1 / 50

Diferensial & Optimalisasi

Diferensial & Optimalisasi. Diferensial Fungsi Majemuk Optimalisasi Penerapan dalam ekonomi. Parsial Diferensial. Sebuah fungsi yg hanya mengandung satu variabel bebas hanya akan memiliki satu macam turunan Jika y = f (x) maka turunan y terhadap x: y’ = dy / dx

chika
Download Presentation

Diferensial & Optimalisasi

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Diferensial & Optimalisasi DiferensialFungsiMajemuk Optimalisasi Penerapandalamekonomi

  2. ParsialDiferensial • Sebuahfungsiyghanyamengandungsatuvariabelbebashanyaakanmemilikisatumacamturunan Jika y = f(x) makaturunan y terhadap x: y’ = dy/dx • Sedangkanjikafungsiygbersangkutanmemilikilebihdarisatuvariabelbebas, makaturunannyaakanlebihdarisatumacam, tergantungjumlahvariabelbebasnya

  3. ParsialDiferensial • Jika y = f(x, z) dandisebutderivatifparsial, dandisebutdiferensialparsial, sedangkandydisebutdiferensial total • Jika p = f(q, r, s)

  4. ParsialDerivatif • y = f(x1, x2, x3, …, xn) dimana xi (i = 1, 2, 3, …, n) adalahvariabelygindependensatusamalainnya, tiapvariabeldapatberubahtanpamempengaruhivariabellainnya (variabellainnyakonstan) • Jikavariabel x1mengalamiperubahansebesar∆x1sedangkanvariabellainnya (x2, x3, …, xn) tetap, maka y akanberubahsebesar ∆y. Makakuosiendiferensidapatditulis:

  5. ParsialDerivatif • Derivative y terhadap x1sebagaimanacontohdiatasdisebutsebagaiderivatifparsialdandilambangkandengan: • Fungsiturunannya (derivative) adalah:

  6. Contoh (2): Derivative Parsial • Carilahturunanparsialterhadap x1dan x2darifungsi y = f(x1, x2) = 3x12 + x1x2 +4x22 denganmenganggap x2 konstan, turunanterhadap x1adalah: turunanterhadap x2:

  7. Contoh (3): Derivative Parsial • Carilahturunanparsialterhadap u dan v darifungsi y = f(u, v) = (u+4)(3u+2v) denganmenganggap v konstan, turunanterhadap u adalah: turunanterhadap v:

  8. Contoh (4): Derivative Parsial • Carilahturunanparsialterhadap u dan v darifungsi y = f(u, v) = (3u – 2v)/(u2+3v) denganmenganggap v konstan, turunanterhadap u adalah: turunanterhadap v:

  9. DerivatifdariParsialDerivatif • Samasepertidiferensialfungsisederhana, derivatiffungsimajemukjugadapatditurunkankembali • Jika y = x3 + 5z2 -4x2z – 6xz2 + 8z – 7, makaturunanpertama y terhadap x dan z: turunan ke-2: 1 2 1a 2a 1b 2b

  10. DerivatifdariParsialDerivatif turunan ke-3: 1aa 2aa 1ab 2ab 1ba 2ba 1bb 2bb

  11. NilaiEkstrim • Untuk y = f(x, z) maka y akanmencapaititikekstrimnyajika (necessary condition): • Untukmengetahuiapakahtitikekstrimygtercapaiadalahmaksimumatau minimum, maka (sufficient condition): dan dan dan Maksimum Minimum

  12. Contoh (5): TitikEkstrim • Carilahtitikekstrimdarifungsi: y = -x2 + 12x – z2 + 10z - 45 selidikilahapakahtitikekstrimdarifungsitersebutmerupakantitikmaksimumatau minimum! 1) Titikekstrim: yxdanyz = 0 y = -(6)2 + 12(6) – (5)2 + 10(5) – 45 = 16 letaktitikekstrimadalah (6, 16, 5) → 3-dimensi

  13. Contoh (5): TitikEkstrim • Carilahtitikekstrimdarifungsi: y = -x2 + 12x – z2 + 10z - 45 selidikilahapakahtitikekstrimdarifungsitersebutmerupakantitikmaksimumatau minimum! 2) Jenistitikekstrim: yxxdanyzz : Makatitikekstrimadalahtitikmaksimumdenganymax = 16

  14. Latihan • Carilahtitikekstrimdarifungsi: p = 3q2 – 18q + r2 – 8r + 50 selidikilahapakahtitikekstrimdarifungsitersebutmerupakantitikmaksimumatau minimum!

  15. OptimalisasiBersyarat • Optimalisasisuatufungsiobjektif (fungsiygakandioptimalkan—baikmaksimumatau minimum) atassuatufungsikendaladapatdiselesaikandgn (1) metodesubstitusidan (2) metode Lagrange • Nilai optimum diperolehketikaturunanpertamadarifungsitersebutsamadengannol (necessary condition) • Sedangkanuntukmengetahuiapakahnilaitersebutadalahmaksimumatau minimum, dapatdiselidikidariturunankeduanya (sufficient condition): Jikaturunankedua < 0, makamaksimum Jikaturunankedua > 0, maka minimum

  16. MetodeSubstitusi • Jikafungsiobjektif: z = f(x, y) s.t. u = g(x, y) → fungsikendala • manipulasifungsikendalamenjadipersamaansalahsatuvariabel • Substitusipersamaantersebutkedalamfungsiobjektifitasnya • Cariturunanpertamadarifungsitersebut (untukmencarinilaiekstrim) • Selidikimaksimum/minimum denganmencariturunankeduasesuaidenganpersyaratan

  17. Contoh (6) MetodeSubstitusi • π = 80X – 2X2 – XY – 3Y2 + 100Y .…...… (1) • s.t. X + Y = 12 .......... (2) • Rearrange (2): X = 12 – Y ………. (3) • Substitusi (3) ke (1): = 80(12 – Y) – 2(12 – Y)2 – (12 – Y)Y – 3Y2 + 100Y = 960 – 80Y – 2(144 – 24Y – Y2) – 12Y + Y2 – 3Y2 + 100Y = –4Y2 + 56Y +672 ………. (4)

  18. Contoh (6) MetodeSubstitusi • Derivasi order ke-1 persamaan (4): dπ/dY = 0 –8Y + 56 = 0 ↔ Y* = 7 • Substitusinilai Y ke (3): X* = 12 – 7 = 5 • Profit (π): π = 80(5) – 2(5)2 – (5)7 – 3(7)2 + 100(7) = $868 • Jenistitikekstrim: d2π/dY2 = -8 < 0 → titikekstrimmaksimum

  19. Metode Lagrange • Jikafungsiobjektif: z = f(x, y) s.t. u = g(x, y) → fungsikendala maka: L(x, y, λ) = f(x, y) + λ(g(x, y) – u) • Nilai optimum terjadipadasaat Lxdan Ly = 0 (necessary condition) • Nilai optimum adalahmaksimumjikaLxxdanLyy < 0 dan minimum jikaLxxdanLyy > 0 (sufficient condition)

  20. Contoh (7) Metode Lagrange • π = 80X – 2X2 – XY – 3Y2 + 100Y .…...… (1) • s.t. X + Y = 12 .......... (2) • FungsiLagrangian: L = 80X – 2X2 – XY – 3Y2 + 100Y + λ(X + Y – 12) • Denganmenggunakanderivatifparsial, solusiditemukanpadasaat f’(z) = 0: ………. (3)

  21. Contoh (7) Metode Lagrange ………. (4) • Persamaan (3) dikurangi (4): 80 – 4X – Y + λ = 0 100 – X – 6Y + λ = 0 –20 – 3X + 5Y = 0 ………. (5) ………. (6)

  22. Contoh (7) Metode Lagrange • Kali (5) dengan 3 danjumlahkandengan (6): 3X + 3Y – 36 = 0 –3X + 5Y – 20 = 0 8Y – 56 = 0 ↔ Y* = 7 X + 7 – 12 = 0 ↔ X* = 5 • π = 80(5) – 2(5)2 – 5(7) – 3(7)2 + 100(7) = $868 • Jenistitikekstrim: d2π/dX2 = -4 < 0 d2π/dY2 = -8 < 0 • Masukkannilai Y* & X* ke (3) atau (4), nilaiλ: λ = –5 – 42 + 100 = –53 titikesktrimmaksimum

  23. Latihan • Carilahtitikekstrimdarifungsi: z = 2x + 2y dengankendala (syarat) x2 + y2 = 8 Jelaskanjenistitikekstrimdantentukannilaiekstrimfungsitersebut!

  24. PenerapandalamEkonomi

  25. PermintaanMarjinal • Apabila 2 macambarangmempunyaihubungandalampenggunaannya, makapermintaanatasmasing-masingbarangakanfungsionalterhadaphargakeduabarangtersebut • JikaQda = f(Pa, Pb) danQdb = f(Pa, Pb) maka: Permintaanmarjinalakan A berkenaandengan Pa Permintaanmarjinalakan A berkenaandenganPb Permintaanmarjinalakan B berkenaandengan Pa Permintaanmarjinalakan B berkenaandenganPb

  26. ElastisitasPermintaanParsial • Elastisitaspermintaan (price elasticity of demand) JikaQda = f(Pa, Pb) danQdb = f(Pa, Pb), makaelastisitaspermintaanatasperubahanhargabarangitusendiri: • Barang a • Barang b

  27. ElastisitasPermintaanParsial • ElastisitasSilang (cross elasticity of demand) JikaQda = f(Pa, Pb) danQdb = f(Pa, Pb), makaelastisitassilang yang mengukurkepekaanperubahanpermintaansuatubarangberkenaandenganperubahanhargabaranglainnya: • Elastisitassilangbarang a denganbarang b • Elastisitassilangbarang b denganbarang a

  28. ElastisitasPermintaanParsial • ElastisitasSilang (cross elasticity of demand) • Jikadan < 0 untuk PadanPbtertentu, makahubunganantarabarang a danbarang b adalahsalingmelengkapi (komplementer); karenakenaikanhargasalahsatubarangakandiikutipenurunanpermintaanataskeduanya • Jikadan > 0 untuk PadanPbtertentu, makahubunganantarabarang a danbarang b adalahsalingmenggantikan (substitusi); karenakenaikanhargasalahsatubarangakandiikutikenaikanpermintaanbaranglainnya

  29. Contoh (8) Elastisitas 2 Barang • Fungsipermintaanatas 2 barangditunjukkansbb: Qda(Pa2)(Pb3) – 1 = 0 Qdb(Pa3)(Pb) – 1 = 0 • Hitunglahelastisitaspermintaanmasing-masingbarangdanbagaimanakahhubunganantarakeduabarangtersebut? • Elastisitaspermintaan: manipulasibentukpersamaanpermintaan:

  30. Contoh (8) Elastisitas 2 Barang • Elastisitaspermintaan: cariQda’ danQdb’: bentukpersamaanelastisitaspermintaannya: Barang a: elastis, barang b: elastis-uniter

  31. Contoh (8) Elastisitas 2 Barang • Elastisitassilang: cariturunanpertamaatas a dan b: bentukpersamaanelastisitassilangnya: Hubungankeduabarangadalahkomplementer

  32. FungsiBiayaGabungan • Andaikansebuahperusahaanmemproduksi 2 barang A dan B, dimanafungsipermintaanataskeduabarangdicerminkanoleh QAdan QBsedangkanfungsibiaya C = f(QA, QB) maka: Penerimaandaribarang A: RA = QA x PA = f(QA) Penerimaandaribarang B: RB = QB x PB = f(QB) Penerimaan total: R = RA + RB = f(QA) + f(QB) • Fungsikeuntungannya: П = R – C = [f(QA) + f(QB)] – f(QA, QB) = g(QA, QB)

  33. FungsiBiayaGabungan • Keuntunganakan optimum ketikaП’ = 0: • Titik optimum adalahmaksimumjikaП’’ < 0:

  34. Contoh (9) FungsiBiayaGabungan • Biaya total ygdikeluarkansebuahperusahaanygmemproduksiduabarang, X dan Y, adalah: C = QX2 + 3QY2 +QXQY Hargajual per unit masing-masingbarangadalah PX = 7 dan PY = 20 • Berapa unit tiapbarangharusdiproduksi agar keuntunganmaksimum? • Berapakahbesarnyakeuntunganmaksimum?

  35. Contoh (9) FungsiBiayaGabungan • Berapa unit tiapbarangharusdiproduksi agar keuntunganmaksimum? RX = PXQX = 7QX RY = PYQY = 20QY R = 7QX + 20QY П = 7QX + 20QY – QX2 – 3QY2 – QXQY 7 – 2(20 – 6QY) – QY = 0 33 – 11QY = 0 → QY= 3 QY = 3 → 20 – 6(3) – QX = 0 → QX= 2

  36. Contoh (9) FungsiBiayaGabungan JikaПXXdanПYY < 0makatitikmaksimum: • Besarnyakeuntunganmaksimum: П = 7(2) + 20(3) – (2)2 – 3(3)2 – (2)(3) П = 37 • Soalinijugadapatdiselesaikanmelaluipersamaanmarjinalnya, Пakanmaksimumketika MR = MC: MRX = MCXdan MRY = MCY

  37. MU danKeseimbanganKonsumsi • Jikakepuasankonsumen U danbarang-barangygdikonsumsinyaqi = (i = 1, 2, 3, …, n) maka: U = f(q1, q2, q3, …, qn ) • Seandainyauntukpenyerderhanaan, diasumsikanbahwaseorangkonsumenhanyamengkonsumsi 2 macambarang, X dan Y, makafungsiutilitasnya: U = f(x, y) Fungsiutilitas U = f(x, y) merupakanpersamaankurvaindiferensi (indifference curve)—kurvaygmenunjukkanberbagaikombinasikonsumsi X dan Y yang memberikantingkatkepuasan yang sama

  38. MU danKeseimbanganKonsumsi • Derivatifpertamadari U terhadap X dan Y merupakanfungsiutilitasmarjinalparsialnya: • Budget Line (garisanggaran): garis yang mencerminkankemampuankonsumenmembeliberbagaimacambarangberkenaandgnhargamasing-masingbarangdanpendapatankonsumen. Jika M adalahpendapatankonsumendanPxdanPyhargabarang X dan Y maka: M = xPx + yPy Utilitasmarjinalberkenaandenganbarang Y Utilitasmarjinalberkenaandenganbarang X

  39. MU danKeseimbanganKonsumsi • Keseimbangankonsumsi—suatukeadaanatautingkatkombinasikonsumsibeberapabarang yang memberikantingkatkepuasan optimum—tercapaipadasaatkurvaindiferensibersinggungan (tangent) denganbudget linekonsumen • Optimalisasidptdiselesaikandenganmembentukpersamaan Lagrange danderivatifpertama = 0: L = f(x, y) + λ(xPx + yPy – M)

  40. MU danKeseimbanganKonsumsi • Manipulasi Lxdan Ly: • Utilitasmarjinal (MU) = U’ = f ‘(x, y), maka: Keseimbangankonsumsitercapaiapabilahasilbagiutilitasmarjinaldarisetiapbarangatasharganyaadalahsama

  41. Contoh (10) Utilitas Optimum • Kepuasanseorangkonsumendarimengkonsumsibarang X dan Y ditunjukkanolehpersamaan: U = x2y3 JumlahpendapatankonsumenRp 1000 danhargabarang X dan Y adalahRp 25 danRp 50 • Carilahfungsiutilitasmarjinaluntuksetiapbarang • Berapakahutilitasmarjinaljikakonsumenmengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y? • Apakahdenganmengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y konsumenmemaksimumkanutilitasnya? Jikatidak, carilahkombinasibarang X dan Y akanmemberikantingkatkepuasan optimum

  42. Contoh (10) Utilitas Optimum • Carilahfungsiutilitasmarjinaluntuksetiapbarang • Berapakahutilitasmarjinaljikakonsumenmengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y?

  43. Contoh (10) Utilitas Optimum • Apakahdenganmengkonsumsi 14 unit X dan 13 unit Y konsumenmemaksimumkanutilitasnya? • Kombinasi X dan Y ygmemaksimumkanutilitas:

  44. Contoh (10) Utilitas Optimum • Kombinasi X dan Y ygmemaksimumkanutilitas: • Substitusinilai y = ¾ x kedalampersamaanλ: x = 16, maka Utilitasmaksimum:

  45. MP danKeseimbanganProduksi • Jikajumlahkeluaran P dan input yang digunakanxj = (j = 1, 2, 3, …, n) makafungsiproduksinya: P = f(x1, x2, x3, …, xn ) • Seandainyadiasumsikanbahwaseorangprodusenhanyamenggunakan 2 macam input, K dan L, makafungsiproduksinya: P = f(k, l) Fungsiproduksi P = f(k, l) merupakanpersamaankurvaisoquant—kurvaygmenunjukkanberbagaikombinasipenggunaan input K dan L yang memberikantingkatproduksi yang sama

  46. MP danKeseimbanganProduksi • Derivatifpertamadari P terhadap K dan L merupakanfungsiprodukmarjinalparsialnya: • Isocost: garis yang mencerminkankemampuanprodusenmembeliberbagaimacam input berkenaandgnhargamasing-masing input danjumlahdanaygdimiliki. Jika M adalahjumlahdanaygdianggarkan, PKdan PLharga input K dan L maka: M = K x PK + L x PL Produksimarjinalberkenaandengan input Y Produksimarjinalberkenaandengan input K

  47. MP danKeseimbanganProduksi • Keseimbanganproduksi—suatukeadaanatautingkatpenggunaankombinasifaktor-faktorproduksisecara optimum, yaknitingkatproduksimaksimumdengankombinasibiayaterendah (least cost combination)—tercapaipadasaatkurvaisoquantbersinggungan (tangent) dgnisocost • Optimalisasidptdiselesaikandenganmembentukpersamaan Lagrange danderivatifpertama = 0: Z = f(K, L) + λ(KPK + LPL – M)

  48. MP danKeseimbanganProduksi • Manipulasi Lxdan Ly: • Utilitasmarjinal (MP) = P’ = f ‘(K, L), maka: Produksi optimum dgnkombinasibiayaterendahakantercapaijikahasibagiproduk marginal masing-masing input terhadapharganyaadalahsama

  49. FungsiProduksi Cobb-Douglas • Dinyatakandengan: dimana: A : Total factor productivity K : Capital L : Labor αdanβ : elastisitas output • Jika: α + β = 1 → constant return to scale α + β > 1 → increasing return to scale α + β < 1 → decreasing return to scale

  50. Contoh (11) Utilitas Optimum • SeorangprodusenmencadangkanRp 96 untukmembeli input K dan L. Harga per unit input K adalah 4 rupiah dan input L adalah 3 rupiah. Jikafungsiproduksiadalah P = 12KL, berapa unit tiap input harusdigunakan agar produksi optimum danberapakahproduksi optimum tersebut?

More Related