ROBOTICS 5 장 : 자 코 비 안 (JACOBIANS)

1. ROBOTICS 5장 : 자 코 비 안(JACOBIANS) Http://raic.kunsan.ac.kr

2. INTORDUCTION In this chapter, “kinematics for velocity” is concerned, with these concepts, we will analyze the motion of a manipulator.

3. contents 1. 자코비안(Jacobian)이란? 2. 시간적으로 변화하는 위치와 방위의 표시방법 3. 강성체의 선속도와 회전속도 4. 로보트 링크의 운동 5. 링크에서 링크로의 속도 전파(propagation) 6. 자코비안(jacobians) 7. 특이성(singularities) 8. 매니퓰레이터 내부에서의 정력(static forces) 9. 힘 영역안에서의 자코비안 10. 속도와 정력의 직각좌표변환

4. 1 . 자코비안(Jacobian)이란? 운동중인 매니퓰레이터(manipulator)를 해석하는데 있어 자코비안(jacobian)이라고 불리우는 행렬의 값을 정의하면 편리하다.자코비안은 관절공간에서의 속도를 직각좌표공간의 속도로 매핑(mapping)하는 것을 규정한다.

5. 2.시간적으로 변화하는 위치와 방위의 표시방법 1). Differentiation of position vectors <수식 1> 수식 1은Q의 {B}계에 기준한 미분치 미분을 할때 기준된 계와 결과로 나타난 속도를 표시하는 계이다. <수식 2> <수식 3> 수식 3는 두개의 첨자가 같을 경우는 하나의 첨자는 생략할 수 있음을 보여주고 있다. 수식1을 {A}계의 용어로 표시할 수 있고 기준계의 변화를 이루게 하는 회전행렬을 명확하게 포함하게 함으로써 바깥쪽 좌상단 첨자를 언제든지 제거할 수 있다.

6. <수식 4> 2).The angular velocity vector 선속도: 한점의 속성을 표시한다. 각속도: 한 물체의 속성을 표시한다. :계{B}의 {A}에 기준 한 각속도를 계{C}의 용어로 표현 :계{C}의 어떤 알려진 기준계 {U}에 대한 각속도 <그림 1> 계 {B}는 계 {A}에 기준하여 각속도 로 회전하고 있다. 수식 4는 어떤 이해할 수 있는 기준계에 기준한 좌표의 원점의 속도를 간단히 표현한 것이다. 여기서는 기준계 {U}에 대한 계{C}의 원점의 이동속도를 말한다.

7. 3.Linear and rotational velocity of rigid bodies Attach a coodinate system to any body study the motion of frames relative to one another. 1).Linear velocity 강성체에 부착된 계 {B}는 계{A}에 기준하여 위치 벡터 와 회전행렬 로 기술 <수식 5> 단 방위 는 시간적으로 변화하지 않는다는 가정 < 그림 2 > 계{B}가 계{A}에 기준하여 의 속도로 전위하고 있다.

8. 2).Rotational velocity <그림 3> 그림 3은 계{B}에 고정된 벡터 가 계{A}에 대하여 각속도 로 회전하고 있다. 계{B}에서 보았을 때 벡터 Q가 상수임을 고려하면 <그림 4> 각속도에 기인한 한 점의 속도 는 와 의 수직선 (벡터의 곱) <수식 6>

9. 계{A} 에서 본 계{B}에 부착된 벡터의 속도에 관한 일반식으로 유도하면 수식 8과 같다. 일반적인 경우 라 하면 <수식 8> <수식 7> 4.로보트 링크의 운동(Motion of the links if a robot) 로보트의 링크운동을 고려할 때에는 어제나 링크계 {0}를 기준계로 삼는다. 링크계{i}의 원점의 선속도 링크계{i}의 가속도

10. 5.링크에서 링크로의 속도 “전이” (Velocity “propagation” form link to link) Calculate the linear and angular velocities of the links of a robot 매니퓰레이터는 물체의 연쇄로서 각각의 물체는 이웃하는 다른 물체에 대하여 상대적인 운동을 할 수 있는 능력이 있다. 이러한 구조 때문에 기저로부터 시작하여 순서적으로 각 링크의 속도를 계산할 수 있다. 링크 I +1의 속도는 링크 I의 속도에 관절 I+1에 의하여 추가된 회전속도를 더한 것이 된다. < 이웃하는 링크의 속도벡터>

11. 수식 9의 양변에 로 곱하면 링크 I+1의 계{I+1}에 대한 각속도로 표현됨을 수식 11에서 나타낸다. < 수식 11 > 계 I에 대하여 정리하면 < 수식 9> 계 {i}안에 있는 관절점에서의 운동때문에 발생한 추가의 회전요소를 표시하기 위하여 계{I}와 계{I+1}을 연결하는 회전행렬을 이용 회전행렬이 관절 i+1의 회전축을 계{i}안에서 기술할 수 있게 변환시키므로 각속도의 두 요소가 더해질 수 있다. <수식 10>

12. < 수식 12 > 양변을 로 먼저 곱하면 < 수식 13 > 계{I+1}의 원점의 선속도는 계{I}의 원점의 속도에 기구 I의 회전속도 때문에 생긴 새로운 요소를 더한 것이 된다. 위 수식을 링크에 차례대로 적용하면 마지막 링크의 회전 및 선속도를 계산할 수 있다. 6. 자코비안(Jacobians) 자코비안은 미분의 다차원 형태이다. 예를 들어 여섯 개의 함수가 있고 이들 각기가 여섯 개의 독립변수의 함수라고 가정하면 수식 14와 같이 표현할 수 있다.

13. < 수식14> < 수식 15> 수식 9는 벡터 표시를 활용하여 수식 15과 같이 표현이 된다. < 수식 16> 수식 16은 수식 10에 대한 미분의 형태로 표현된 것이고 편미분들의 행렬을 자코비안 라 한다.

14. 식들이 비선형일 경우 편미분들은 의 함수이고 수식 17과 같이 표시한다. <수식 17> 양변을 시간의 미소량으로 나누면 자코비안은 X상에서의 속도를 Y상의 것으로 매핑하는 것으로 생각할 수 있다. <수식 18> 로보틱스 분야에서는 일반적으로 관절속도를 팔 끝의 직각좌표계 속도로 표현시키는 자코비안을 말한다. 예를 들어 경우, : 매니퓰레이터 관절각의 벡터 : 직각좌표속도 <수식 19> 좌측 상단의 첨자는 계가 어느 계 안에서 표시되었는가를 표현

15. matrix의 형태로 표현이 되고 n: 직각좌표공간에서의 자유도수 m: 매니퓰레이터의 joint 수 <수식 20> 7. 특이성(Singularities) 행렬이 비특이적이면 그 행렬의 역을 구하여 직각 좌표계속도에서 관절의 변화율을 구할 수 있다. <수식 21> 로보트의 손을 직각 좌표공간 안에서 주어진 속도 벡터를 갖고 운동하려면 위 수식을 이용하여 그 경로에 따라서 각 순간마다 필요한 관절의 변화율을 계산할 수 있다.

16. 특이성의 분류 대부분의 매니퓰레이터는 자코비안이 특이적이 되는 값들을 갖고 있다. 그런 위치를 기구의 특이성 또는 특이성이라 부른다. 1.작업공간 경계에서의 특이성: 매니퓰레이터가 완전히 펼쳐지거나 그 자체로 접혀지므로, 말단효과장치가 작업공간의 경계상 또는 그 가까이에 있게 되었을 때 일어나는 것. 2.작업공간 내부의 특이성: 작업공간경계멀리 떨어져서 일어나는 것으로써, 일반적으로 둘 또는 그 이상의 관절축이 일렬로 서게 될 때 발생한다.

17. 8.매니퓰레이터 내부에서의 정력(Static forces in manipulators) 힘과 모멘트가 한 링크에서 이웃한 링크로 어떻게 “전파”되는가에 대해 고려를 해야 한다. 매니퓰레이터의 정력을 고려할 때는 1.매니퓰레이터의 모든 관절을 고정시켜서 총체적으로 한 개의 구조물이 되게 한다. 2.구조물의 각 링크를 고려하여 링크계를 써서 힘-모멘트 밸런스관계를 기술한다. 3.매니퓰레이터가 정적 평형에 있기 위하여 관절축 주위에 작용하여야 할 정토크를 계산한다.

18. :링크 에 의하여 링크 상에 가해지는 힘 :링크 에 의하여 링크 상에 가해지는 토크 <단일 링크에 대한 정적 힘-모멘트의 밸런스> <수식 22> 위 그림에서 힘의 합을 구하고 그것을 영으로 하면 계 의 원점 주위로의 토크를 더하면 <수식 23>

19. <수식 24> <수식 25> <수식 26> <수식 27> <수식 28> <수식 29> <미끄럼형 관절시 적용> 링크계 안에서 정의된 힘과 모멘트만으로 표시하기 위하여 계{i}에 기준하여 {I+1}을 기술하는 회전행렬을 갖고 변환한다. 이렇게 하여 정력의 링크간 “전파”에 대한 가장 중요한 결과에 도달한다. 링크에 작용하는 반력과 모멘트를 상쇄하기 위하여 관절에서 필요한 토크(정적 평형을 유지하는데 필요한 관절 토크)

20. 가상 일의 원리 따라서 <수식 30> 말단효과장치에 작용하는 직각좌표상의 6 1 힘-모멘트벡터 말단효과장치의 6 1 직각좌표변위 관절에서의 6 1 토크벡터 관절변위의 6 1 미분치 벡터 <수식 31> 9.힘 영역 안에서의 자코비안(Jacobians in the force domain) 힘이 기구에 작용할 때 기구가 변위를 갖고 움직였다면 일이 행해진 것이다. 수식 30 은 수식 31와 같이 표현할 수 있다.

21. <수식 32> 양변을 전치하면 <수식 33> <수식 34> 모든 에 대하여 성립되어야 한다. 따라서 자코비안의 정의는 이다. 따라서 수식 32과 같이 쓸 수 있다. 전치 자코비안은 손에 작용하는 직각 좌표상의 힘을 동등한 관절 토크로 매핑하여 준다.

22. 10.속도와 정력의 직각좌표변환 (Cartesian transformation of velocities and static forces) 3 1 속도 벡터 3 1 각속도 벡터 3 1 힘 벡터 3 1 모멘트 벡터 두 계가 강성체로 연결되어 있을 경우 수식 11와 수식13을 적용하고 라 하면 <수식 37> 이 된다. 여기서 벡터 외적을 행렬 연산자로 이해한다. <수식 35> <수식 36>

23. <수식 39> <수식 40> <수식 41> <수식 38> 수식 37은 수식 39와 같이 간략히 표기할 수 있다. 수식 37에서 역을 취하여 {B}에서의 값이 주어졌을 경우 {A}에서의 속도표시를 계산할 수 있음을 수식 40에서 보여주고 있다. 수식 40은 수식 41과 같이 간단히 표현할 수 있다.

24. 는 힘-모멘트 변환을 나타내기 위해서 사용되었다. 위와 같이 힘과 모멘트에 관한 벡터도 수식 42,43과 수식 44로 표현할 수 있다. <수식 42> <수식 43> <수식 44>