Departamento de Matemática Educativa del CINVESTAV Universidad Autónoma de Coahuila

1. Ricardo Barroso Campos. Universidad de Sevilla

2. Departamento de Matemática Educativa del CINVESTAV Universidad Autónoma de Coahuila Facultad de Ciencias Físico Matemáticas Maestría en Matemática Educativa Ricardo Barroso Campos. Universidad de Sevilla

3. Utilización y aplicación de propiedades geométricas en entornos de problemas Ricardo Barroso Campos Departamento de Didáctica de las Matemáticas Universidad de Sevilla España Ricardo Barroso Campos. Universidad de Sevilla

4. Una propiedad geométrica se comprende cuando : - se utiliza, es decir, simplemente se implica en el razonamiento deductivo que se esté realizando, y - se aplica de manera correcta, teniendo en cuenta todos los requisitos necesarios para ello. Ricardo Barroso Campos. Universidad de Sevilla

5. Niveles de van Hiele • Para van Hiele (1985), en Matemáticas y más específicamente en Geometría, se pueden discernir cinco niveles pensamiento: • Primero: visual • Segundo: descriptivo • Tercero: teórico, con relaciones lógicas, y geométricas generadas de acuerdo con Euclides. • Cuarto: lógico-formal. • Quinto: establecido por la naturaleza de las leyes lógicas. Ricardo Barroso Campos. Universidad de Sevilla

6. Estudiaremos tres “casos”. Primero: A lados iguales se oponen ángulos iguales Segundo: Construcción de un triángulo equilátero equivalente a un cuadrado Tercero: Todos los triángulos son isósceles Ricardo Barroso Campos. Universidad de Sevilla

7. Sánchez (1983) Ricardo Barroso Campos. Universidad de Sevilla

8. No tiene en cuenta el “entorno” en el que la propiedad debe aplicarse Sea una circunferencia de centro O, y sean las cuerdas AB y CD de igual longitud. En una circunferencia, si tenemos dos cuerdas de la misma longitud, los correspondientes ángulos centrales abarcados son iguales. Ricardo Barroso Campos. Universidad de Sevilla

9. En un triángulo, a lados iguales, se oponen ángulos iguales. Entorno alejado de la propiedad: En todo triángulo ABC de altura BH, al trazar las cevianas AM y CN concurrentes con BH, se establece que la altura será bisectriz del ángulo MHN (Frère Gabriel-Marie,1912) Miranda (2003) Ricardo Barroso Campos. Universidad de Sevilla

10. Respecto a los niveles de van Hiele, se encontraría en lo que algunos investigadores han encontrado que sería nivel pre-visual (Senk, 1989) Consideramos que ello es debido a que si simplemente, el autor hubiera “visto” la siguiente situación geométrica: Habría “visualizado” que, aunque AB=BC=... IJ, claramente no son iguales los ángulos APB, ... IPJ. Veamos en Cabri II esta cuestión Ricardo Barroso Campos. Universidad de Sevilla

11. Construcción de un triángulo equilátero equivalente a un cuadrado Ricardo Barroso Campos. Universidad de Sevilla

12. Cuando se “observa” una construcción geométrica ya terminada, a veces es difícil saber cómo se ha ido construyendo paso a paso Dos arcos, desde A y desde B , que se intersecan en M Ricardo Barroso Campos. Universidad de Sevilla

13. Unir A con M, prolongándolo. Trazar la paralela a AB por H, punto medio de AD. AM corta a tal paralela en S. Ricardo Barroso Campos. Universidad de Sevilla

14. Bajar ST, perpendicular a AB por S. Trazar una paralela por T a AM, que cortará en V a la recta HS. Trazar la recta AV Ricardo Barroso Campos. Universidad de Sevilla

15. Ricardo Barroso Campos. Universidad de Sevilla

16. Por N trazar la perpendicular a AB, que cortará a la recta AM en E. Por último, con centro en A, trazamos la circunferencia de radio AE que cortará a AB en F. AEF es la solución. AV corta a la circunferencia de centro A y radio AD en N. Trazar NB Ricardo Barroso Campos. Universidad de Sevilla

17. La justificación de los autores es que los triángulos AVO Y ANB son semejantes. Ricardo Barroso Campos. Universidad de Sevilla

18. Cabri inmediatamente nos lleva a ver que no hay paralelismo Ricardo Barroso Campos. Universidad de Sevilla

19. Los autores, quizá basándose en apreciaciones visuales, han entendido que un “paralelismo” aproximado era suficiente. En este caso, pues, se utiliza una propiedad correcta, la proporcionalidad de los lados en triángulos semejantes, en un entorno “alejado” de la propiedad incorrecto, pues se aplica a triángulos que no lo son. En el texto de la comunicación está realizado el problema Ricardo Barroso Campos. Universidad de Sevilla

20. Según la teoría de van Hiele, entendemos que estos autores están muy cercanos al nivel visual, puesto que su error es relativamente muy pequeño. Respecto al nivel descriptivo, la relación de estructuras geométricas hecha para establecer la solución del problema propuesto es errónea, por lo que tampoco se alcanza el mismo. En relación al nivel teórico, hemos de decir, a tenor del análisis geométrico efectuado, que no se alcanza, puesto que las relaciones euclideas puestas en juego son erróneas. Cabri Palencia Ricardo Barroso Campos. Universidad de Sevilla

21. TODO TRIÁNGULO ES ISÓSCELES Unidad 17(1971): Lógica II. Prueba, (Curso Básico de Matemáticas). Open University, McGraw-Hill. Ricardo Barroso Campos. Universidad de Sevilla

22. En esta ocasión, consideramos que la afirmación está hecha para que haya un “choque cognitivo”, ya que se sabe que “es falso”. Todo lo que dice la Open es cierto, salvo una única cuestión. Ricardo Barroso Campos. Universidad de Sevilla

23. La bisectriz de un ángulo y la mediatriz del lado opuesto siempre se cortan en la circunferencia circunscrita. Ricardo Barroso Campos. Universidad de Sevilla

24. Si trazamos las perpendiculares DM a AC y DN a AB, BN=MC Ricardo Barroso Campos. Universidad de Sevilla

25. Desde la teoría de van Hiele, el papel del nivel 1 tiene una preponderancia vital en el desarrollo de toda la demostración efectuada. Dado que la visualización es incorrecta por tener un único elemento (el punto de corte analizado) falso, los restantes niveles descriptivo y teórico a pesar de su coherencia interna, son erróneos en el desarrollo completo. Archivos de Cabri: Open 0 y Open Ricardo Barroso Campos. Universidad de Sevilla

26. Conclusiones Una propiedad geométrica debe ser utilizada y aplicada teniendo en cuenta todos los requisitos geométricos que intervienen. La falta o la consideración errónea de alguno de tales requisitos puede ser motivo de conclusiones falsas, como se ha puesto de manifiesto en el documento. Aunque un razonamiento geométrico adquiera visos de verosimilitud y coherencia interna en un determinado entorno de una propiedad, si un solo elemento no es correcto, puede llevar a conclusiones falsas. Ricardo Barroso Campos. Universidad de Sevilla