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ROBOTICS 9장 : 매니퓰레이터의 선형 제어 Http://raic.kunsan.ac.kr

-. 목 차 • Introduction • 피드백과 폐루프 제어 • 이차 선형 시스템 • 이차 시스템의 제어 • 제어법칙 분할 • 궤도에 따르는 제어 • 교란배제 • 연속 대 이산시간제어 • 관절한개의 모델링및 제어

1. 서 론 • 매니퓰레이터에 원하는 운동을 실제로 수행하게 하기위해 어떻게 • 작동 • 제어 방법은 선형제어 시스템의 범주 • - 선형미분방정식으로 모델 될 수 있을 때만 선형제어 기술이 유효 • 매니퓰레이터의 제어인 경우 선형방법은 근본적으로 근사화 방법 • 근사화 방법이 때때로 합리적이고, 현장에서 가장 많이 사용 • 매니퓰레이터 제어를 위한 근사방법으로 선형제어에 접근할지라도 • 꼭 선형컨트롤을 사용하지는 않음

2. 피드백과 폐루프 제어 • 관절에 관절각을 측정하기 위해 센서 부착 • 센서의 종류 • - 각 관절에 위치를 파악하는 위치센서 • - 속도 센서 ( Tachometer ) • * 각 관절에 한 개의 액츄에이터가 있다고 가정하고 모델링 • 매니퓰레이터는 관절이 지시된 위치궤도를 따라가는 것을 • 원하나, 액츄에이터는 토크 항으로부터 명령을 받아 원하는 운동을 • 실현, 이러한 토크는 관절 센서로부터의 피드백을 받아 계산하는 • 제어 시스템을 사용

[그림 9-1] 로보트 제어시스템의 높은 수준의 블록 선도 • 매니퓰레이터의 센서는 컨트롤러가 관절위치 백터 , • 관절속도 를 읽도록 허용 • 모든 신호선은 Nⅹ1 백터를 의미 • (N은 매니퓰레이터의 관절수)

Control system 블록의 알고리즘 - 동력학 방정식을 사용 특별한 궤도에 요구되는 토크 계산 - 궤도 생성 장치에 의해 주어졌으므로 식 6-59의 동력학 운동식에 의해 운동식 • 고성능 제어시스템을 만드는 방법 관절센서로부터의 피드백 • (Feedback)을 사용 • - 원하는 위치차와 실제 위치차를 구하고, 또한 원하는 속도와 • 실제 속도와의 차를 구하여 서보오차를 계산 - 피드백을 사용하는 제어시스템을 폐루프 시스템이라고 함

제어시스템의 목적 - 결과적인 폐루프 시스템이 특정한 성능을 만족 - 가장 기본적인 기준은 시스템이 안정 • 제어 엔지니어 작업 - 첫번째 작업은 그의 설계가 안정된 시스템을 만들 것 인가를 증명 - 시스템의 폐루프 성능을 만족할 만한가를 증명 * 이러한 증명은 특별한 가정과 모델에 근거한 수학적인 증명으로 부터 시뮬레이션이나 실험에 의해 얻어지는 경험적인 것 • [그림 9-1]에서 모든 신호선은 Nⅹ1 백터를 나타내고, 매니퓰레이더 제어문제는 다중입력(multi-inpit), 다중출력(multi-output) (MIMO) 제어문제이지만, 여기서는 N개의 독립적인 단일입력, 단일출력 제어시스템을 설계

3. 이차 선형 시스템 • 마찰력이 속도에 비례한다고 가정하에서, 블록에 작용하는 힘의 • 자유물체도는 운동 방정식을 가짐 • 일 자유도 시스템의 개루프 동력학은 선형 이차미분 방정 • 식으로 표현

[그림 9-2]의 시스템은 여러 개의 서로 다른 특별한 운동 • 서로 다른 가능성은 (9.3)식의 해의 특성이 인자들의 값에 • 의존하기 때문 • - m, b와 k의 값에 식 (9.3)의 방정식의 해는 특성 방정식의 근에 의존 • 실수-허수 평면에서 과 의 위치는 시스템의 운동의 특성 • ( 시스템의 극점(pole)이라고 함) • 값에 위치에 따라 세 가지의 응답(response)을 갖음

1. 실수이며 서로다른 근(Real and unequal root) - 일때 - 마찰이 크고, 느린 동작이 발생 이러한 응답을 과감쇠 (overdamped) 2. 복소수 근(Complex root) - 일때 - 강성이 크고, 진동현상이 발생 부족감쇠(underdapped) 3. 실수이며 동일한 근 (Real and equal root) - 인 특별한 경우 - 강성과 마찰이 균형(balanced)을 이루고 진동이 없는 가장 빠른 응답을 나타냄 - 이러한 응답을 임계감쇠(critically damped) • 세번째 경우 (임계감쇠)는 요동현상이 없이 가장 빠르게 원래의 위치로 돌아오므로 일반적으로 원하는 경우

과 는 식 (9.5)에 의하여 주어진다. 계수 과 는 주어진 임의의 • 초기조건에 의하여 결정될 수 있는 상수( 블록의 초기위치와 속도) • 실수이며 서로 다른 근(Real and unequal root) • 실수이며 서로 다른 근을 갖는 블록에 운동을 주는 경우, • 해, x(t)는 다음과 같다.

그림 9-3은 극점의 위치가 0이 아닌 초기위치에 대한 시간응답특성 • 2차 시스템의 극점이 실수이며, 같지 않을 경우 시스템은 느리고, • 과감쇠의 운동 • 한 개의 극점이 다른 극점보다 큰 값을 가지고 있는 경우 • - 큰 값의 극점 무시, 이것은 큰 값의 극점에 대응하는 항이 다른 • 극점, 즉 더 지배적인 극점(dominant pole)에 비해 빠르게 • 0의로 쇠퇴 • 지배의 개념은 더 고차의 시스템으로 확장할 수 있으면 예를 들면 • 3차 시스템은 2개의 지배적인 극점을 고려하여 2차 시스템으로 연구 {예제9.1} m=1, b=5, k=6이고 블록 이 x=-1의 위치로 자유롭게 되었을때 그림 9-2의 시스템운동을 결정하라. 의 근은

미지수를 결정하기 위해 초기조건 • 이고 t=0 일때의 조건을 만족하기 위해서는 • 이고, • 과 그러므로 일때의 시스템 운동은 - 시스템 응답은 • 복소수 근 (Complex root) • 특정 방정식의 근이 다음과 같을 때 • 윗 식은 허수를 포함하고 있으므로 사용하기 어렵기 때문에 오일러 공식 • (Euler’s formula)을 사용하여 다음과 같은 모양이 된다.

- 오일러 공식 - 계수 과 는 임의의 주어진 초기조건에 결정되는 상수 로 표시 하면 식 9-14는 여기서 - 결과적인 운동은 진폭이 지수적으로 감소하여 0에 도달하는 진동 - 진동하는 이차시스템을 기술하는 방법은 감쇠비와 고유진동수를 사용

극점의 허수부분 를 때때로 감쇠고유진동수라고 함 • 그림 9-2와 같은 감쇠를 갖는 스프링-질량 시스템의 경우, • 감쇠비와 고유진동수는 -특정방정식을 인자화 하는 것에 의하여 다음과 같이 정의 는 감쇠비(0과 1사이의 무차원 수) 이고, 은 고유진동수 - 인자들 사이의 관계 • 감쇠가 없는 경우에는 감쇠비의 값이 0이 되며, 임계감쇠인 경우 • 감쇠비는 1 • 그림 9-4는 극점의 위치와 이것을 대응하는 시간에 대한 응답성이 • 이 나타나며, 2차 시스템의 극점이 복소수이면, 시스템은 진동하거나, • 부족감쇠운동

실수이며 동일한 근(Real and equal root) - 실수이며 동일한 근인 경우 식 9-3에 대입하여 해를 구하면 이고 식 9-26은

명백하지 않는 경우에는 로피탈의 법칙(l’Hopital’s rule)[2]을 임의의 • 와 에 대하여 적용하면, • 그림 9-5는 극점의 위치와 이에 대응하는 시간에 대한 응답을 나타냄 • 이차 시스템이 실수이면서 같으면, 시스템은 임계감쇠운동을 나타내며 • 진동이 없는 가능한 빠른 응답을 나타냄

그림 9-2와 같은 임의의 물리적 시스템은 안정된 시스템의 경우가 될것 • 이며, 이러한 기계적인 시스템은 항상 다음과 같은 특징을 갖음 4. 이차시스템의 제어

[그림 9.7] 폐루프 제어 시스템. 제어 컴퓨터는 센서의 입력을 읽고 액츄에이터는 출력 명령을 쓴다. • 그림 9-6은 블록에 힘 f를 가할 수 있는 액츄에이터와, 감쇠를 받는 • 스프링- 질량시스템에 합쳐져 있음 • 자유물체도 운동방정식 • 액츄에이터에 의하여 가해져야만 할 힘을 감지된 피드백의 함수로 • 계산하는 제어 법칙을 다음과 같이 제안

식 (9-34)의 폐루프 동력학과 식(9-35)의 제어 법칙을 같게 놓음으로써, • 우리는 폐루프 동력학을 다음과 같이 유도 혹은 혹은 여기서 • 식 9-37과 식 9-38은 제어이득 를 선택하는 것에 의하여, • 우리가 원하는 어떠한 이차 시스템의 행동도 폐루프 시스템이 갖도록 • 할 수 있다. • 는 원래 시스템 인자 에 의해서 양이거나, 음이 됨 • 만약 가 음이 되면, 결과는 불안정한 제어시스템 • 가 음이 되면 서보오차가 줄어들기보다는 커지는 경향

5. 제어법칙의 분할 • 컨트롤러를 모델-기준부분과 서보 부분으로 분할 • 시스템 인자들(parameter)(즉, 이 경우는 m,b,k)은 모델-기준부분에만 • 나타남 • 서보부분은 이러한 인자에 독립적 • 시스템의 패루프 운동 방정식 • 모델-기준방식(model-based portion) - 제어 상태에 있는 어느 특정한 시스템의 인자를 이용 - 제어법칙의 모델에 기준한 부분은 추정한 m,b,k의 값을 이용 - 제어방식은 시스템의 질량이 단위 값을 갖는 것처럼 보이도록 만듬 • 서보부분(servo portion) - 시스템의 행동을 수정하기 위하여 피드백을 사용 - 제어 법칙은 모델-기준부분은 시스템을 단위질량으로 만들기 때문에 서보부분의 설계는 매우 간단 - 이득이 한 개 의 단위질량으로 이루어진 시스템을 제어

여기서 와 는 함수이거나 , 상수이고 가 시스템에 새로운 • 입력으로 취해지면, 시스템이 단위 질량을 가진 것처럼 나타남 • 모델-기준의 제어법칙 • 시스템의 제어 방정식 • 시스템이 의 입력으로 단위 질량을 보이도록 하려면, 이 시스템의 • 와 의 값은 다음과 같이 취함 - 윗 식을 9-42식에 대입하면 단위질량에 대한 운동 방정식을 얻음 - 식 9-44식을 제어될 시스템의 개루프 동력학으로 취급

이 방법을 이용하면 제어이득을 결정하는 것이 간단 • 시스템의 인자와도 무관 - 이 임계감쇠를 주기 위하여 성립 [그림9-8] 제어방법을 사용한 폐루프 제어시스템

6. 궤도를 따르는 제어 • 궤도는 시간의 함수인 로 주어지며 물체의 원하는 위치를 명세 • 궤도가 매끄럽다고 가정(1차 미분, 2차 미분 존재) • 궤도 생성장치는 모든 시간 t 에서 를 제공한다고 가정 • 원하는 궤도와 실제 궤도사이의 서보오차를 로 정의 • 궤도를 따르는 서보 제어법칙 - 윗 식과 9-44식과 합하여지면 • 계수를 선택 할 수 있는 2차 방정식이므로, 원하는 응답도 설계가능 • 이와 같은 방정식은 오차 공간에서 표시되었다고 말하는데, 이것은 • 방정식이 오차를 원하는 궤도에 대하여 기술하기 때문

[그림 9-9] 그림 9-6의 시스템을 위한 궤도를 따르는 컨트롤러 • 만약 모델이 완전하고 잡음과 초기치 오차가 없으면 물체는 원하는 궤도를 • 정확히 따를 것이다. 만약 초기 오차가 있으면 식 (9-52)에 따라서 억제될 • 것이고, 시스템은 궤도를 정확히 따라 갈 것이다.

7. 교란배제 • 제어 시스템의 목적중의 한가지는 교란배제를 하는 것이다. • 어떤 외부의 잡음 혹은 교란이 있더라도 좋은 성능을 유지 • 그림 9-10은 궤도를 따르는 컨트롤에 교란 힘 가 입력 [그림 9-10]교란이 작용하는 궤도를 따르는 제어 시스템

패루프 제어 시스템의 해석에서 오차 방정식 가 유계(bounded) 라는 것을 알면, 즉 상수가 존재하여 이면 미분 방정식의 해, e(t)도 유계 • 이것은 안정된 선형 시스템의 성질인 유계입력 유계출력 • (bounded-input bounded-output) 혹은 BIBO 안정성에 기인 • 이러한 매우 기본적인 결과는 여러종류의 가능한 교란에 대하여, • 시스템이 안정된 상태에 머문다는 것을 보증 • 정상상태 오차(steady-state error) • 가 상수인 경우 고려, 이런 경우는 정지한 시스템을 해석하여, • 정상상태 해석을 수행 • - 식 9-53에서 미분값을 0으로 놓으면, 정상상태 방정식 여기서 e는 정상상태 오차 - 위치이득(position gain)이 높을수록 정상상태 오차는 작게 된다.

적분항의 추가(Addition of an integral term) - 정상상태 오차를 제거 하기 위하여 제어법칙에 적분항을 추가 제어 법칙 오차 방정식 • 추가된 항은 일정한 교란이 존재할 경우 시스템이 정상상태의 오차 • 갖지 않도록 함 • - t<0 일때, e(t) <0 이면, 식 9-58은 t>0 일때 정상 상태에서 (교란이 일정할 경우에) e=0 이 된다. - 식 9-57은 제어법칙의 형식을 PID 제어법칙, 혹은 “비례,적분, 미분” 제어 법칙이라고 함

8. 연속 대 이산시간 제어 • 충분히 빠른 서보율을 선택하는데 고려하여야 할 사항 • 기준입력의 추적 : • - 원하는 혹은 기준입력의 진동수가 샘플율의 절대 하한선을 설정 • - 샘플율은 적어도 기준 입력 밴드폭의 두 배 • 교란배제 : • - 성능은 상한선은 연속시간 시스템 의해 주어짐 • - 샘플주기가 잡음의 상관관계 시간보다 약 10정도 작게 되어야 함 • 반앨리아싱(Antialiasing) : • - 디지털 제어방법에서 아날로그 센서가 이용될 때마다 센서의 출력이 • 엄격히 제한된 밴드내에 있지 않으면 앨리아싱이라는 문제 발생 • - 센서에는 제한된 밴드의 출력을 나타내지 않으므로 샘플율은 앨리아스된 • 신호에서 나오는 에너지 양이 적게 되도록 선택 • 반앨리아싱구조의 공진(Structural resonances): • - 매니퓰레이터의 동력학을 특성화하는 과정에서 휨모우드를 배제 • - 샘플율은 적어도 고유진동수의 두배는 되도록 선택

9. 관절한개의 모델링 및 제어 • 모터 아마튜어(armature-권선) 인덕턴스 • 그림 9-11은 권선의 전기 회로 • 이 회로는 1차 미분 방정식에 의해 표현 • 속도 보다는 모터에 의해 생성되는 토크에 의한 제어 • 아마튜어에 흐르는 전류를 감지하고, 원하는 가 아마튜어에 흐르도록 • 전압원의 전압 를 연속 조절 • 이러한 회로를 전류증폭(current amplifier) 모터구동기 • 전류를 변화 시키기 위하여 명령을 받을 수 있는 율은 모터의 인덕터와 • 전압원의 전압 용량의 상한선에 의해 제한 이것의 순수효과는 요구되는 • 전류와 출력되는 토크 사이의 저주파 통과 필터

가장 간단한 가정은 모터의 인덕턴스를 무시 • 폐루프 제어 시스템의 고유진동수가 인덕턴스에 의한 전류 구동회로의 • 저주파수 통과 필터의 차단(cut-off)주파수에 비하여 현저히 낮을 때 • 합리적 • 이것은 토크를 직접 명령할 수 있음을 의미 • 액츄에이터를 우리가 직접 명령 할 수 있는 순수한 토크 원이라 가정 • 유효관성(Effective inertia) [그림 9-12] 관성부하에 기어 감속을 통하여 연결된 DC 토크 모터의 기계적 모델

회전자에 가해지는 토크 는 아마튜어 회로에 흐르는 전류, 의 • 함수로써 식 9-63에 의해 주어짐 • 기어비는 하중측에서 보았을때 토크의 증가와 감소를 다음 식과 같이 • 표현 • 이 시스템에 대하여 회전자에서의 토크의 항으로 토크 평형을 나타냄 • 식9-66의 관계식을 사용하여 식9-67을 모터변수로 표현 • 하중 변수로 표현

항은 기어의 출력측에서 본(seen) 유효관성 이라고 함 • 은 유효 감쇠라고 함 • 기어비가 높은 관절의 경우 , 모터회전자의 간성이 종합한 유효관성의 • 중요 부분 • 유효 관성의 일정하다는 가정 • 모델이 되지 않는 유연성 (Unmodeled flexibiliy) • 기어, 축, 베어링 종동 링크가 유연하지 않다고 가정 • 실제로는 유연한 강성을 가짐 • 만약 유연성이 모델되면 시스템의 차수를 증가 • 만약 시스템이 충분한 강성을 가지고 있고 모델 되지 않는 공진의 • 고유 진동수가 매우 높아서 지배하는 2차의 극점의 영향에 비교 • 하여 무시할 수 있어야 유연성의 영향을 무시

공진 주파수의 개산 (Estimating resonant frequency) • 간단한 스프링-질량 시스템에 의하여 시스템의 근사화 • 식 9-20에 주어진 고유 진동수 • 여기서 k는 유연한 멤버의 강성도이고, m은 진동에서 변위되는 • 등가 질량 • 관절 한 개의 제어 1. 모터의 인덕턴스 는 무시할 수 있다 2. 많은 기어를 고려하는 경우 유효관성을 인 상수로 모델 3. 가장 낮은 구조의 고유진동수 가 서보이득을 결정하는데 사용되는 경우를 제외하고는 구조의 유연성 무시

10. 산업용 로보트 컨트롤러의 구성 ( Architectture of an industrial robot controller) [그림 9-14] PUMA560 로보트 제어 시스템 단계 컴퓨터 구성

[그림 9-15] PUMA560 관절 제어 시스템의 기능적인 블럭

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