan, którego jedna ściana jest dowolnym wielokątem ( podstawa ), a pozostałe ściany (ściany boczne ) są trójkątami o wspólnym wierzchołku.

S=n+1

W=n+1

K=2n

S + W- K=(n+1)+(n+1)-2n=2


S uszno wzoru eulera dla wielo cianu wydr onego

SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA WIELOŚCIANU WYDRĄŻONEGO?

W PROSTOPADŁOŚCIANIE WYDRĄZYLIŚMY GRANIASTOSŁUP PROSTY O PODSTAWIE TRÓJKATA PROSTOKĄTNEGO.

Odkryliśmy, że:

  • W 1813 roku Simon Antoine Jean Lhuilier

  • udowodnił, ze dla wielościanów dziurami wzór Eulera przyjmuje postać W − K + S = 2 − 2g gdzie g jest liczba “dziur”.


S uszno wzoru eulera dla bry plato skich

SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA BRYŁ PLATOŃSKICH

ZBUDOWALIŚMY MODEL dwunastościanu foremnego

S=12

W=30

K=20

S + W- K=12+30-20=2


Dane informacyjne

O liczbie wielościanów foremnych możemy przekonać się z WZORU Eulera

  • Oznaczmy:

  • W - ilość wszystkich wierzchołków wielościanu, W ≥ 4,

  • K - ilość jego wszystkich krawędzi, K ≥ 6,

  • S - ilość ścian, S ≥ 4

  • p = ilość krawędzi w jednej ścianie, , p ≥ 3,

  • q = ilość krawędzi przy jednym wierzchołku q ≥ 3. .

  • Każda krawędź należy do dwóch ścian i łączy dwa wierzchołki. Stąd więc wynikają dwie zależności: Sp=2K     qW=2K

  • Stąd : S= 2K/p, W = 2K/q,

  • podstawiając do równania Eulera S + W - K = 2  dla wielościanów daje zależność: 2K/q +2K/p - K = 2 , która po podzieleniu stronami przez 2K daje równanie: 1/p +1/q= 1/2+ 1/K

  • Ono oznacza, że 1/p + 1/q > 1/2.  Ten związek nie spełniają dowolne liczby naturalne p i q. Wybierając wszystkie pary  p ≥ 3,q ≥ 3 otrzymujemy tylko pary: (3,3), (3,4), (4,3), (3,5) i (5,3). Dla p ≥ 6 lub q ≥ 6 związek ten już nie zachodzi.

  • Podstawiając wyznaczone pary liczb (p,q) do wzorów na W, S i K otrzymujemy wartości określające pięć wielościanów foremnych


S uszno wzoru eulera dla wielo cian w p foremnych czyli archimedesowych

SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA WIELOŚCIANÓW PÓŁFOREMNYCH CZYLI ARCHIMEDESOWYCH

ZBUDOWALIŚMY MODEL CZWOROŚCIANU ŚCIĘTEGO

S=8

W=12

K=18

S + W- K=8+12-18=2


S uszno wzoru eulera dla wielo cian w p foremnych czyli archimedesowych1

SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA WIELOŚCIANÓW PÓŁFOREMNYCH CZYLI ARCHIMEDESOWYCH

ZBUDOWALIŚMY MODEL SZEŚCIO-OŚMIOŚCIANU

S=14

W=12

K=24

S + W- K=14+12-24=2


S uszno wzoru eulera dla wielo cian w catalana

SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA WIELOŚCIANÓW CATALANA

ZBUDOWALIŚMY MODEL TRZYDZIESTOŚCIANU ROMBOWEGO

S=30

W=32

K=60

S + W- K=30+32-60=2


S uszno wzoru eulera dla wielo cian w catalana1

SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA WIELOŚCIANÓW CATALANA

ZBUDOWALIŚMY MODEL DWUNASTOŚCIANU ROMBOWEGO

S=12

W=14

K=24

S + W- K=12+14-24=2


S uszno wzoru eulera dla wielo cian w johnsona

SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA WIELOŚCIANÓW JOHNSONA

ZBUDOWALIŚMY MODEL wydłużonej dwukopuły czworokątnej przekręconej

S=26

W=28

K=52

S + W- K=26+28-52=2


S uszno wzoru eulera dla wielo cian w wkl s ych

SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA WIELOŚCIANÓW WKLĘSŁYCH?

ZBUDOWALIŚMY MODEL graniastosłupa prawidłowego pięciokątnego gwiaździstego

S=12

W=20

K=30

S + W- K=12+20-30=2


S uszno wzoru eulera dla wielo cian w wkl s ych1

SŁUSZNOŚĆ WZORU EULERA DLA WIELOŚCIANÓW WKLĘSŁYCH?

Twierdzenie Eulera prawdziwe jest również dla wielu wielościanów innych niż wypukłe. Wystarczy założyć, żeby wielościan był homeomorficzny z kulą, a każda z jego ścian homeomorficzna z kołem.


Gwiazda morawska

GWIAZDA MORAWSKA

powstaje w wyniku doklejenia prawidłowych ostrosłupów do ścian wielościanu archimedesowego zwanego sześcio-ośmiościanem rombowym małym – wzór eulera nie zachodzi


Stella octangula o mio cian gwia dzisty

STELLA OCTANGULA OŚMIOŚCIAN GWIAŹDZISTY

wielościan gwieździsty skonstruowany poprzez nałożenie na siebie dwóch przystających czworościanów foremnych lub stellację czworościanu foremnego. Inaczej mówiąc jest to czworościan foremny wydłużony o ostrosłupy doczepione do jego ścian. Posiada 12 krawędzi, 8 wierzchołków i 8(stellonych)/24 ściany będące trójkątami równobocznymi W pewnym sensie spełnia kryteria wielościanu foremnego, z wyjątkiem wymogu wypukłości


Bibliografia

BIBLIOGRAFIA

http://pl.wikibooks.org/wiki/Matematyka_dla_liceum

http://www.math.edu.pl/bryly-platonski

http://www.szkolnictwo.pl

http://www.edukator.pl/portal-edukacyjny/matematyka/311.html

http://www.jakubas.pl/konspekty/Tw-Eulera/Tw-Eulera.htm

http://www.wiw.pl/delta/jeszcze_raz.asp

http://www.moskat.pl/szkola/matematyka/b_stereometria.php

http://www.maximus.pl/bw-wielosciany_foremne-520.html

http://pl.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Skarbnica

http://pl.wikipedia.org/wiki/Stereometria

K. Starnawski, Wybrane zagadnienia z geometrii WPR

M. Dobrowolska, Matematyka III Podręcznik GWO

R. Kalina, Matematyka III Sens

K. Sieńkowski Przygoda z niemożliwymi kształtami

Encyklopedia szkolna Matematyka


  • Login