Der satz des pythagoras
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Der Satz des Pythagoras. Der griechische Philosoph Pythagoras wurde um 570 v. Chr. auf der Insel Samos geboren und verstarb nach 510 v. Chr. in Süditalien, wohin er als Vierzigjähriger auswanderte. Ansonsten weiß man relativ wenig über sein Leben. Bereits in der Antike wusste man, dass ein

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Der Satz des Pythagoras

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Der satz des pythagoras

Der Satz des Pythagoras

Der griechische Philosoph Pythagoras wurde um 570 v. Chr. auf der Insel Samos geboren und verstarb nach 510 v. Chr. in Süditalien, wohin er als Vierzigjähriger auswanderte.

Ansonsten weiß man relativ wenig über sein Leben.


Der satz des pythagoras

Bereits in der Antike wusste man, dass ein

Dreieck mit den Seitenlängen 3, 4 und 5

rechtwinklig ist.

16

9

4

3

3

4

5

Schauen wir uns das etwas genauer an!

25

5

Aber 9 + 16 ergibt 25.

Das bedeutet aber:

Die beiden gelben Quadrate sind

zusammen genauso groß wie das rote.

Das kann doch kein Zufall sein!


Der satz des pythagoras

a

b

b

a

c

b

a

c

a

b

b

a


Der satz des pythagoras

a + b

Der Flächeninhalt des Quadrates

mit dem roten Rand lässt sich berechnen:

a

b

A = (a + b)²

b

a

c

Hier kann man die 1. Binomische Formel

anwenden:

a + b

A = a² + 2ab + b²

a

b

c

b

a


Der satz des pythagoras

Der Flächeninhalt eines der grünen

Dreiecke beträgt:

a

b

A = ½ a • b

b

a

Die vier grünen Dreiecke haben

also insgesamt eine Größe von:

c

A = 4 • ½ a • b

Das lässt sich kürzen:

a

b

c

A = 2ab

b

a

Der Flächeninhalt des Quadrates mit dem

roten Rand lässt sich also auch so berechnen:

A = 2ab + c²


Der satz des pythagoras

c

c

Der Flächeninhalt des Quadrates mit dem roten Rand lässt sich demnach auf zwei verschiedenen Wegen berechnen:

A = a² + 2ab + b²

A = 2ab + c²

a² + 2ab + b² = 2ab + c²

Daraus folgt:

Wir subtrahieren auf beiden Seiten 2ab und erhalten:

a² + b² = c²


Der satz des pythagoras

Fassen wir zusammen:

a

b

b

a

c

c

In jedem rechtwinkligen Dreieck sind die beiden gelben Quadrate zusammen genau so groß wie das rote Quadrat.

Genauer formuliert: In jedem rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Quadrate über den Katheten zusammen genau so groß wie das Quadrat über der Hypotenuse.


Der satz des pythagoras

b

a

c

Dies besagt der Satz des Pythagoras:

In jedem rechtwinkligen Dreieck (mit den Katheten a und b sowie der Hypotenuse c) gilt:

a² + b² = c²


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