Circuits et nombres 2 adiques
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Circuits et nombres 2-adiques. Gérard Berry Chaire Algorithmes, machines et langages. Collège de France Cours 2, le 9 avril 2013. Source du cours. Ce cours reprend la théorie et la pratique de Jean Vuillemin (Digital Equipment  X  ENS ). J . Vuillemin.  On circuits and numbers ,

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Circuits et nombres 2-adiques

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Presentation Transcript


Circuits et nombres 2 adiques

Circuits et nombres 2-adiques

Gérard Berry

Chaire Algorithmes, machines et langages

Collège de France

Cours 2, le 9 avril 2013


Source du cours

Source du cours

Ce cours reprend la théorie et la pratique

de Jean Vuillemin (Digital Equipment  X  ENS)

J. Vuillemin. On circuits and numbers,

IEEE Trans. on Computers, 43:8:868-79, 1994

G. Berry, Collège de France, cours 2


Nombres 2 adiques hensel 1900

Nombres 2-adiques (Hensel, ~1900)

  • R est une complétion de Q. Est-ce la seule?

  • Non : nombres p-adiques pour p premier

  • nombre infinis écrits poids faibles d’abord

  • Beau, mais physique ? cf. Matière à Pensée, p. 32

  • Alain Connes / JP Changeux

  • Jean Vuillemin : les entiers 2-adiques sont le bon

  • Jean Vuillemin :modèle des circuits numériques

  • En un sens, nous allons créer leur physique

Ils unifient l’arithmétique infinie calculable

et la logique Booléenne

G. Berry, Collège de France, cours 2


2 z anneau des entiers 2 adiques

2Z : anneau des entiers 2-adiques

x 2x0x1x2… poids faibles d’abord

opérations et de gauche à droite

0200000...  2(0)

1210000... 21(0)

2201000...  201(0)

1211111...  2(1)

2201111...  20(1)

x 2101010...2(10)

y 2010101... 2(01)

x2100000... 2001010...

y 2x

ou x y 1

x14x

x 1/3

y 2/3

G. Berry, Collège de France, cours 2


L anneau des 2 adiques

L’anneau des 2-adiques

p/q existe pour p, q entiers ssi q est impair

(cf. Euclide)

1/2 n’existe pas

car la somme de bits x0x0ne peut pas valoir 1

Pas d’ordre compatible avec les opérations

1  0  1

G. Berry, Collège de France, cours 2


2 z comme alg bre bool enne

2Z comme algèbre Booléenne

  • 2-adique x vu comme l’ensemble {i |xi1 }

  • exemple:1/3 2101010...  { i|i pair}

  • Opérations Booléennes point par point

  • x  yx  y  x

  • (x  y)n xnynetc.

  • Relation arithmético-logique fondamentale

2100011...

x  x  1

2011100...

2111111...

G. Berry, Collège de France, cours 2


Espace m trique de cantor

Espace Métrique de Cantor

d(x,x) 0

d(x,y)  2nn min t.q. xnyn

Exemple: d(201111..., 201101...  1/8)

  • Lemme :2Z est ultramétrique :

  • d(x,z) max(d(x,y),d(y,z))

x

y

z

d(x,z)  min(d(x,y),d(y,z))

G. Berry, Collège de France, cours 2


Espace m trique de cantor1

Espace Métrique de Cantor

  • Base d’ouverts : préfixes finis

  • x0x1...xn {2x0x1...xny0y1...yn...| y2Z}

ex. ouvert de préfixe 210010

1

1

0

0

0

  • Compact – très différent des réels!

G. Berry, Collège de France, cours 2


Fonctions continues

Fonctions continues

  • Lemme :f: 2Z 2Zcontinue ssi

  • f(x)nnedépend que d’un nombre fini de xm

2x0x1......xm...

2y0y1...yn...

Continuité 

préservation de la finitude de l’information

G. Berry, Collège de France, cours 2


Fonctions synchrones

Fonctions synchrones

f(x)

x

0x0x1...xn...

x0x1...xn...

G. Berry, Collège de France, cours 2


Fonctions synchrones et contractantes

Fonctions synchrones et contractantes

f(x)

x

  • Définition :f: 2Z 2Zsynchrone ssi calculable par un circuit synchrone (de mémoire finie ou infinie)

  • Théorèmef: 2Z 2Z est synchrone si et seulement si

  • f(x)n ne dépend que de x0x1...xn, i.e., est contractante

x,y. d(f(x),f(y)) d(x,y)

Preuve : « seulement si » trivial,

Preuve: pour « si » voir la construction SDD diapo

G. Berry, Collège de France, cours 2


Circuits de moore et contraction strictes

Circuits de Moore et contraction strictes

  • Un circuit synchrone est de Moore ssi tout fil entre une entrée et une sortie passe par au moins un registre

Circuit

de Moore

  • Une fonction f: 2Z 2Z est strictement contractante

  • ssi f(x)n dépend seulement de x0x1...xn1

x,y. d(f(x),f(y)) d(x,y)

Théorème : une fonction est strictement contractante ssi elle est réalisable par un circuit de Moore

G. Berry, Collège de France, cours 2


Rebouclage des circuits de moore

Rebouclage des circuits de Moore

Circuit

de Moore

f(x)

x

G. Berry, Collège de France, cours 2


Rebouclage des circuits de moore1

Rebouclage des circuits de Moore

Circuit

de Moore

f(x)  x

f(x)

x,y. d(f(x),f(y)) d(x,y)

x,y. d(f(x),f(y)) 0,6 d(x,y)

Lifschitz

Théorème de Banach :toute fonction Lifschitzienne

sur un compact a un point fixe unique

G. Berry, Collège de France, cours 2


L addition dans l espace

r

r = 0

s

+

+

1

0

0

+

+

a

b

s

r

2

1

1

1

a

b

r

s

3

2

2

2

L’addition dans l’espace

+

a

0

+

b

s  ab

mais en temps infini !

0

continuité :

couper à n bits

pour n bits de sortie

x2nxmod2n

s2n1 a2nb2n

G. Berry, Collège de France, cours 2


Additionneur 3 bits full adder

+

+

Additionneur 3 bits (Full Adder)

s

a

oux

a

s

b

b

r

c

c

et

r

bits

et

ou

abc  s2r

et

s  aouxbouxc

r  (a et b) ou (b et c) ou (c et a)

G. Berry, Collège de France, cours 2


Op rateurs 2 adiques de base

+

+

Opérateurs 2-adiques de base

a

s

abc  s2r

b

r

c

20x0x1...xn...

2x0x1...xn...

2x0x1...xn...

x

12x

x

2x

21x0x1...xn...

G. Berry, Collège de France, cours 2


Addition et soustraction dans le temps

s

s

Addition et soustraction dans le temps

a

a

+

+

b

b

+

+

2r

r

r

12r

ab2r  s2r

ab12r  s2r

bb 1

s  ab

b1 b

même équation

que dans l’espace !

ab  s

tick !

s  ab

G. Berry, Collège de France, cours 2


Addition mixte espace temps

si

sp

Addition mixte espace / temps

a  apai

x y 2x0y0x1y1...

ap

ai

+

+

bp

bi

+

+

s  spsi

b  bpbi

rp

tick !

s  ab

2ri

ri

toujours la

même équation !

Code source constant

pour tous les échanges espace / temps

G. Berry, Collège de France, cours 2


Addition st r o

s

Addition stéréo

a

+

b

+

spsi (apai)(bp bi)

r

additionneur

stéréo

Alterne deux additions dans le temps

stéréo  canal gauche  canal droit

G. Berry, Collège de France, cours 2


Addition et soustraction dans le temps1

s

s

Addition et soustraction dans le temps

a

a

+

+

b

b

+

+

a

a

s

s

b

b

tick !

G. Berry, Collège de France, cours 2


Multiplication et division par une constante

x

3x

x

_

y  x/3

Multiplication et division par une constante

preuve : x2x  3x

preuve : yx2y

division seulement

par des entiers impairs!

G. Berry, Collège de France, cours 2


Quasi inverse

Quasi-inverse

y1/(12x)

y2xy 1

y12xy

?

x

y12xy1/(12x)

contractante  synchrone

mais mémoire infinie

(cf. construction SDD diapo ??)

G. Berry, Collège de France, cours 2


Quasi racine carr e

x

z

y

Quasi-racinecarrée

y 18x

ça ne nous dit rien

sur les bits qui passent !

y 14z

y2 18z16z2

zx2z2

y2 18x16z216z2

G. Berry, Collège de France, cours 2


D composition spatio temporelle de f synchrone

Décomposition spatio-temporelle de f synchrone

f0premier bit sorti par f pour l’entrée 0...

f1... 1...

fwdernier bit sorti par f pour le mot fini w

f00-prédicteur : f0w=f(w0) pour tout mot w

f11-prédicteur : f1w=f(w1)

fuu-prédicteur : fuw=f(wu) pour tout mots w,u

G. Berry, Collège de France, cours 2


Automate de x 3 x

x

3x

+

Automate de x  3x

0/0

1/1

00

10

0/1

0/1

1/0

0/0

01

11

1/0

1/1

G. Berry, Collège de France, cours 2


Pr dicteur 0 de x 3 x

x

3x

+

Prédicteur 0 de x  3x

0/0

0/0

0/

1/1

1/

1/1

00

00

10

10

0/1

0/

0/0

0/1

0/0

0/

1/0

1/

1/0

0/0

0/1

0/

01

11

01

11

1/0

1/0

1/

1/1

1/

1/0

G. Berry, Collège de France, cours 2


Etape de d composition

x

f1

1

f(x)

0

f0

Etape de décomposition

f(x) = mux(x, f12f1(x), f02f0(x))

f1

f0

G. Berry, Collège de France, cours 2


Forme normale sdd de f 2z 2z

x

f11

f11

1

x

f10

f10

0

f1

1

f1

f(x)

x

f0

0

f0

f01

f01

1

f00

0

f00

Forme normale SDD de f : 2z2z

...

...

...

...

Table de vérité dans l’espace et le temps

ultra-rapide : chemin critique  un mux

La moitié des bits disparaît à chaque cycle

G. Berry, Collège de France, cours 2


Sdd partag de f 2z 2z m moire finie

x

f11

f11

1

x

f10

f10

0

1

f1

f1

f(x)

x

f0

0

f0

f01

f01

1

f00

0

f00

SDD partagé de f : 2z2z à mémoire finie

...

...

...

...

f à mémoire finie  nb fini de prédicteurs fu distincts

n

f à n registres  SDD(f) peut avoir 22registres

G. Berry, Collège de France, cours 2


Trace d une fonction synchrone

Trace d’une fonction synchrone

Tr(f) 2f0f1f00f01 f10f11f000f001...

f02f14(Tr(f0) ʘ Tr(f1 ))

L’application d’une trace Tr(f) à un argument x

est continue  calcul ?

Série formelle sur Z/2Z : S(f) = n Tr(f)nzn

Théorème :

f:2Z 2Zest de mémoire finie

ssi S(f) est algébrique dans Z/2Z

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Des traces synchrones aux trancendants

Des traces synchrones aux trancendants

Théorème (Van der Porten) : si f est à mémoire finie, alors le nombre réel

0, f0f1f00f01 f10f11f000f001...

est soit rationnel soit transcendant

AutomaticSequences: Theory, Applications, Generalizations

Jean-Paul Allouche et Jeffrey Shallit

Cambridge University Press (21 juillet 2003)

Cf. aussicours 5 2010, systèmes finis,

http://www.college-de-france.fr/site/gerard-berry/index.htm#|m=course|q=/site/gerard-berry/course-2009-2010.htm|p=../gerard-berry/course-2009-12-16-10h00.htm|

G. Berry, Collège de France, cours 2


Des fonctions continues aux circuits

Des fonctions continues aux circuits

f continue mais pas synchrone

 dilater le temps

  • nombre 2-adique : < valeur, validité>

    • 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 ...

    • 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 ...

    • 0 1 1 0 1

Théorème : toute fonction continue peut être

réalisée par un circuit synchrone avec validité

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Conclusion

Conclusion

Merci à Jean Vuillemin

  • Les 2-adiques sont le bon modèle des circuits synchrones arithmétiques (seulement ?)

  • La distance 2-adique, la continuité et le synchronisme sont des notions vraiment fondamentales

  • La structure de l’espace des prédicteurs reste à comprendre

  • La relation fonction continue / circuit synchrone à validité est encore largement à étudier (calcul?)

G. Berry, Collège de France, cours 2


Commutation op rateurs d lais

+

+

+

+

Commutation opérateurs / délais

a

a

s

s’

s’

b

r

b

r’

r’

c

c

s’2r’  2(abc)

s’2r’  2a2b2c

Utilisation: couper les chemins critiques

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Annexe optimisation par retiming

Annexe – optimisation par retiming

  • Commutation opérateurs / registres

  • Le retiming comme optimisation fondamentale des circuits en temps

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Le retiming un acc l rateur majeur

Le retiming, un accélérateur majeur

0

+

+

Calcule2s

+

+

+

+

G. Berry, Collège de France, cours 2


Le retiming un acc l rateur majeur1

Le retiming, un accélérateur majeur

0

+

+

Calcule2s

+

Calcule4s

+

+

+

G. Berry, Collège de France, cours 2


Le retiming un acc l rateur majeur2

Le retiming, un accélérateur majeur

0

+

n bits:

latence n-1,

temps 1

+

+

Calcule4s

+

+

+

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