DANE INFORMACYJNE

2. DANE INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mroczeniu • ID grupy: 98/48_mf_G2 • Opiekun: Urszula Barteczka • Kompetencja: matematyczno - przyrodnicza • Temat projektowy: • LICZBA π • Semestr/rok szkolny: • V/2011-2012

3. SPIS TREŚCI Wstęp. Cele projektu. Szczypta teorii …o liczbie π. Historia wyznaczania liczby π. Sposoby wyznaczania liczby π. Ciekawostki o ludolfinie. Liczba π – nie tylko w matematyce. Nasze badania. Nasze badania, działania i refleksje. Ciekawe zadania rachunkowe. Słów kilka o zadaniach rachunkowych. Dzień Liczby πw naszym gimnazjum. Podsumowanie. Bibliografia. Uczestnicy projektu.

4. WSTĘP W matematyce istnieje wiele liczb, które na przestrzeni wieków fascynowały ludzi. Liczba π, ze względu na swe niezwykłe własności, należy do tych wielkości, które przenikają do naszego życia nie tylko poprzez lekcje geometrii. Dociekliwi znajdą ją w nauce, samolotach, budownictwie, radio, telewizji, telefonach czy samochodach, humaniści natrafią na nią w literaturze, sztuce, muzyce, filmie a nawet kosmetologii.

5. CELE PROJEKTU Każdy „szanujący się gimnazjalista” potrafi podać kilka skojarzeń związanych z najsłynniejszą liczbą Świata - liczbą Pi ( , , , koło, kula, okrąg). Tylko nieliczni wiedzą, że odczytanie wartości tej liczby zajęłoby prawie 50 tysięcy lat… Szukając tematu ostatniej prezentacji postanowiliśmy poznać tajemniczą liczbę, którą interesowali się już blisko 2000 lat temu Babilończycy, a która do dzisiaj stanowi wyzwanie dla społeczeństwa. zatem - celem naszego projektu jest poznanie i opracowanie informacji o liczbie Pi, jej historii i roli jaką pełni nie tylko w matematyce. Postaramy się poznać sposoby wyznaczania przybliżeń ludolfiny, wyjaśnimy też powody, dla których ludziom zależy na znajomości jak największej liczby cyfr jej rozwinięcia.

6. Szczypta teorii… o liczbie π Zacznijmy od odpowiedzi na pytania: Jak zdefiniowana jest liczba π? Jak zmierzyć odcinek długości π? Jaki promień ma okrąg o długości π? Historia liczby π. Kiedy pojawiły się pierwsze wzmianki o liczbie π? Kto pierwszy użył obecnego oznaczenia liczby π?

7. Szczypta teorii… o liczbie π Wszyscy wiemy, że w przybliżeniu wynosi ona około 3.14. Wiemy też, że nigdy nie doliczymy się jej końca, bo jest to nia stała matematyczna, której ułamek jest nieskończony. Liczba πmoże być definiowana na wiele sposobów. Najpopularniejszym z nich jest stwierdzenie, że jest to obwód koła, którego średnica wynosi dokładnie 1 cm (wówczas jego obwód będzie wynosił dokładnie π cm). Inna definicja jest bardziej skomplikowana, przynajmniej dla laików. Mówi ona, że π jest to najmniejsza dodatnia liczba x, dla której sinus od x równa się zero. Niestety większości z nas, nic to właściwie nie mówi, więc pozostańmy przy definicji zawierającej centymetrowe koło. Zatem…

8. Szczypta teorii…o liczbie π definicja… Liczbę π określa stosunek długości okręgu do długości jego średnicy. Nie ma znaczenia jakiej wielkości jest okrąg, wartość π będzie zawsze taka sama. Innymi słowy π oznacza dokładnie ile razy średnica koła zmieściłaby się na jego obwodzie. Większość z nas nie wie, że koło jest figurą geometryczną, która ma nieskończoną ilość rogów (kątów)

9. Szczypta teorii… o liczbie π Jak zmierzyć odcinek długości π? Zawsze też można dobrać inną jednostkę i narysować okrąg o średnicy równej tej jednostce Należy narysować okrąg o średnicy 1 cm wówczas jego obwód będzie wynosił dokładnie π centymetrów. Dalej wystarczy wyciąć koło, wzdłuż prostej wykonać jeden obrót i zmierzyć długość otrzymanego odcinka

10. Szczypta teorii… o liczbie π Historia liczby π. Kiedy pojawiły się pierwsze wzmianki o liczbie π? Podobno praktyczni starożytni Rzymianie nie mieli żadnych problemów z obliczeniem obwodu koła. Brali sznurek, rozciągali go po obwodzie, mierzyli... i gotowe. Że co? Jakaś liczba π? A po co sobie tym zawracać głowę? Usposobieni bardziej teoretycznie starożytni Grecy nie dawali jednak za wygraną. Przez całe wieki zajmowali się matematyką i ustalenie wartości liczby π traktowali jako bardzo ważne zagadnienie. Historia matematyki pokazuje, że rację mieli Grecy, a nie Rzymianie. Współczesna matematyka bez liczby π po prostu nie istnieje.

11. Szczypta teorii… o liczbie π Starożytne dociekania? Pierwsze źródła świadczące o świadomym korzystaniu z własności liczby π pochodzą ze starożytnego Babilonu. Na jednej z kamiennych tablic, datowanej na lata 1900-1680 p.n.e. pojawia się opis wartości obwodu koła o średnicy 1, przybliżony przez wartość 3,125.

12. Szczypta teorii… o liczbie π Starożytne dociekania? Na nieco późniejszym papirusie Ahmesa, zwanym również papirusem Rhinda(ok. 1650 r. p.n.e.), zatytułowanym „Wprowadzenie do wiedzy o wszystkich istniejących rzeczach”, znajduje się następujący „przepis” na obliczenie π: „Odrzuć od średnicy jej część dziewiątą i zbuduj kwadrat o boku równym pozostałej części, będzie on równoważny z kołem”. Na tej podstawie można stwierdzić, że starożytni Egipcjanie przyjmowali wartość liczby π jako44/33 = 3,1604 .

13. Szczypta teorii… o liczbie π Starożytne dociekania? Na ciekawy fakt zwrócili uwagę badacze piramidy Cheopsa. Stwierdzili oni, że iloraz otrzymany z podziału sumy dwóch boków podstawy piramidy przez jej wysokość jest równy 3,1416, co jest zadziwiająco dokładnym przybliżeniem liczby π. Trudno jednak z całą pewnością stwierdzić, czy jest to tylko przypadek, czy też efekt świadomych obliczeń ówczesnych uczonych wykorzystujących znajomość wartości liczby π.

14. Szczypta teorii… o liczbie π Starożytne dociekania? Obok źródeł babilońskich i egipskich zawierających odniesienia do liczby π, różni autorzy wymieniają często opis zawarty w Biblii (Biblia Tysiąclecia, rozdział 4, werset 2). Szacunkowe przybliżenie liczby π można znaleźć w Drugiej Księdze Kronik: „Następnie sporządził odlew okrągłego „morza” o średnicy dziesięciu łokci, wysokości pięciu łokci i o obwodzie trzydziestu łokci” (2 Krn 4,2). Na tej podstawie można oszacować liczbę  π = 3. 

15. Szczypta teorii… o liczbie π Starożytne dociekania? Podejście starożytnych uczonych do matematyki, w szczególności do liczby π było ściśle użytkowe, nie stosowano właściwie żadnej abstrakcji, a reguły matematyczne opisywane były prostymi przykładami użytkowymi, niezbędnymi w architekturze czy księgowości. To podejście zmieniło się w starożytnej Grecji głównie za sprawą słynnego Archimedesa, żyjącego w III wieku przed Chrystusem. Jest całkiem prawdopodobne, że grecki matematyk był pierwszym, który dokładniej analizował właściwości liczby π. Obliczył on jej wartość na 22/7.

16. Szczypta teorii… o liczbie π Liczyli dalej? Rachunki greckiego uczonego były bardzo czasochłonne i wymagały sporo cierpliwości. Mimo to zastosowana przez niego metoda była wielokrotnie wykorzystywana przez późniejszych matematyków. Np.: W drugim wieku po Chrystusie Klaudiusz Ptolemeusz, grecki uczony z Tebaidy, oszacował π na 3,1416. Nieco później, w roku 263, chiński matematyk Liu Hui obliczył, że π mieści się w przedziale od 3,141024 do 3,142708. Średnia z tych liczb pozwoliła mu wyznaczyć wartość π na 3,1418. Należy również wspomnieć innego chińskiego matematyka, Zu Chongzhi, który około roku 500 podał dwa przybliżenia liczby π. W tym miejscu warto zaznaczyć, że w XII wieku żydowski filozof i lekarz Mojżesz Majmonides zasugerował, że π może być liczbą niewymierną.

17. Szczypta teorii… o liczbie π Kto pierwszy użył obecnego oznaczenia liczby π? Używany dzisiaj symbol liczby π nie pochodzi wcale z czasów starożytnych, chociaż jest literą grecką. Po raz pierwszy symbol ten wykorzystał William Jones w 1706 roku w swoim dziele „Synopsis Palmariorum Matheseos”. Znak był nawiązaniem do pierwszej litery słowa περίμετρον, które oznaczało obwód lub peryferie. Oznaczenie nie zyskało z początku uznania wśród matematyków. Przyjęło się głównie za sprawą Leonarda Eulera, który wykorzystał je w swoim dziele „Analiza”. Π pojawiało się też jednak wcześniej w pracach innych uczonych. Znaczący wpływ na upowszechnienie się symbolu π przypisuje się także dziełu H. Sherwina pt. „Mathematical Tables”, z 1742 roku.

18. Historia wyznaczania liczby π Wspomnieliśmy już wcześniej o starożytnych dociekaniach w wyznaczaniu wartości liczby πorazwymieniliśmy kilku matematyków, którzy w XII wieku odkrywali kolejne jej przybliżenia. Z biegiem lat różni uczeni podawali coraz dokładniejsze wyniki, a w międzyczasie matematykom udało się odkryć i udowodnić ciekawe właściwości liczby π. Jednym z nich był Ludolf van Ceulen (1540-1610), który większość swojego życia poświęcił próbom przybliżania wartości liczby π. Jego osiągnięciem było ustalenie liczby πz dokładnością do 35 miejsc po przecinku. Biorąc pod uwagę zasługi Ludolfa van Ceulena, liczbę π nazywa się również ludolfiną.

19. Historia wyznaczania liczby π Największą wiedzę dotyczącą wyznaczania i własności liczby π przynoszą czasy nowożytne. W 1767 roku szwajcarski matematyk Johann Lambert udowodnił, że liczba π jest niewymierna W 1853 roku William Rutherford obliczył wartość ludolfiny z dokładnością do 440 cyfr. W 1872 roku padł rekord Williama Shanksa, który w ciągu 15 lat obliczył π z dokładnością do 707 miejsc po przecinku. Niestety, niedługo potem okazało się, że ostatnich 180 cyfr było błędnych i ostatecznie wynik Shanksa zawierał ich 527. W 1882 roku, Ferdinand Lindemann rozstrzygnął jeden z podstawowych problemów związanych z liczbą π. Niemiecki matematyk wykazał, że jest ona liczbą przestępną. Oznaczało to, że π nie może być pierwiastkiem (rozwiązaniem) równania algebraicznego o współczynnikach całkowitych. (Liczba pi jest więc liczbą niewymierną, taką której rozwinięcie dziesiętne zachowuje się "byle jak”, nie ma w nim żadnego porządku i nigdy się nie kończy).

20. Historia wyznaczania liczby π Po 1946 roku, kiedy to Ferguson obliczył wartość π z dokładnością do 620 cyfr zapanowała doba komputerów… W 1949 roku John von Neumann, wykorzystując komputer ENIAC, obliczył π z dokładnością do 2037 miejsc po przecinku. Maszyna liczyła przez około 70 godzin. W 1974 roku Guillod i Boyer uzyskali rozwinięcie π z dokładnością do miliona cyfr. W 1995 roku podano rozwinięcie, które miało ich 6 442 450 000. Komputery liczyły przez 5 dni. W 2010 roku francuski informatyk Bellard obliczył π z dokładnością sięgającą 2,7 biliona cyfr.

21. Sposoby wyznaczania liczby π Pomiar obwodu koła i długości średnicy – doświadczenie z podręcznika Przygotuj kilka nakrętek od słoików. Korzystając z nitki wyznacz obwód każdej nakrętki. Zmierz długość średnicy każdej nakrętki. Wyznacz liczbę π, porównując obwód i średnicę okręgów.

22. Sposoby wyznaczania liczby π Igła Buffona (1777)– statystyczna symulacja pozwalająca oszacować liczbęπ • Otrzymana metoda estymacji liczby π należy do klasy metod Monte Carlo. Zadanie Buffona o igle Na planszę z poziomymi liniami odległymi od siebie o t, upuszczamy igłę o długości l (przy czym l≤t). Powtarzamy eksperyment n razy i zliczamy, ile razy igła przecięła linie – wartość R. Georges Louis Leclerc Eksperyment pozwala oszacować prawdopodobieństwo przecięcia linii i igły przez Po przekształceniu otrzymujemy:

23. Sposoby wyznaczania liczby C Aproksymacja Archimedesa Archimedes, będący prawdopodobnie pierwszym matematykiem badającym dokładniej własności liczby π w III w. p.n.e. Obliczył on jej wartość na 22/7 (w związku z czym 22 lipca obchodzony jest Dzień Aproksymacji π), ograniczając dokładność do dwóch miejsc po przecinku. W swojej pracy wykorzystał geometrię. Jego metoda polegała na wyznaczeniu długości boków dwóch figur – dziewięćdziesięciosześciokątów foremnych – z których jedna była wpisana w okrąg, a druga opisana na tymże okręgu. Na tej podstawie Archimedes obliczył średnią arytmetyczną wartość obwodów obydwu figur, uzyskując przybliżoną długość okręgu. Metoda aproksymacji liczby π zaproponowana przez Archimedesa

24. Sposoby wyznaczania liczby π Wyznaczanie i porównywanie masy dowolnego koła i kwadratu o boku równym długości promienia koła Przygotuj ze sklejki lub kartonu kilka par figur (kwadrat i koło o promieniu takim jak bok kwadratu) . Korzystając z wagi laboratoryjnej wyznacz masę każdej figury . Porównaj masy kół i kwadratów.

25. Sposoby wyznaczania liczby π Metoda Monte Carlo Metoda ta jest stosowana do modelowania matematycznego procesów złożonych. Istotną rolę w metodzie MC odgrywa losowanie (wybór przypadkowy) wielkości charakteryzujących proces, przy czym losowanie dokonywane jest zgodnie z rozkładem, który musi być znany. Metoda została opracowana i pierwszy raz zastosowana przez Stanisława Ulama. Wyobraźmy sobie, że rzucamy ziarenkami piasku w narysowany kwadrat z zakreślonym w środku kołem. Jeśli będziemy rzucali dostatecznie długo, w końcu ziarnka piasku pokryją cały kwadrat, a stosunek liczby ziarenek piasku w środku narysowanego koła w stosunku do wszystkich ziarenek piasku w całym kwadracie będzie równy mniej więcej stosunkowi pola koła do pola kwadratu. Metoda MC sprowadza się do tego, by losować punkty, sprawdzać, czy mieszczą się w kole, i następnie podstawiać liczby wylosowanych punktów do wzoru: Przy losowaniu odpowiednio dużej liczby punktów, można otrzymać z pewnym prawdopodobieństwem właściwe przybliżenie liczby π.

26. Ciekawostki o ludolfinie … • Liczba 31415926535897932384626433832795028841 zestawiona z początkowych 38 cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby Pi, jest pierwsza. • 1 rok świetlny równa się w przybliżeniu π·107·c (km), gdzie c oznacza prędkość światła (w kilometrach na sekundę). Liczba sekund w roku wynosi 365·24·60·60=31 536 000, co w przybliżeniu wynosi π·107·c. • Uczeni szukając kontaktu z cywilizacjami pozaziemskimi, wysłali w kosmos drogą radiową informację o wartości liczby Pi. Wierzą, że inteligentne istoty spoza Ziemi znają tę liczbę i rozpoznają nasz komunikat. • Liczba Pi jest na tyle wyjątkowa, że ma ... swoje święto! 14 marca obchodzimy Międzynarodowy Dzień Pi.Data jest nieprzypadkowa, ponieważ według amerykańskiego • zapisu daty 14 marca to 3.14, czyli zaokrąglenie liczby Pi do • dwóch miejsc po przecinku.Wielbiciele liczby Pi, zwłaszcza dotyczy to amerykańskich • naukowców, w dniu święta zajadają się specjalnymi • okrągłymi ciastami, które wewnątrz udekorowane jest literą Pi, • na obwodzie podane ma jej rozwinięcie dziesiętne.

27. liczba π - Nie tylko w matematyce Liczba π znalazła swoje miejsce również w naszej kulturze. W celu ułatwienia zapamiętania kolejnych cyfr na całym świecie tworzy się różne wiersze i rymowanki. Pi - ematy „Kuć i orać 3,14 w dzień zawzięcie 159 bo plonów niema bez trudu 26535Złocisty szczęścia okręcie 897 Kołyszesz... 9 Kuć. 3 My nie czekajmy cudu. 2384 Robota 6 to potęga ludu.” 264 Daj, o pani, o boska Mnemozyno, 3,14159 pi liczbę, którą też zowią ponętnie ludolfiną, 2653589 pamięci przekazać tak, by 7932 jej dowolnie oraz szybko do pomocy użyć, gdy 38462643 się problemu nie da inaczej rozwiązać. 383279 Pauza - to zastąpić liczbami. 50288 Witold Rybczyński „Inwokacja do Mnemozyny” Kazimierz Cwojdziński „Kuć i orać” 1930 r.

28. liczba π - Nie tylko w matematyce Oprócz mnemotechnicznych wierszyków liczba π stała się inspiracją dla Wisławy Szymborskiej, która napisała wiersz: „Liczba Pi”. Oto jej fragment: • Liczby, które mają w swoim rozwinięciu dziesiętnym wszystkie liczby naturalne nazywa się czasem liczbami Szymborskiej . „Podziwu godna liczba Pitrzy koma jeden cztery jeden.Wszystkie jej dalsze cyfry też są początkowepięć dziewięć dwa, ponieważ nigdy się nie kończy.Nie pozwala się objąć sześć pięć trzy pięć spojrzeniem,osiem dziewięć obliczeniem,siedem dziewięć wyobraźnią,a nawet trzy dwa trzy osiem żartem, czyli porównaniemcztery sześć do czegokolwiekdwa sześć cztery trzy na świecie.Najdłuższy ziemski wąż po kilkunastu metrach się urywa.Podobnie, choć trochę później, czynią węże bajeczne. …” Wisława Szymborska (1923–2012) – polska poetka, felietonistka, laureatka Nagrody Nobla w dziedzinie literatury w 1996 r.

29. liczba π - Nie tylko w matematyce Liczba Π zagościła też w języku potocznym, oznaczając przybliżenie wartości omawianej wielkości np.: Takie wyrażenia jak obok, to związki frazeologiczne. Mają one znaczenie przenośne i odczytywane są zawsze jako całość. Ich znaczenie jest stałe i przez ogół społeczeństwa rozumiane w ten sam sposób. Pi razy drzwi…. Pi razy oko…

30. liczba π - Nie tylko w matematyce Π inspiruje również pisarzy i twórców filmowych. Liczba π pojawiła się w głośnym filmie Darrena Aronofsky’ego zatytułowanym „Pi”. Duże znaczenie nadał jej również Carl Sagan w słynnej powieści „Kontakt”, na podstawie której został napisany scenariusz filmu „Contact”. Postać o imieniu była jednym z bohaterów polskiego programu edukacyjnego „Przybysze z Matplanety” emitowanego w latach 80. XX wieku.

31. liczba π - Nie tylko w matematyce Z liczbą π związane są także rekordy Guinnessa: Rajan Mahadevan zapamiętał 40 000 cyfr po przecinku wyznaczających wartość ludolfiny. Wymienia się także europejskiego rekordzistę (sawanta) Daniela Tammeta, który wyrecytował w ciągu 5 godzin i 9 minut 22 514 cyfr π. Sir Arthur Guinness

32. liczba π - Nie tylko w matematyce Pi - rebusy Rozw.: pierogi Jeśli chcesz sprawdzić, gdzie w rozwinięciu liczby π występuje np. Twoja data urodzenia, zajrzyj na stronę, gdzie opublikowano pierwszy milion cyfr tego rozwinięcia:   http://www.314159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459.com/ Jeśli chcesz posłuchać liczby π, wiedząc, że każdej liczbie odpowiada pewna wysokość (częstotliwość) dźwięku, to melodii wygrywanej przez kolejne cyfry rozwinięcia π możesz posłuchać na stronie:http://www.geocities.com/Vienna/9349/index.html .

33. liczba π - Nie tylko w matematyce Ozdoby, kosmetyki, sztuka…. Liczba PI nie jest zwykłą wartością matematyczną. Mówi się, że można nią opisać cały wszechświat i zawiera w sobie jakąś magię i tajemniczość. Podobnie jest z zapachem Givenchy PI...

34. Nasze badania Już w II klasie gimnazjum na lekcji matematyki wyznaczaliśmy doświadczalnie wartość liczby π mierząc długość obwodu i średnicy koła. Przystępując do projektu postanowiliśmy sprawdzić inne metody, w tym, metodę „igły Buffona”. Oto nasze wyniki…

35. Nasze badania Tabela 3: liczba Pi – doświadczenie „Igła Buffona” l – długość igły (wykałaczka, patyk do szaszłyków); n – ilość rzutów t – odległość linii od siebie; R – ile razy igła przecięła linie Wniosek: Aby w symulacji losowej otrzymać przybliżenie liczby π porównywalne z rzeczywistą wartością należy wykonać znacznie więcej rzutów! Ciekawostka: Mario Lazzarini otrzymał 3,1415929 po 3408 rzutach !!!

36. Nasze badania Tabela 2: liczba Pi =masa dowolnego koła/masa kwadratu o boku równym długości promienia koła Wniosek: Stosunek masy dowolnego koła i kwadratu o boku takim jak długość promienia koła, jest stały i wynosi π . Im precyzyjniejsze urządzenie pomiarowe, tym wynik porównywania mas bliższy przybliżeniu liczby π!

37. Nasze badania Tabela: liczba Pi =dł. okręgu/dł. średnicy Wniosek: Stosunek obwodu koła do jego średnicy jest stały i wynosi π. Szacowanie liczby π zależy od precyzji pomiarów. W przypadku małych przedmiotów warto używać nitki i suwmiarki.

38. Nasze badania, działania i refleksje Liczba pi jest bardzo ważna w matematyce, dzięki niej możemy szybko i łatwo obliczyć wiele zadań na zajęciach szkolnych , jak również przydaje nam się jej znajomość w życiu codziennym. Obliczenia związane z liczbą pi wcale nie są trudne chociaż na takie wyglądają. Wystarczy znać odpowiednie wzory i umieć podstawić liczbę za znak π. Uważamy, że liczba pi jest tak samo ważna w matematyce jak tabliczka mnożenia, jak na języku polskim znajomość pojęć typu: rzeczownik, czasownik, przymiotnik czy liczebnik. 98/48_MF_G2

39. Ciekawe zadania rachunkowe ZADANIE: Jeżeli przyjmiemy, że π=3, to pole powierzchni brodzika prysznicowego jest równe 0,48 m2. Czy taki typ kabiny prysznicowej zmieści się na powierzchni kwadratowej o wymiarach 70 cm×70 cm? Wykonaj odpowiednie obliczenia i uzasadnij odpowiedź. Przyjmij, że brodzik jest ćwiartką koła. ROZWIĄZANIE: ODP. Promień brodzika prysznicowego jest równy 0,8 m2. Kabina prysznicowa nie zmieści się na powierzchni kwadratowej o wymiarach 70 cm×70 cm.

40. Ciekawe zadania rachunkowe ZADANIE: Babcia Leokadia przywiązała na krowę Krasulę i kozę Kołujkę do jednego słupa. Krowę na łańcuchu dł. 20 m, a kozę na łańcuchu o dł. 10 m. Krasula była bardzo ustępliwym zwierzęciem i zajmowała tej części łąki, na której mogła skubać trawę koza. Ile razy pole powierzchni, na którym pasła się krowa, jest większe od pola obszaru, na którym mogła skubać trawę koza? Pole powierzchni koła o promieniu 20 m Pole powierzchni koła o promieniu 10 m ROZWIĄZANIE: Pole powierzchni łąki, na której pasła się Krasula: Pole powierzchni łąki, na której pasła się koza Kołujka: zatem: ODP. Pole powierzchni łąki, na której pasła się krowa jest 3 razy większe od pola obszaru, na którym skubała trawę koza.

41. Ciekawe zadania rachunkowe ZADANIE: Kapelusz wietnamski wykonany ze słomianej maty ma kształt stożka o wysokości 17 cm i średnicy 44 cm. Oblicz, czego zużyto więcej: kartonu na taki kapelusz jak na rysunku , czy słomianej maty na kapelusz wietnamski? l H 18 cm r ROZWIĄZANIE: 12 cm kapelusz z kartonu kapelusz wietnamski 52 cm ODP. Zużyto więcej kartonu.

42. Ciekawe zadania rachunkowe ZADANIE: Oblicz odległość między dwoma miastami: Seward na Alasce i Bergen w Norwegii znając współrzędne geograficzne obu miast: Seward, , Bergen, , Długość promienia Ziemi wynosi 6370 kilometrów. ROZWIĄZANIE: Promień r okręgu tworzonego przez równoleżnik Odległość między Seward i Bergen ODP. Odległość między Seward i Bergen wynosi około 8616 km.

43. Ciekawe zadania rachunkowe Promień Ziemi – półoś elipsy Promień Ziemi ZADANIE: Czy jeżeli okrążymy Ziemię wzdłuż równika sznurkiem o długości o 1 metr większym niż jej obwód, to będziemy w stanie „wcisnąć” między sznurek a Ziemię monetę pięciozłotową postawioną na sztorc? ROZWIĄZANIE: Długość równika: Długość średnicy monety: Długość sznurka: Średnica równikowa: Promień równikowy: Półoś elipsy sznurek Długość elipsy ODP. Tak, uda się !

44. Słów kilka o zadaniach rachunkowych Liczbę πużywamy zwykle do obliczenia np. pola koła czy długości okręgu czyli obwodu koła. Liczba ta jest liczbą niewymierną. Oznacza to że ma nieskończenie wiele liczb po przecinku. Zazwyczaj gdy podstawiamy ją do wzoru na pole koła lub długość okręgu, używamy liczby 3,14 lub ułamka zwykłego ²²/₇. Gdy rozwiązujemy zadanie o treści nierealistycznej nie musimy podstawiać za znak π danej liczby, natomiast w zadaniach realistycznych typu " Czy na dwie obręcze o promieniu 8 cm wystarczy drut o długości 80cm?” – tak! W takich zadaniach podstawienie liczby π pod jej znak jest wprost konieczne. Jednak gdy mamy zadanie o treści np." Oblicz długość okręgu o średnicy 20 cm”, lub „Oblicz pole koła o promieniu 8 m”- nie jest konieczne podstawianie liczby pod znak zastępujący liczbę π.

45. Dzień liczby πw naszym gimnazjum 14 marca 2012 roku w naszym gimnazjum po raz pierwszy obchodziliśmy Dzień Liczby Pi. Zaczęliśmy od reklamy przedsięwzięcia w radiu „Eszko” i plakatów informujących. Na zajęcia pozalekcyjne zaprosiliśmy Panią Dyrektor, nauczycieli matematyki i młodszych kolegów z kół zainteresowań.

46. Dzień liczby πw naszym gimnazjum Zaplanowaliśmy zajęcia . Postanowiliśmy podzielić nasze działania na trzy części: „Pi-razy drzwi” – cześć teoretyczna (wprowadzenie o liczbie Pi, ciekawostki, powiedzonka). Część doświadczalna – wyznaczanie liczby Pi (pomiary długości, masy i symulacja losowa – igła Buffona). Cześć zadaniowa – rozwiązywanie zadań z wykorzystaniem π. Część rozrywkowa – szarady, pi-rebusy, zabawy z liczbą Pi w sieci.

47. Dzień liczby πw naszym gimnazjum Doświadczenia: Wyznaczanie liczby π poprzez porównanie długości obwodu koła i średnicy koła

48. Dzień liczby πw naszym gimnazjum Doświadczenia: Wyznaczanie liczby π poprzez porównanie masy dowolnego koła i kwadratu o boku takim jak długość promienia koła (karton, tektura, sklejka)

49. Dzień liczby πw naszym gimnazjum Na planszę z poziomymi liniami odległymi od siebie o t, upuszczamy igłę o długości l (przy czym l≤t). Powtarzamy eksperyment n razy i zliczamy, ile razy igła przecięła linie – wartość R. Doświadczenia: Symulacja losowego wyznaczania liczby π – metoda Buffona

50. Dzień liczby πw naszym gimnazjum Po części zadaniowej przystąpiliśmy do rozrywki. Tutaj nastąpiły największe emocje. Oj, działo się… π -ematy π -rebusy π -ciekawostki π - programy