(Kétoldalas) Laplace transzformáció

1. (Kétoldalas) Laplace transzformáció • A folytonos Fourier transzformációval sok problémát meg lehet oldani • LTI rendszerek frekvencia válaszát • Mintavételezés • Moduláció, stb. • A Laplace transzformáció bizonyos szempontból a Fourier transzformáció kiterjesztése • A Fourier transzformáció nem tudja kezelni az instabil rendszereket, amelyekre a

2. Laplace transzformáció • Nagyon sok esetben instabil rendszerekkel kell foglakozni: • Stabilizálni egy instabil repülőgépet • Oszcillátoroknál az instabilitás egyenesen követelmény • Hogyan analizálhatunk ilyen rendszereket? • Az LTI rendszerek sajátfüggvényei

3. Laplace transzformáció Komplex exponenciális függvény a lineáris invariáns rendszerek sajátfüggvénye CT h(t) A rendszerfüggvény Általános esetben

4. Laplace transzformáció A Laplace transzformáció jelölése ahol most s A Fourier transzformáció jelölése Az alapötlet Abszolút integrálhatóság csak erre szükséges

5. Laplace transzformáció A kritikus kérdés a Laplace transzformáció esetén a konvergencia X(s) csak meghatározott s értékekre létezik és azt a tartományt amelyre ez létezik a konvergencia tartománynak nevezzük (ROC) Abszolút értékben történő integrálhatóság feltétele Ha s=jw a konvergencia tartományban van, azaz s=0 akkor X(s)

6. Laplace transzformáció 1. Példa: Instabil rendszer Nincs Fourier transzformált de Laplace transzformált létezik ROC Ez konvergál ha

7. Laplace transzformáció 2. Példa: ROC Ez konvergál ha

8. Laplace transzformáció konvergencia tartományának ábrázolása

9. Racionális törtfüggvények • Sok esetben a Laplace transzformált racionális törtfüggvény • Az N(s) gyökei az X(s) nulla helyei • A D(s) gyökei az X(s) pólusai • Azon x(t)-k, amely komplex exponenciálisok lineáris kombinációja, t>0-ra vagy t<0-ra, a hozzájuk tartozó X(s) racionális törtfüggvény

10. Racionális törtfüggvények Létezik-e Fourier transzformált Nem

11. Laplace transzformáció és a konvergencia tartomány Nem minden jelnek van Laplace transzformáltja a) FT: b) A Laplace transzformációban impulzusok nem lehetnek

12. Inverz Laplace transzformáció Rögzítsük s értékét és alkalmazzuk az inverz Fourier transzformációt

13. Inverz Laplace transzformáció

14. Inverz Laplace transzformáció Legyen X(s) Három tartomány

15. Inverz Laplace transzformáció I. tartomány

16. Inverz Laplace transzformáció Fourier transzformáció is létezik A II. tartomány A III. tartomány

17. A Laplace transzformáció tulajdonságai • Hasonlóak a Fourier transzformációéhoz, csak konvergencia tartományra való hatásokat is mindig figyelembe kell venni • Linearítás • Időben eltolás • Időtartományban differenciálás s tartományban szorzás • s tartományban differenciálás, időtartományban –t vel szorzás • Konvolúció az időtartományban szorzás az s-tartományban

18. Lineáris invariáns rendszer h(t) A rendszerfüggvény A rendszer stabil ha ROC tartalmazza a képzetes tengelyt

19. Egyoldalas Laplace transzformáció Kauzális rendszerek tanulmányozására Kezdeti feltételekkel rendelkező rendszerek vizsgálatára kétoldalas LT-nek egyoldalas LT megfelel

20. A z-transzformáció • Analóg a folytonos jelek Laplace transzformációjához DT h[n] A rendszerfüggvény most z tetszőleges komplex szám

21. A z-transzformáció Kapcsolat a diszkrét Fourier transzformációval Csak r=|z| értéktől függ Ha r=1 az ROC-ben van akkor létezik diszkrét Fourier transzformáció

22. A z-transzformáció pólusok zéróhelyek meghatározására Inverz z-transzformációhoz

23. A z-transzformáció Ugyanaz az X(z) de különböző ROC

24. Racionális z-transzformáció x[n] exponenciálisok lineáris kombinációi n>0 és n<0 X(z) racionális törtfüggvény Jellemezni lehet a nulla helyivel és pólusaival

25. Inverz z-transzformáció