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Programa de Asignatura . Fundamentos de Matemática . Clave : MME - 312

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Programa de Asignatura . Fundamentos de Matemática . Clave : MME - 312 - PowerPoint PPT Presentation


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- Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad II. Métodos de demostración. Programa de Asignatura . Fundamentos de Matemática . Clave : MME - 312 Prerrequisito. : Licenciatura o su

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-Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312Unidad II. Métodos de demostración.
  • Programa de Asignatura.
  • Fundamentos de Matemática.
        • Clave : MME - 312
        • Prerrequisito. : Licenciatura o su
        • Equivalente.
        • Número de Créditos : 3
        • # Horas Semanales : 3
        • Horas Teóricas : 3 Prácticas: 0
        • Aula :
        • Horario : Sábado de 8:00 AM a 4:00 PM.
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-Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad II. Métodos de demostración.
  • Introducción.
        • Algunas frases para empezar.
        • Se aprende haciendo;
        • El esfuerzo y la dedicación aseguran el conocimiento;
        • Las matemáticas entran por las manos;
        • Presentación del Programa y discusión de Reglas internas.
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-Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad II. Métodos de demostración.
  • 2.1 Identificar lo que se demuestra. Implicación o Equivalencia.
  • El tratamiento de teoremas y sus demostraciones , se puede estructurar en
  • tres etapas fundamentales:
  • ­ Búsqueda del teorema; en esta etapa se pretende que el estudiante sea capaz de
  • encontrar una determinada suposición y formularla como proposición;
  • - Búsqueda de la demostración, como su nombre lo indica se pretende encontrar
  • los medios para la demostración, en particular en la demostración que se
  • desarrolla se pone al descubierto la cadena de inferencias que conducen de la
  • hipótesis a la tesis, a través de una serie de etapas intermedias;
  • - Representación de la demostración, pretendiendo aquí escribir correctamente
  • la cadena de inferencias lógicas en un esquema de demostración conveniente y
  • claro.
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-Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad II. Métodos de demostración.
  • 2.1 Identificar lo que se demuestra. Implicación o Equivalencia.
  • La proposición (o enunciado) que describe un teorema.
  • Una implicación o una equivalencia matemática?
  • El planteamiento antecedente-consecuente, (hipótesis-tesis) qué implica?
  • El planteamiento Equivalencia, qué implica?
  • Estos planteamientos, qué consecuencias producen en el proceso de la demostración de un teorema.
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-Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad II. Métodos de demostración.
  • 2.2 Fundamentos en el proceso de demostración.
  • En el proceso a seguir al hacer cualquier demostración, se debe tener acceso a:
  • Un conjunto de axiomas.
  • Un conjunto de definiciones.
  • Un conjunto de reglas o criterios de deducción.
  • Un conjunto de teoremas demostrados, que se basan en los tres conjuntos anteriores.
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-Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad II. Métodos de demostración.
  • 2.3 Métodos de demostración.
  • La demostración en matemática. Rigor vs. Didáctica.
  • La demostración en matemática. Lo ideal: Elegancia + rigor + didáctica.
  • Métodos Deductivos.
  • Directo e indirecto. Ver ejemplo de cada uno.
  • Otros métodos de demostración.
  • Por refutación:
  • - Por contradicción.
  • - Por contraejemplo.
  • Por contrarecíproco.
  • Por demostración de existencia.
  • Inducción matemática.
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-Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad II. Métodos de demostración.
  • Analizar algunos casos;
  • 1) Método directo.
  • Ejemplos.
  • 1. “Demostrar que si x es impar, entonces x2 también lo es”.
  • Demostración.
  • Afirmación. Justificación.
  • (1) x es impar. . Por hipótesis.
  • (2) Existe algún u ЄZ tal que x = 2u + 1. . Por definición de imparidad.
  • (3) x2 = (2u + 1)2 . Por teoremas del Algebra.
  • = 4u2 + 4u + 1 . Cuadrado de un binomio.
  • = 2(2u2 + 2u) + 1. . Factorizando.
  • (4) Luego de donde, x2 es impar . Por definición de imparidad. ■
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-Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad II. Métodos de demostración.
  • 3. Asimilación de Teoremas y demostraciones.
  • 1) Método directo (continuación).
  • 2. “Demostrar que si u es real, entonces ( – 1) x u = – u”.
  • Demostración.
  • Afirmación. Justificación.
  • (1) 1+ (– 1) = 0. . Por def. de inverso aditivo.
  • (2) 1 x u + (–1) x u = 0 x u. . Por distribución.
  • (3) 0 x u = 0. . Por propiedad absorbente.
  • (4) 1 x u = u . Identidad multiplicativa.
  • (5) u + (–1) x u = 0. . Por (2), (3) y (4).
  • (6) u + (–u) = 0. . Por def. de inverso aditivo.
  • (7) u + (– 1) x u = u + (– u). . Por (5) t (6)
  • (8) (– 1) x u = – u. . Por uniformidad. ■
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-Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad II. Métodos de demostración.
  • 3. Asimilación de Teoremas y demostraciones.
  • 1) Método directo (continuación).
  • 3. Demuestre que si a y b son números pares, entonces a + b es número par. Demostración.
  • Suponga que a y b son números pares, (Hipótesis auxiliar) luego, a = 2n y b = 2m con n, m Є Z.
  • Entonces, a + b = 2n+ 2m =2(n + m); (n + m) ЄZ (enteros).
  • Por tanto, si n + m = k; a + b = 2k, es decir, a + b es un número par. ■
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-Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad II. Métodos de demostración.
  • 3. Asimilación de Teoremas y demostraciones.
  • 2) Método Indirecto.
  • Ejemplo. Tomemos un caso de Lógica Matemática.
  • “Demostrar p & q, a partir de las premisas dadas ”.
  • Demostración.
  • Afirmación. Justificación.
  • (1) ~ r. . Premisa.
  • (2) s → r. . Premisa.
  • (3) ~ s → (p& q). . Premisa.
  • (4) ~ s. . Por el MT.
  • (5). p& q . Por el MP. ■
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-Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad II. Métodos de demostración.
  • 3. Asimilación de Teoremas y demostraciones.
  • 3) Por reducción al absurdo.
  • “Demostrar que √2 no es racional”.
  • Demostración. Se parte del hecho de que cualquier número racional puede ser escrito en la forma x/y, donde y ≠ 0. Supongamos que √2 = p/q, donde p/q es
  • un racional simplificado a su mínima expresión.
  • Afirmación. Justificación.
  • (1) Puede escribirse que 2 = p2/q2 . Por uniformidad.
  • (2) También se tiene que p2 = 2q2. . Por uniformidad..
  • - (3) Es obvio que p2 es divisible por 2 y
  • por tanto, también p lo es. . Por teorema del Algebra.
  • (4) Se puede escribir p = 2r, con r ЄZ. Entonces,
  • 4r2 = 2q2 o 2r2 = q2 y como q2 es divisible por 2,
  • q también lo es. . Propiedades Aritméticas.
  • - Luego, tanto p como q tienen un factor común, lo que contradice la hipótesis. ■
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-Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad II. Métodos de demostración.
  • 3. Inducción matemática.
  • Trabajar con el video del profe Alex. Verlo en:
  • http://profe-alexz.blogspot.com.
  • Ver demostraciones adicionales.
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