FORMULE TRIGONOMETRICHE

1. FORMULE TRIGONOMETRICHE

2. FORMULE TRIGONOMETRICHE Le funzioni goniometriche seno, coseno, tangente e cotangente sono usate normalmente ogni volta che è necessario descrivere come varia una grandezza fisica scalare in funzione della direzione e, più in generale, ogni volta che in un problema è coinvolto un angolo Ma hanno un «difetto», non sono proporzionali agli angoli; per esempio, il seno di 90° non è il triplo del seno di 30° altro esempio, la tangente di 90° non è il doppio della tangente di 45° . . . La tangente di 45° è 1 mentre quella di 90° è !!!!!

3. FORMULE TRIGONOMETRICHE E’ fondamentale quindi avere a disposizione delle regole (formule) che possano permettere di calcolare il valore delle funzioni goniometriche partendo da particolari combinazioni di angoli Ad esempio: quanto vale il coseno di un angolo pari a a – b cos(a – b) se si conoscono cosa e cosb?

4. FORMULE TRIGONOMETRICHE La risposta è cos(a – b) = sena senb + cosa cosb Come si ottiene questa relazione?

5. FORMULE TRIGONOMETRICHE FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE

6. Coseno della differenza tra due angoli cos(a – b) y P’ a A 0 x

7. P’ (cosa; sena) y P’ a A 0 x

8. P’ (cosa; sena) y P P’ a b A 0 x

9. P’ (cosa; sena) y P P (cosb; senb) P’ P a b A 0 x

10. P’ (cosa; sena) y P P (cosb; senb) P’ P a - b a b A 0 x Quest’angolo in verde è a- b

11. P’ (cosa; sena) y P P (cosb; senb) P’ P a - b A 0 x

12. P’ (cosa; sena) y P P (cosb; senb) P’ P a - b A 0 x Scriviamo l’espressione della distanza P’P

13. A B = (xb – xa)2 + (yb –ya)2 RIPASSO DISTANZA TRA DUE PUNTI IN UN SISTEMA DI ASSI CARTESIANI A (xa; ya) B(xb; yb) y B A 0 x

14. P’ (cosa; sena) y P P (cosb; senb) P’ P a - b A 0 x Scriviamo l’espressione della distanza P’P

18. P’ (cosa; sena) y P P (cosb; senb) P’ P a - b A 0 x Costruiamo lo stesso angolo (a – b) partendo dal punto A

19. P’ (cosa; sena) y P P (cosb; senb) P’ P a - b A x 0 x Costruiamo lo stesso angolo a – b partendo dal punto A

20. y K P P’ P a - b A x 0 x

21. y K P P’ P a - b A x 0 A (1; 0) K [cos(a – b); sen(a – b)] La distanza AK è data da

23. y K P P’ P a - b A x 0 PP’ = AK

25. Coseno della somma tra due angoli cos(a + b)

26. cos(a + b) = cos[a – (- b)] Applicando la relazione trovata in precedenza cos[a – (- b)] = senasen(- b) + cosacos(- b) e, poiché sen(- b) = - senb e cos(- b) = cosb y b x - b

27. cos(a + b) = cos[a – (- b)] Applicando la relazione trovata in precedenza cos[a – (- b)] = senasen(- b) + cosacos(- b) e, poiché sen(- b) = - senb e cos(- b) = cosb y b x - b

28. cos(a + b) = cos[a – (- b)] Applicando la relazione trovata in precedenza cos[a – (- b)] = senasen(- b) + cosacos(- b) e, poiché sen(- b) = - senb e cos(- b) = cosb y b x - b • cos(a + b) = • sena[- senb] + cosacosb = - senasenb + cosacosb • quindi

29. Seno della somma tra due angoli sen(a + b)

33. Seno della differenza tra due angoli sen(a - b)

36. FORMULE DI DUPLICAZIONE sen2a = ? cos2a = ? tg2a = ? cotg2a = ?

37. FORMULE DI DUPLICAZIONE sen2a =sen(a + a) = cosasena + senacosa sen2a = 2senacosa

38. FORMULE DI DUPLICAZIONE cos2a =cos(a + a) = cosacosa - senasena cos2a = cos2a - sen2a

39. FORMULE DI DUPLICAZIONE Esercizio Utilizzando sen2a = 2senacosa cos2a = cos2a - sen2a Ricavare le formule di duplicazione per: tg2a e cotg2a

40. FORMULE DI SOTTRAZIONE ESEMPIO DI APPLICAZIONE sen(a-b) = senacosb - senbcosa cos(a-b) = senasenb + cosbcosa

41. FORMULE DI SOTTRAZIONE ESEMPIO DI APPLICAZIONE sen(a-b) = senacosb - senbcosa cos(a-b) = senasenb + cosbcosa

42. FORMULE DI ADDIZIONE ESEMPIO DI APPLICAZIONE sen(a+b) = senacosb + senbcosa cos(a+b) = senasenb - cosbcosa

43. FORMULE DI SOTTRAZIONE ESEMPIO DI APPLICAZIONE sen(a+b) = senacosb + senbcosa cos(a+b) = cosbcosa - senasenb