1 / 47

Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014

Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014. Overzicht. Wat was Analytische Meetkunde? Achtergronden vroeger en nu Descartes: Meetkunde via algebra Later: coördinaten, algebra, het klassieke programma Wat wordt het nu? Vier opgaven van nu: meetkunde met Algebra

eternity-lambert
Download Presentation

Meetkunde met Algebra Aad Goddijn ( Fisme ) Winter 2014

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Meetkunde met Algebra Aad Goddijn (Fisme) Winter 2014

  2. Overzicht • Wat was Analytische Meetkunde? • Achtergronden vroeger en nu • Descartes: Meetkunde via algebra • Later: coördinaten, algebra, het klassieke programma • Wat wordt het nu? • Vier opgaven van nu: meetkunde met Algebra • Vorm, vervorming, hoeken, beweging • Bedoeling: startpunten voor verder ontwikkelen. • Samenvatting, • Terugblik, overzicht, achtergronden

  3. A: Wat was Analytische Meetkunde?

  4. La Géométrie • Dover, tweetalig(F,E)(used from $0.89 (2nd) • Voorplaat: bijoplossen 6e-graadsvergelijkingen. • De traditiezegt: Descartes vond de AM uit. • Is datzo ????????????

  5. Descartes’ filosofie achter LaGéométrie uit 1637 • (elk vraagstuk dat over grootheden gaat, kan worden teruggebracht tot een meetkundig probleem) • elk meetkundig probleem kan worden teruggebracht tot een algebraïsch probleem; • dat kan worden teruggebracht tot het oplossen van een of meer vergelijkingen met één of meer onbekenden. • weet je de oplossing, dan kun je de afstanden (meetkundig) construeren • Samengevat: Meetkundevia de algebra

  6. Hoe doet ie dat? • De analytische methode • Localisering via afstanden x en y, ( ~ coördinaten) • Het nieuwe vermenigvuldigen

  7. Neem aan dat het probleem opgelost is Geef namen aan bekenden en onbekenden; a, b, c, x,y,z Ver-gelijkingen opstellen Descartes 1: de analytische methode algebra

  8. Vlaggemast, probleem en oplossing Aan de top van een rechtopstaande vlaggemast zit een koord. Eén meter vanaf het losse eind zit een knoop. Als het koord los naar beneden hangt, komt de knoop precies op de grond. Je trekt aan het eind van het touw en brengt dat eind zover mogelijk van de mast naar de grond. Het koord raakt nu de grond op 5 meter van de voet van de mast. Vraag Hoe hoog is de vlaggemast? Stap 1 x x 1 5 Stap 2: x, x+1, 5 Stap 3: (x+1)2 = x2 + 52 Stap 4: ………. X = 12

  9. (CB) y Descartes 2: ‘coördinaten ??’ x • Curve, mechanisch beschreven door punt C • x en y zijn afstandentot twee vaste lijnen • Het abc van Descartes: • x, y, z: onbekenden • a, b, c: bekenden

  10. 3: Het nieuwe vermenigvuldigenvan lijnstukken

  11. Euclides: lijnstuk * lijnstuk is oppervlakte Natuurlijkverbandtussengraad (aantalfactoren) en dimensie

  12. Descartes: lijnstuk * lijnstuk = lijnstuk AB = 1 1 AB : BD = BC : BE AB * BE = BD * BC AB * BE = BD * BC BE = BD * BC

  13. Niet-homogene vormen NP =: q QNP=TOP SR = z3 Etc… z q

  14. Niet-homogene vormen

  15. Hilbert, rond 1900 Hilbert weet dat de stelling van Pappos een noodzakelijk axioma is. Historiegaat vooraf

  16. Geometrisch of papagaai? (a + b)( c + d)

  17. Later … • Coördinatengebruik kenmerkt de AM. Figuur en vergelijking zijn gelijkwaardig. Maar … Vergelijking F(x, y) = 0 figuur figuur Los x en y op uit G(x, y) = H(x, y) =0 snijden snijden

  18. Uw meetkundeboek ziet er voortaan zo uit

  19. Mijn zelftoets: Torus analytisch doorsnijden • Torus: wentel cirkel (r, (R,0,0)) om z-as. z x y

  20. Twee aanzichten, • Snijden met dubbelraakvlak • Op de wijze van BM(anno 1939) • In het bovenaanzicht zie je twee cirkels !!!!!!!! • Bewijs dat met algebra!

  21. Speeltuin? Martelkamer?

  22. Vroeger op school: Noodgedwongen bijna geheel beperkt tot 1e- en 2e-graadsvergelijkingen. Microscopie van de tweedegraadsvergelijking, die allemaal kegelsneden als figuur hebben. Hoogste punt: Determineer (gegeven A, B, C) de aard van : Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

  23. Inhoud, overzicht van de boeken Revolutievariant: • (Grondslagen) • Lijnen • Cirkels • (Macht en machtlijn) • (Meetkundige plaatsen) • Ellipsen • Parabolen • Hyperbolen • (Bundels, coordinaat-transformaties) • (Grondslagen) • Lijnen • Cirkels • (Macht en machtlijn) • (Meetkundige plaatsen) • Parabolen • Ellipsen • Hyperbolen • (Bundels, coordinaat-transformaties)

  24. Standpunt nu • Wel algebra gebruiken! • Liefst geïntegreerd • Focus op conceptverwerving meetkunde MET algebra. • Vandaag: • dit standpunt verkennen via vier (drie, één) opgaven en discussie.

  25. Opgave 1:Vierkanten voltooien Eerst berekening invullen, later pas resultaat!

  26. Twee liggingen

  27. Berekening als gids naar formules voor xD en yD (Rood óók !!)

  28. Rode resultaat als controle voor groene formule xD

  29. Punten van overweging en discussie (1) • Rekenen met absolute verschillenuitgelokt door numeriekvoorbeeld. • Algebraformuleblijktmooionafhankelijk van ligging. • VerschillenalsGerichteGrootheden. • P, Q, R op éénlijn: Afst(P,Q) + Afst(Q,R) =? Afst(P,R)GG(P,Q) + GG(Q,R) = GG(P,R) • Gerichtegroothedenmaken het huwelijk van meetkunde en algebra gelukkig. • Descartes begreephiernognietveel van! • Freudenthal: • Algebraisch-meetkundigpermanentie-principe • Waaromditniet met vectoren? …….

  30. Punten van overweging en discussie (2) • Is éénkarakteristieknumeriekvoorbeeldgenoeg? • xD = xA + (yA – yB) is betekenisvollerdan 91 = 58+ 52-19 • Namenmaken algebra betekenisvol, getallenniet. • Alleniet-wiskundigenwetendatbeterdanwij..

  31. Intermezzo: Cirkelvergelijkingopstellen Stel de vergelijking op van de cirkel met middelpunt (4,1) die door (6,2) gaat. D: Waarom doe je dat? l: “Ikdachtdat ‘t moest.” D: Welke regel vertelt het best dat het eencirkel is? l: De eerste. Commentaar: Met de haakjesmeewordt de wiskundeverdreven.

  32. Opgave 2: een cirkel vervormen. • Onderwerp: Verwantschapfiguur en vergelijking • Vanfiguur 1naarfiguur 2en van vergelijking 1naarvergelijking 2 • Inleidendevoorbeelden met vastestructuur.

  33. Algebra, transformaties, terugkijken Verschuiven over (16, 5). (x, y) Dus (x-16, y-5) in origineel. Vergelijkingorigineel: F(x, y ) = 0 Vergelijkingbeeld: F(x-16, y-5 ) = 0

  34. Para-I draait 90 graden om O naar para-II I: y= x (x-4)/4 (x, y) op II komt van (y, -x) op I. Die ligt op het origineel. Dus: II: (-x) = y(y-4)/4x = y(4-y)/4 (y, -x) (x, y)

  35. Cirkel: x2 + y2 = 36 (x, y) komt van (x, 2y). (x, 2y). ligt op de originelecirkel. Dus: Ellips: x2 + (2y) 2 = 36 Terzijde: is dat dezelfde ellips als de echte?

  36. Opgave 2 (pittig ..) • Transformeer in enkele stappen de vergelijking van de eenheidscirkel naar die van deze ellips met assen 2 en 4.(laatste schuifstap misschien als huiswerk)

  37. Discussie ….. • Terugkijkmethodegeneriekaanbieden. • Per transformatiesoortoefenenlijktaardig • .. Maar helptnietbijmethode-transfer van schuivennaardraaien (bij para I>>II) • ‘Uitwerken’ van vergelijkingenhiernietecht van belang.

  38. Opgave 3: Hoeken en spiegelen

  39. Commentaar • Hoeken, ook graag georienteerd bij AM • Hoek van een lijn: rc, en 0 -180. De tangens heeft periode 180. • Hoek van een straal: volle cirkel. Dit is de GGB-hoek. • In de formule staat de factor 2 bij de hoek die zelf maar tot 180 mag gaan! • Antwoord toegevoegde vraag c: JA. Georienteerde hoeken en algebra gaan net zo samen als georienteerde afstanden en algebra.

  40. Opgave 4: Bewegen en vectoren

  41. GGB-ontwerp, schuifjes, glijden

  42. Schuivende lijn P(t) Onderzoek het verband tussen de snelheden van boven- en onderkant van de glijdende ladderlijn. Q(t)

  43. Vragen • Watga je meervastleggen in de vraagstelling? • Intuitief: als de ladder stilstaat de bovenkant … maar met .. Toepassingenhiervan? • Vectoren? Probeer. • Of: de lengteverandertniet in de tijd. • Afgeleidegebruiken?

  44. Mogelijke antwoorden • Projecteer de bewegingen op de ladderlijn zelf. • P(t)2 + Q(t)2 is vast. Differentieëer dat.

  45. Nadere discussie vectoren • Vectoren: optimaal bij beweging. Minder bij positie. • Wezen van de vector: een verplaatsbaar verschil. Zie opgave 1; snelheid is ook een verschil, een tijdgeschaald verschil. • Samenstellen én verdelen. (Zoals hier) • Kracht van inproduct eigenlijk pas in 3D. • In 2D kan al het belangrijke evengoed zonder: Loodrechte standen, lengte, cosinusregel.

  46. C: Terugblik, samenvatting • Historische inleiding met didactisch accent: de methode Descartes. • Algebra is betekenisvol in de meetkunde via zijn eigen structuur. (Dat is heel wat meer dan het lijken van de eb-vloed grafiek op een sinuslijn) • Relativering van de waarde van losse numeriek voorbeelden om tot generalisatie te komen. Formules liever opstellen via variabelen met namen. • Vier voorbeelden met centraal idee. Mogelijk verder ontwikkelbaar …

More Related