Matriks

1. Matriks

2. SILABI • Pengertian Matriks dan Vektor • Kesamaan Matriks dan Kesamaan Vektor • Pengoperasian Matriks dan Vektor • Bentuk- bentuk khas matriks

3. Matriks • Matriks : kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam baris dan kolom yang membentuk suatu persegi panjang, serta termuat diantara sepasang tanda kurung.

4. æ ö a a a ç ÷ 11 12 1 n a a a ç ÷ 21 22 2 n = A ç ÷ ç ÷ ç ÷ a a a è ø 1 2 m m mn é ù a a a 11 12 1 n ê ú a a a ê ú 21 22 2 n = A ê ú ê ú a a a ë û 1 2 m m mn Atau

5. Ordo : Ukuran matriks Banyaknya baris dan kolom a11 a12 a13……a1n baris A m x n= a21 a22 a23……a2n am1 am2 am3……amn kolom Elemen : a11 a12 a13 …….. a1n am … ………………amn

6. é ù a a a 11 12 1 n ê ú a a a ê ú 21 22 2 n = A ê ú ê ú a a a ë û 1 2 m m mn Baris Kolom Unsur Matriks Matriks berukuran m x n atau berordo m x n Jika ( m = n ) dinamakan Matriks bujursangkar (square Matrix)

7. Vektor • Vektor : bentuk Matriks khusus yang hanya mempunyai satu baris atau satu kolom.  vektor baris (berbaris tunggal) dan vektor kolom (berkolom tunggal) • Contoh :

8. - - é ù é ù é ù 2 3 5 2 3 5 2 3 5 = = = A B C ê ú ê ú ê ú 8 2 4 8 2 4 8 2 4 ë û ë û ë û = ¹ ¹ maka A B, A C, B C Kesamaan Matriks dan vektor • Dua Matriks dikatakan sama apabila keduanya berordo sama dan semua unsur yang terkandung di dalamnya sama (aij = bij, untuk setiap i dan j) contoh : • Dua buah vektor dikatakan sama apabila keduanya sejenis, sedimensi dan semua unsur yang terkandung di dalamnya sama. Contoh : Maka a = b, u ≠ v, a ≠ u ≠ v dan b ≠ u ≠ v

9. Matriks dapat dikatakan sebagai kumpulan vektor  Amxn adalah Matriks A yang merupakan kumpulan dari m buah vektor baris dan n buah vektor kolom.

10. Bentuk-bentuk Khas Matriks • Matriks Satuan/Identitas : Matriks bujursangkar yang semua unsur pada diagonal utamanya adalah angka 1 sedangkan unsur lainnya nol. • Contoh

11. Matriks baris / Vektor baris • A = (2 0 3 1) • B = ( 2 1 3) • Matriks kolom / Vektor kolom • P = 2 Q = 0 • 3 0 • 1 • 2

12. Matriks bujur sangkar • Baris = kolom (2 x 2 ; 3 x 3 ; ………dan seterusnya) • a11 a12 a13 a1n • a21 a22 a23 a2n • Anxn = a31 a32 a33 a3n • an1 an2 an3 ann

13. é ù 3 0 0 é ù é ù 3 0 2 0 ê ú 0 3 0 ê ú ê ú ê ú 0 5 0 1 ë û ë û ê ú 0 0 4 ë û Matriks Diagonal • Matriks diagonal adalah Matriks bujursangkar yang semua unsurnya nol kecuali pada diagonal utama. • Contoh : Matriks Diagonal

14. Matriks Skalar Matriks diagonal dengan elemen diagonal utama semua sama Contoh : Matriks Skalar é ù 3 0 0 é ù é ù 5 0 2 0 ê ú 0 3 0 ê ú ê ú ê ú 0 5 0 2 ë û ë û ê ú 0 0 3 ë û 14

15. Matriks Identitas Matriks skalar dengan elemen–elemen diagonal utama = 1 Contoh : é ù 1 0 0 é ù é ù 1 0 1 0 ê ú 0 1 0 ê ú ê ú ê ú 0 1 0 1 ë û ë û ê ú 0 0 1 ë û Matriks Identitas 15

16. Matriks Nol • Matriks nol : Matriks yang semua unsurnya NOL.  0 • Contoh :

17. Matriks Ubahan (transpose) • Matriks ubahan ialah Matriks yang merupakan hasil pengubahan Matriks lain yang sudah ada sebelumnya, dimana unsur-unsur barisnya menjadi unsur-unsur kolom dan sebaliknya. • Amxn=[aij] Matriks ubahannya A′nxm=[aji] (A′) ′ = A

18. Matriks Simetrik • Matriks simetrix adalah Matriks bujursangkar yang sama dengan ubahannya. • A = A′ AA′ = AA = A2

19. Matriks simetrik miring (skew symmetric) • Matrik ini merupakan Matriks bujursangkar yang sama dengan negatif ubahannya. • A = -A′ atau A′ = -A

20. Matriks Balikan (inverse Matriks) Matriks balikan : Matriks yang apabila dikalikan dengan suatu Matriks bujursangkar menghasilkan sebuah matrik identitas. A  balikannya adalah A-1 AA-1 = I A-1 = adj.A  |A|

21. Bentuk khas yang lain • Matriks ortogonal : Matriks yang apabila dikalikan dengan Matriks ubahannya menghasilkan Matriks identitas (AA′=I) • Matriks singular : Matriks bujursangkar yang determinannya sama dengan nol. Matrik semacam ini tidak memiliki inverse • Matriks non-singular : Matriks bujusangkar yang determinannya tidak nol, memiliki balikan (inverse)

22. Pengoperasian Matriks dan Vektor Penjumlahan dan Pengurangan Dua buah Matriks hanya dapat dijumlahkan dan dikurangkan apabila keduanya berordo sama. A + B = C dimana cij = aij+ bij atau A mxn + Bmxn = Cmxn Berlaku kaidah Komutatif : A + B = B + A A + 0 = A A + (-A) = 0 Kaidah Asosiatif : A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C 22

23. Contoh Penjumlahan Matriks A = 1 3 B = 0 -1 6 2 2 4 A + B = B + A A + B = 1 3 0 –1 1 2 6 2 + 2 4 8 6 A + ( B + C) = (A + B) + C B + C = 0 –1 + -1 2 = -1 1 2 4 5 0 7 4 A + ( B + C) = 1 3 + -1 1 0 4 6 2 7 4 13 6 (A + B) + C = 1 8 + -1 –2 = 0 4 8 6 5 0 13 6

24. A + O = O + A = A A = 1 3 + 0 0 = 1 3 6 2 0 0 6 2 A + D = O 1 3 + D = 0 0 6 2 0 0 1 3 + -1 -3 = 0 0 6 2 -6 -2 0 0 D = -1 -3 = - 1 3 -6 -2 6 2

25. Perkalian Matriks dengan Skalar λA = B dimana bij = λaij Contoh : Kaidah Komutatif : λA = A λ Kaidah Distributif : λ(A+B) = λA +λB 25

26. Perkalian Antar Matriks Dua buah Matriks hanya dapat dikalikan apabila jumlah kolom dari Matriks yang dikalikan sama dengan jumlah baris dari matix pengalinya. Amxn x Bnxp = Cmxp Kaidah Asosiatif : A(BC) = (AB) C = ABC Kaidah Distributif : A(B+C) = AB + AC (A + B) C = AC + BC 26

27. Perkalian Matriks dengan Vektor Sebuah Matriks yang bukan berbentuk vektor hanya dapat dikalikan dengan sebuah vektor kolom, dengan catatan jumlah kolom Matriks sama dengan dimensi vektor kolom yang bersangkutan, hasilnya adalah berupa sebuah vektor kolom baru. Amxn x Bnx1 = Cmx1 n > 1 27

28. Latihan • Hitungkan : a. b.