The Integer-Magic Spectra of Sun Graphs

The Integer-Magic Spectra of Sun Graphs 淡江大學莊枏樺指導老師高金美教授

4 9 2 3 5 7 8 1 6 Integer-Magic Spectra Magic 的概念是從魔方陣(magic square) 開始的, 也就是在一個 n x n 的方陣中放入不同數字而能滿足每行每列以及對角線上的數字和皆相同

Integer-Magic Spectra • Magic Graph (J. Sedl´acek 1976) 在圖上的每邊上標號並且滿足 (i) 不同邊標上不同的數字 (ii) 圖上每點將與其相連之邊上的標號加起來的總和皆相同

2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 G Integer-Magic Spectra Group Magic Graph (S. M. Lee 2002) • 若圖G 存在一組只使用 Zk \ {0} = {1,2, …, k − 1} 的邊標號並滿足每一點在 Zk 中皆同和, 則此圖G 被稱為 Zk-magic (為了能將此概念運用到所有圖上便容許了使用重覆數字而且其中的 Z1-magic 就是 Z-magic )。 G is Z3-magic

1 1 1 -1 -1 -2 -2 IM(G) N \ {2} (N 為所有正整數) 1 1 1 2 2 2 G 1 1 2 2 2 2 2 G Integer-Magic Spectra • 將所有在圖 G 中能辦到 Zk-magic 的 k 收集起來而成的集合就是所謂的 integer-magic spectrumof G ,並以IM(G)代表之只要包含了 {1, -1, -2} 的 Zk G 皆為 Zk-magic G is Z3-magic

C6 C6(2, 3, 2, 3, 3, 2) C6(2, 3, 2, 3, 3 C6(2 C6 C6(2, 3, 2 C6(2, 3 C6(2, 3, 2, 3 Sun Graph • 所謂的太陽圖（Sun graph）便是由給定迴圈 Cn後, 在Cn 每邊上附加分別長度為 t1, t2, … , tn 的路徑所乘的圖形, 以 Cn(t1, t2, … , t n)代表之

w u v w G|u,v G Definition of G|u,v • 若有ｋ條邊與圖上的某點相接則稱此點的degree為 k. 假設 u 和 v 為 G 中的 2個degree為 2 且彼此相接的點, 令 w 為另一個與 v 相接的點 , G|u,v為將G 扣除 uv 以及 vw 這 2 條邊並用 w 取代 u 所成的新圖

Theorem 1 (W.C. Shiu, R.M. Low 2007) • 圖 G 中的 Zk -magic 標號存在性等價於 G|u,v 中的 Zk -magic 標號存在性 ( 也就是說 IM(G) = IM(G|u,v) )

運用 Theorem 1 在我們考慮太陽圖 Cn(t1,t2, … , tn) 時, 僅需將所有的係數 ti設定為 2 或 3 便等同考慮到所有的太陽圖

1 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1 C6(2, 3, 2, 3, 3, 2) Lemma 2 • G = Cn(t1, t2, … , tn) 若 n 為偶數且 ti ≥ 1, 則 IM(G) = N。 C6(2, 3, 2, 3, 3, 2) is Zk-magic for k ∈N. IM(C6(2, 3, 2, 3, 3, 2)) =N

1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 C5(2, 3, 2, 3, 3) Lemma 3 • G = Cn(t1, t2, … , tn) 若 n 為奇數且為奇數, 則 IM(G) = N。 -1 1 -1 1 -1 1

The rest case • Lemma 2 : n 為偶數且 ti ≥ 1, 則 IM(G) = N。 • Lemma 3 : n 為奇數且為奇數, 則 IM(G) = N。 • Rest case : n 為奇數且為偶數。

|Ψ2(G)| = 4 and |Ψ3(G)| = 2 C6(2, 3, 2, 3, 2, 2) The rest case • 令 Ψ2(G) = { i |ti = 2} 且 Ψ3(G) = { i | ti = 3}. 剩下的 case 可以轉換為 |Ψ2(G)| 為奇數且 |Ψ3(G)| 為偶數的情況

Lemma 4 (W.C. Shiu, R.M. Low 2007) • 令 G = Cn(t1, t2, … , tn). 若 n 為奇數且 ti ∈ 2N, 則 IM(G) = N \ {3} 。

Lemma 5 • n ≥ 5 , G = Cn(t1, t2, … , tn) 若存在某數 h 滿足1 ≤ h ≤ n 且 tk = tk+1 = 3 則太陽圖 Cn(t1, t2, … , tn) Zk-magic 的存在性等價於 Cn−2(t1, t2, … , tk−1, tk+2, tk+3, … , tn ) Zk-magic 的存在性運用Lemma 5 , 可得知 IM(Cn(2,3,3,2,3))= IM(Cn(2,2,3))

y2,1+ y2,2= y2,2 + y2,3 = m (mod h) Lemma 6 • IM(C3(2, 3, 3)) = 2N. Consider a Zk - labeling f with magic value m y1,2 y1,1 x1 y2,1 y3,3 x3 x2 y2,1= y2,3 y3,1= y3,3 y2,2 y3,2 x1+y1,2+x2+y2,1 = x2+y2,3+x3+y3,1 =m y2,3 y3,1 x1 +y1,2 = x3 +y3,3 x3 + y3,3 + x1 + y1,1 = y1,1 + y1,2 = m x1 + y1,2 + x1 + y1,1 = y1,1 + y1,2 = m 2x1≡ 0 (mod k), k should be a multiple of 2 Labeling all edge by k/2 is an Zk - labeling with magic value 0

Theorem 7 • 若 n 為大於等於 3 之奇數, 則 IM(Cn(2, 3, 3, … , 3)) = 2N.

Lemma 8 • G = Cn(t1, t2, … , tn). 若n 為大於等於 5 的奇數且滿足為偶數, 則 G 在 |Ψ2(G)| = 3, 5, 或 7 時不為 Z3-magic。

Lemma 9 • G = Cn(t1, t2, … , tn) , n 為奇數且為偶數。若G存在一組 Z3-magic 標號, 則此標號中各點的和必為 0 。

-b -c -a -a b a -b -a d -b -d b c d c b b -a a a c b -b -a -a a a -b -c b -b -d d -c Lemma 10 • G = Cn(t1, t2, … , tn) 且 n 為奇數, 若 |Ψ2(G)| 為大於等於 3 的奇數則 G不為 Z3-magic。 Suppose that there is a Z3-magic labeling f forG = Cn(t1, t2, … , tn) a,b ∈ {−1, 1} c,d ∈ {−1, 1}

-c -b -b -b -d -a -a -a b b b b b b -b -b -b d -b -b -b d c c c c b b b b b b -b -b -b b b b -b -b -b -c -c -c -d d d -c c -c -a -a -a a a a c -d -a -a -a a a a -c -c c -c d c c -c c -d a, b, c, d ∈ {−1, 1}

Lemma 11 • G = Cn(t1, t2, … , tn) 且 n 為奇數, 若 |Ψ2(G)| 為大於等於 3 的奇數則 IM(G) = N \ {3} 。 C9( 2, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 2, 3) C11( 2, 2, 3, 2, 3, 2, 3, 2, 3, 2, 2) C15( 2, 2, 2, 3, 2, 3, 2, 2, 2, 3, 2, 3, 2, 2, 2) C9( 2, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 2, 3) C11( 2, 2, 3, 2, 3, 2, 3, 2, 3, 2, 2) C15( 2, 2, 2, 3, 2, 3, 2, 2, 2, 3, 2, 3, 2, 2, 2)

-1 1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 -1 1 -1 2 1 -2 1 2 -3 1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -2 -1 1 -1 2 -2 2 2 1 -1 -3 2 -2 1 -1 1 -1 -2 2 -1 -1 -1 3 -2 -1 1 1 1 2 -1 1 -1 2 -2 -1 -2 -1 -2 2 -2 3 -1

Example C15( 2, 2, 2, 3, 2, 3, 2, 2, 2, 3, 2, 3, 2, 2, 2)

Theorem 13 • Let G = Cn(t1, t2, … , tn) be a sun graph of index n and Ψ(G) = { i | ti is even}. Then (a) IM(G) = N if n is even; (b) IM(G) = N if n is odd and is odd; (c) IM(G) = 2N if n is odd, |Ψ(G)| = 1, and is even; (d) IM(G) = N \ {3} if n is odd, |Ψ(G)| > 1, and is even.

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