1 / 15

DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK

DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK. DOSEN : LIES ROSARIA, ST, MSi. D IFERENSIASI PARSIAL. Fungsi yang mengandung lebih dari satu variabel bebas maka turunannya akan lebih dari satu macam . Jika y = f(x,z)

urbana
Download Presentation

DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK DOSEN : LIES ROSARIA, ST, MSi

  2. DIFERENSIASI PARSIAL Fungsi yang mengandung lebih dari satu variabel bebas maka turunannya akan lebih dari satu macam. Jika y = f(x,z) Maka turunannya ada dua macam, yakni turunan y terhadap x atau dan turunan y terhadap z atau . Dengan demikian: • y = f(x,z) • fx(x,z) = • fz(x,z) = dy = dx + dz

  3. Diferensial total dp = dq + dr + ds • p = f(q,r,s) • pq(q,r,s) = • pr(q,r,s) = • ps(q,r,s) = Diferensial parsial Derivatif parsial

  4. DERIVATIF DARI DERIVATIF PARSIAL Contoh: y = x3 + 5z2 – 4 x2z – 6 xz2 + 8 – 7 • = 3x2 – 8xz – 6z2 • = 10z – 4x2 – 12xz + 8 Dalam contoh di atas, baikmaupunmasih dapat diturunkan secara parsial baik terhadap x maupun terhadap z. (1a) terhadap x: = 6x - 8z (1b) terhadap z: = -8x – 12z (2a) terhadap x: = -8x – 12z (2b)terhadap z: = 10 – 12x

  5. Ternyata turunan parsial kedua (1a), (1b), (2a) dan (2b) masih bisa diturunkan secara parsial lagi terhadap x maupun terhadap z. (1a.1) terhadap x: = 6 (1a.2) terhadap z: = -8 (1b.1) terhadap x: = -8 (1b.2) terhadap z: = -12 (2a.1) terhadap x: = -8 (2a.2) terhadap z: = -12 (2b.1) terhadap x: = -12 (2b.2) terhadap z:= 0

  6. NILAI EKSTRIM: MAKSIMUM DAN MINIMUM Nilai-nilai ekstrim (optimum) dari sebuah fungsi yang mengandung lebih dari satu variabel bebas dapat dicari dengan pengujian sampai derivatif keduanya: Untuk y = f(x,z) Maka y akan mencapai titik ekstrimnya jika: = 0dan = 0 Untuk mengetahui apakah titik ekstrim tersebut maksimum/minimum, maka dibutuhkan syarat mencukupkan (sufficient condition), yakni: maksimum, bila: < 0dan < 0 minimum, bila: > 0 dan > 0

  7. Contoh: Selidiki apakah titik ekstrim dari fungsi berikut ini merupakan titik maksimum atau titik minimum: y = -x2 + 12x – z2 + 10z – 45 = 0 = 0 -2x + 12 = 0 -2z + 10 = 0 2x = 12 2z = 10 x = 12/2 = 6 z = 10/2 = 5 y = -(6)2+ 12(6) – (5)2+ 10(5) – 45 = -36 + 72 – 25 + 50 – 45 = 16 = -2 <0 = -2 <0 Maka titik ekstrimnya adalah Titik maksimum Dengan y maks = 16

  8. OPTIMISASI BERSYARAT • Metode Pengganda Lagrange Penghitungan nilai ekstrim dari sebuah fungsi yang menghadapi kendala berupa fungsi lain dapat diselesaikan dengan metode lagrange. Caranya dengan membentuk sebuah fungsi baru, disebut fungsi lagrange, yang merupakan penjumlahan dari fungsi yang hendak dioptimumkan ditambah hasil kali pengganda lagrange  dengan fungsi kendalanya. Misalkan hendak dioptimumkan z = f(x,y) Dengan syarat harus terpenuhi u = g(x,y) Maka fungsi lagrangenya: F(x,y,z) = f(x,y) +  g(x,y) Nilai ekstrim F(x,y,) dapat dicari dengan memformulasikan masing-masing derivatif-parsial pertamanya sama dengan nol. Fx (x,y,) = fx + gx = 0 Fy(x,y, ) = fy+ gy= 0

  9. Untuk mengetahui apakah titik ekstrim tersebut maksimum/minimum, maka dibutuhkan syarat mencukupkan (sufficient condition), yakni: Maksimum bila : Fxx < 0 dan Fyy < 0 Minimum bila : Fxx > 0 dan Fyy> 0 Contoh: Tentukan nilai ekstrim z dari fungsi z = 2x + 2y dengan syarat x2 + y2 = 8. Jelaskan jenis nilai ekstrimnya. Jawab: Fungsi lagrange: F = 2x + 2y +  (x2 + y2– 8) = 2x + 2y + x2+ y2– 8 Agar F ekstrim, F’ = 0 Fx = 2 + 2x = 0, diperoleh  = - = - .....(1) Fy= 2 + 2y = 0, diperoleh  = - = - .....(2)

  10. Penyelidikan nilai ekstrim: Untuk x = y = 2,  = - Fxx = 2 = 2 = -1 < 0 Fyy = 2 = 2 = -1 < 0 Nilai ekstrim maksimum dengan Z maks = 8 Penyelidikan nilai ekstrim: Untuk x = y = -2,  = Fxx = 2 = 2 = 1 > 0 Fyy = 2 = 2 = 1 > 0 Nilai ekstrim maksimum dengan Z maks = -8 Subtitusikan (1) dan (2) didapat: - = - atau x = y Menurut fungsi kendala: x2+ y2 = 8 y2 + y2 = 8 2y2 = 8 y2 = 4 y = x = = ± 2 z = 2x + 2y = ± 8 Jadi nilai ekstrim z = ± 8

  11. Metode Kuhn-Tucker Metode Kuhn-Tucker merupakan pengembangan lebih lanjut dari model optimisasi bersyarat. Jika metode lagrange mengoptimumkan fungsi terhadap kendala yang berbentuk persamaan, metode Kuhn-Tucker mengoptimumkan fungsi terhadap kendala yang berbentuk pertidaksamaan. Bentuk permasalahannya biasanya berupa: Maksimumkan fungsi tujuan f(x,y) terhadap kendala g(x,y)  0 atau Maksimumkan fungsi tujuan f(x,y) terhadap kendala g(x,y)  0 Prosedur penyelesaiannya dapat dilakukan dengan 2 macam cara, yakni: • metode lagrange dimodifikasi dengan kondisi Kuhn-Tucker • Secara langsung menggunakan metode Kuhn-Tucker

  12. Contoh: Maksimumkan f(x,y) = 10 xy – 2,5 x2 – y2 terhadap kendala x+y 9 Jawab: Dengan menganggap kendala pertidaksamaan berlaku sebagai sebuah persamaan (x+y  9 menjadi x+y = 9),maka berdasarkan metode lagrange: F(x,y,) = 10xy – 2,5x2 – y2 - (x+y+9) = 10xy – 2,5x2 – y2 - x - y –9 Fx = 0  10y – 5x -  = 0  = 10y – 5x ...(1) Fy= 0  10x – 2y -  = 0  = 10x – 2y ...(2) Menurut kendala: x+y=9  0,8y+y=9  y = = 5 Maka untuk y = 5  x = 0,8(5) = 4 sehingga: f(x,y) = 10 (4)(5) – 2,5 (4)2– (5)2 = 135   = 10(5) – 5(4) = 30 Substitusi pers. (1) dan (2): 10y – 5x = 10x – 2y 15x =12y x = y = 0,8 y

  13. Karena  >0 berarti x=4 dan y=5, yang memaksimumkan f(x,y) terhadap kendala yang (dianggap) berbentuk persamaan, berlaku juga terhadap kendala yang berbentuk pertidaksamaan. Dengan metode Kuhn-Tucker langsung dimana g(x,y) = x+y-9  0 = 10y – 5x dan = 1 atau = 10x – 2y dan = 1 Maka: • -  = 0  10 y – 5 x –  = 0 • -  = 0  10 x – 2 y –  = 0 • g = 0  (x+y-9)=0 Jika x+y-9 =0 maka x = 9-y, sehingga: • 10 y – 5 (9-y) –  = 0 15y -45 -  = 0 • 10 (9-y) – 2 y –  = 0  -12y +90 -  = 0 Dengan memasukkan y =5 dan  = 30 ke persamaan (a) dan (b) diperoleh x = 4. sehingga: f(x,y) = 10 xy – 2,5 x2 – y2 = 10 (4)(5) – 2,5 (4)2– (5)2 =135 15y – 45 = -12y+90 27y = 135  y = 5  = 15(5)-45 = 30

  14. HOMOGENITAS FUNGSI Suatu fungsi dikatakan homogen berderajat n apabila hasilkali setiap variabel bebasnya dengan sembarang bilangan  menyebabkan nilai fungsinya menjadi n kali. Dengan demikian, z = f(x,y) dikatakan homogen apabila: n z = f(x,y) Contoh: • z = f(x,y) = 2x3 – 4x2y + y3 adalah fungsi berderajat 3, karena f(x, y) = 23x3– 43x2y + 3y3 = 3(2x3 – 4x2y + y3) = 3f(x,y) = 3z

  15. z = f(x,y) = 5x2 + xy – 3y2 adalah fungsi berderajat 2, karena f(x, y) = 5 2x2 + 2xy + 32y2 = 2(5x2 + xy – 3y2) = 2f(x,y) = 2 z • z = f(x,y) = 9x- 7y adalah fungsi berderajat 1, karena f(x, y) = 9  x- 7  y =  (9x-7y) = z

More Related