4 장 Inverse Manipulator Kinematics

1. 4장 Inverse Manipulator Kinematics Http://raic.kunsan.ac.kr

2. Contents 1. Introduction 2. Solvability 3. The notion of manipulator subspace when n<6 4. Algebraic vs, geometric 5. Algebraic solution by reduction to polynomial 6. Pieper’s solution when three axes intersect 7. Examples of inverse manipulator kinematics 8. Standard frames 9. SOLVE-ing a manipulator 10. Repeatability and accuracy 11. Computational considerations

3. 1. Introduction •본 장에서는 역기구학(inverse kinematics)을 다룬다. •작업장을 기준으로 하여 공구의 위치와 방위가 주어진 경우 이 목표한 결과를 이루기 위한 관절각 조합을 어떻게 계산하는가? •공구계{T}를 정지계 {S}에 기준 하여 관절각을 구하는 문제 ①기저계 {B}에 기준 하는 손목계 {W}를 찾는 문제로 계 변환을 수행 ②그 후에 역기구 계산을 하여 관절각을 구함

4. 2. Solvability • Existence of solutions –작업공간? ① 작업공간은 manipulator의 말단효과장치가 도달할 수 있는 공간 ② 해가 존재하기 위해서는 명확한 목적 점이 작업공간 내에 존재 ③ 작업공간의 두 가지 정의를 고려 a) 자유자재(dexterous) 작업영역: robot의 말단효과장치가 어떠한 방위에서도 도달할 수 있는 공간  자유자재 한 작업영역의 어떤 점에서도 말단효과장치는 임의의 방위로 놓여질 수 있음 b) 도달가능(reachable) 작업영역: robot가 최소한 한 개의 방위로 도달할 수 있는 공간  자유자재 작업영역이 도달 가능한 작업영역의 부분 집합

5. Workspace 2-link manipulator에 대한 작업영역의 고려 If l1=l2: 도달가능 작업영역은 반경은 2l1 자유자재 작업영역은 단 한 개의 점(원점) 자유자재 작업영역은 존재하지 않음 If l1 l2: 도달가능 작업영역은 외경 l1+l2이고, 내경 |l1+l2|인 반지형상 공간 L2 L1 . . . . . . [그림 1] 길이 l1과 l2의 링크를 갖고 있는 2-링크 manipulator 예) by [그림 1] 팔의 1은360도 회전이 가능하지만 0 2 180 경우 : 도달 가능 작업영역은 같은 범위이지만 각 점에 도달하는 방위는 각 점에 대하여 단 한 가지씩 뿐이다. Manipulator가 6자유도 미만일 때에는 3차원 공간에서 일반적 목표의 위치와 방위를 가질 수 없다. 따라서 [그림 1]의 평면 manipulator는 평면 밖으로 도달할 수 없고, Z축의 값이 영이 아닌 어떠한 목표점도 도달 불가능하다. 작업 공간은 또한 공구계 변환에 의해서도 영향을 받음 => 손목계의 위치와 방위가 작업공간 내에 있으면 최소한 한 가지의 해가 존재.

6. 말단효과장치가 똑같은 위치와 방위를 가질 수 있는 제2의 방법 평면팔과 말단효과장치가 어느 일정한 위치와 방위에 놓여있는 경우 • Multiple solutions [그림 2] 3-Link manipulator. (점선은 제2의 해를 표시) • •기구학 방정식: 다수 “해” 존재! • •세 개의 회전 관절을 갖는 평면팔 • 링크 길이와 관절각 범위가 충분한 경우 평면상에 커다란 • 크기의 자유자재 공간을 갖는다. • 이유: 작업공간 내부에 있는 어떤 점도 임의의 방위에서 • 도달 가능하기 때문 • • Manipulator의 다수 해 존재 • 그 중에 한가지 해를 선택해야 하는 문제점 유발 • 선정기준은 바뀔 수 있음 • 매우 타당한 선택은 “최근접 해”

7. A Obstacle B Case 1 Case 2 • Multiple solutions – Example [그림 3] B점에 도착할 수 있는 두 개의 방법 중 하나는 충돌을 하게 된다. By [그림 3] A점에서 B점으로 이동 시키는 경우 : 각 관절의 이동량을 최소화  최선의 선택  case 1: 방해물이 없는 경우  case 2: 방해물이 존재하는 경우 따라서, ‘근접’해가 충돌을 초래한다면 ‘원거리’해를 택하도록 만들 수도 있으며, 일반적으로는 모든 가능한 해를 다 계산하여야 할 필요가 있다. ※ 해의 숫자는 manipulator의 관절수에 의하여 결정되나, 링크인자와 관절의 허용 운동범위의 함수이기도 하다. (회전관절 manipulator에서 i, ai, di)

8. •선형식과는 달리 비선형 방정식군을 풀 수 있는 일반적인 알고리즘은 없다. • •주어진 위치 및 방위와 관련된 관절변수의 모든 집합을 결정하는 알고리즘에 의해 관절변수가 • 결정될 수 있다면 manipulator는 ‘가능해(solvable)’라고 한다. • : 다수해의 경우에 모든 해를 계산할 수 있어야 함을 의미 • • Manipulator 해법에 관해 제시된 전략! • 수치해: 반복계산의 특성, 폐형식의 해에 비교해 일반적으로 매우 느림 • 폐형식의 해(closed form solution): 해석적 표현에 의하여 해가 구해지는 것 또는 4차 이하의 • 방정식으로, 반복계산에 의존하지 않고도 충분히 해를 구할 수 있는 방법 •  대수적 방법, 기하학적 방법: 서로 비슷하지만 접근방법만이 다르다. • ※ 현재 거의 모든 산업용 manipulator들이 폐형식 해가 존재할 수 있도록 충분히 간단하게 설계되고 • 있으며, 6회전 관절의 manipulator가 폐형식 해를 갖기 위한 충분조건은 세 개의 이웃하는 관절축이 • 한 점에서 교차하여야 한다. • Method of solution

9. : 손목 관절의 위치 : 말단 링크의 방위 3. The notion of manipulator subspace when n<6 •도달 가능한 목표계(goal frame)의 집합은 그 manipulator의 도달가능 작업 공간을 구성 • n<6일 때의 n 자유도 manipulator에 대하여 도달 가능 작업공간은 n자유도 부분공간의 한 부분 Ex) [그림 1]의 2-link robot의 부분공간은 평면이 되지만, 작업공간은 이 평면의 부분집합 (l1=l2 인 경우에 반경 l1 + l2의 원) [예제 1] 3-link manipulator의 부분공간 작업공간의 부분집합이 되도록 link 길이와 관절한도가 제한

10. [예제 3] 2 자유도 극형 manipulator에 대한 의 부분공간? Subspace [그림 4] 2-link 극형 manipulator n<6인 manipulator의 해법 1. 일반적 목표계 가 주어지면, 수정된 목표계 을 manipulator 부분공간 안에 있으며 에 가능한 한 ‘근접’한 것으로 선택하여 계산을 한다. 2. 을 목표로 하고 역기구학을 계산하여 관절각을 찾는다. 목표점이 manipulator 작업공간 안에 있지 않으면 해를 구하는 것이 가능하지 않을 수도 있다.

11. i i-1 i-1 di i 1 0 0 0 1 2 0 L1 0 2 3 0 L2 0 3 4. Algebraic vs, geometric 1. Algebraic solution (3-link 평면 manipulator 고려) 식(1) [그림 5] 3-link 평면 manipulator와 링크 인자

12. C2에 관하여 풀면, 2를 구한 후, 1에 관하여 풀 수 있다. 식(2)에서 식(2) 식(7) 식(8) 식(3) 식(9) 식(10) 식(4) 식(5) 식(6) 식(11)

13. -2 y   L1 1 L2 x 2. Geometric solution (3-link 평면 manipulator 고려) 식(12) 식(13) [그림 6] 3-link 평면 robot와 관련된 평면기하 식(14) 코싸인 법칙을 적용하여 2를 구할 수 있다. 식(15) 식(16) 식(17)

14. 식(18) 를 구하기 위하여 코사인 법칙을 다시 적용 식(19) 식(20) (+ : 2<0, - : 2>0) 평면상의 각도는 가감이 가능하므로, 3관절 각들의 합은 마지막 링크의 방위가 된다. 식(21) 여기에서 3를 구하면 모든 해를 구한 것이 된다. 식(22)

15. 5. Algebraic solution by reduction to polynomial • 한 개의 변수만이 존재할 때도 sin 와 cos  등이 나타남  초월함수의 해를 구하기 어려움 : u의 다항식으로 변환하여 해를 구할 수 있다.

16. 6. Pieper’s solution when three axes intersect Pieper : 1. 3개의 연차적인 축이 한 점에서 교차하는 6자유도 manipulator를 다루었다. 2. 미끄럼 관절을 포함한 다른 형상에 대하여도 적용. 3. 상업적으로 나와 있는 대부분의 산업용 robot에 대하여 적용됨. 마지막 3개의 축이 교차하게 되면, 링크계 {4}, {5}, {6}의 원점은 모두 교차점에 놓이게 되며 이 점의 기저좌표계에서의 값은 식(23) i=4일 때 식(24)

17. 의 제곱값에 대한 표현(1소거) 식(25)의 에 식(3.6)을 적용 식(28) 식(25) 식(29) 식(26) Z 요소에 관한 방정식 형태로 표현 같은 방법으로 식(30) 식(27) 식(31)

18. 3에 대한 고려! 1, 2 ,,3 를 푼 후 4, 5 , 6에 대하여 풀 수 있다. 식(29)는 1에의 의존성이 제거되었고, 2에의 의존성은 단순한 형태를 취하고 있으므로 유용하다. 식(32) Z-Y-Z 오일러각의 해를 정확하게 따라감으로써 마지막 3각들을 구할 수 있다.

19. 예제 1] UNIMATION사의 PUMA 560에서 가 수치값으로 주어졌을 때 i푸는 문제 (대수적 해법의 예) 의 역을 취하여 다시 표현하면, 7. Examples of inverse manipulator kinematics 식(33) 식(34) 식(35)

20. 식(36) 식(43) 삼각함수 치환 By, 식(43), 식(36) 식(37) 식(44) 식(37)을 식(36)에 대입 식(38) 식(45) 삼각함수의 차각 공식에 의하여 +, - 부호에 따라서 3은 두 개의 가능한 해를 갖는다. 식(39) 식(40) 식(41) 식(46) 식(42) +, - 부호에 따라서 1은 두 개의 가능한 해를 갖는다.

21. 계산된 네 개 해의 각각에 대하여, 뒤집힌 해는 다음과 같다. 식(53) 식(47) 여덟 개의 해가 모두 계산된 후에, 관절각의 한계를 만족하는가에 따라 그 중의 일부 또는 전부를 버려야 한다. 나머지 유효한 해 중에서 manipulator의 현재 형상에서 가까운 것을 통상 취하게 된다. 식(48) 식(49) 식(50) 앞에서와 같은 방법으로, 식(51) 식(52)

22. {W} {B} {T} {G} {S} [그림 7] 표준계의 위치 8. Standard frames 계가 일반적 robot system에서 사용되는 방법 1. 정지계 {S}는 기저계 {B}에 기준하여 정의된다. 2. 공구계 {T}는 손목계 {W}에 기준하여 명시한다. 즉, 3. a. 통상 {T}와 {S} 계의 정의는 robot의 몇가지 운동에 대하여는 변하지 않고 일정하게 남아있다. b. 이 경우에 두 계가 정의되면 사용자는 단순히 목표계 {G}의 제원의 일체를 주면 된다. 4. 공구계가 초기 위치로 부터 {T}={G}이 될 때까지 유연한 운동으로 움직여서 운동을 종료하도록 관절들을 움직이게 한다.

23. ; known 1…… n까지를 계산 9. SOLVE-ing a manipulator

24. 10. Repeatability and accuracy 가르친 점: Manipulator가 실제적으로 움직여가는 점으로 이때 관절의 위치 센서가 위치를 읽고 관절각을 기억. Manipulator의 반복성: Robot회사에서 manipulator가 교시된 점으로 얼마나 정밀하게 돌아올 수 있다고 명시 하는때 그것은 manipulator의 반복성을 뜻하는 것이다. 계산된 점: Manipulator가 이제까지 가보지 못한 작업공간 안의 어떤 점으로 갈 수 있는 시스템. Manipulator의 정밀성: 계산된 점에 도달할 수 있는 정확도. ※ 보정기술(calibration)을 개방하여, 특정한 manipulator의 기구인자를 예측함으로써 그들의 정밀도를 향상

25. 11. Computational considerations • 역기구학의 경우 Atan2를 계산하기 위하여 도표를 만들어 읽는(table look-up) 서브루틴이 계산 속도를 높이기 위하여 흔히 사용된다. • 다수해를 계산하는 방법도 중요한 문제가 되며, 일반적으로 그들을 하나씩 직렬로 계산하는 것보다는 모든 다수해를 평행으로 한꺼번에 계산해내는 것이 효과적이다. • 역기구 해를 구하는데 기하적 접근을 취할 때에는 첫 번째 해를 구할 때 계산된 여러가지 각도를 단순 조작함으로 다수해를 구할 수 있다.