Signalbehandling og matematik 1 (Tidsdiskrete signaler og systemer)

1. Signalbehandling og matematik 1(Tidsdiskrete signaler og systemer) Session 1. Sekvenser, diskrete systemer, Lineære systemer, foldning og lineære tidsinvariante systemer Ved Samuel Schmidt sschmidt@hst.aau.dk http://www.hst.aau.dk/~sschmidt/Mat1/

2. Session 1. • Sekvenser • Diskrete systemer • Lineære systemer • Foldning og impuls respons

3. Kontinuerte vs. diskrete tidssignaler Tidskontinuert signal (Analog) Tidsdiskret signal (Digitalt) Sampling Analogt system A/D komverter DSP (Digital signal processer)

4. Digitale signaler hvor? …og meget mere

5. Fysiologiske signaler Kardiologiskesignaler EEG

6. Typiske Digitale systemer • ADC • DSP • Display 010101011 110001011 Digital signal processor Analogt signal Analog til Digital konvertering Digital til analog konvertering Analogt signal Eksempel EKG baseret plustæller Filter Puls tæller Puls: 61

7. Hvorfor digitalt ? • Fordele: • Robust • Præcist • Uhurtig og billig udvikling • Kan håndtere stor kompleksitet • Fleksibelt • Hukommelse • Ulemper: • Begrænset båndbrede • Begrænsninger i realtid

8. Definition og notation: Signal • Signal er enhver tids varierende eller rum varierede kvantitet • Tids variable: x(t) • Dimension: x(d1,d2)

9. Matematisk definition og notation: Tidsdiskret signal • Funktion af en diskret tids variabel • Signalet repræsenteres som en sekvens af nummer x[n], -∞ < n < ∞ • Hvor n er et heltal • F.eks. x[0]=1, x[1]=1, x[2]=-2 T N.B. Ved et Digitalt signal er amplituden også diskret

10. Analog til digital konvertering

11. Analog til digital konvertering

12. Repetition Diskret tids sampling Kvantificerings fejl Diskrete værdier (Kvantificering)

13. Relation mellem tid og samples • Alternativ opgivelse • Sample hastighed: 1/T (samples per sekund) Sample periode: T (sekunder) x[n]=x(nT) , -∞ < n < ∞ Hvor T er samplings perioden (ofte i sekunder) Digitalt Analogt

14. Eksempel på sampling • Se Matlab demo

15. Signal typer • Single/multi kanals signaler • Reelle / komplekse signaler • Deterministiske/ stokastiske signaler

16. Basis signaler: Unit sample og Unit step

17. Basis signaler:Exponential (real) Stigende hvis α>1 Faldende hvis α<1

18. Basis signaler:Sinus ω0: frekvens rad/sample Φ: fase

19. Periodiske signaler • Et signal er periodisk med N hvis x[n]=x[n+N], hvor N er et heltal Et sinus signal er periodisk hvis Hvor Hvor både N og k er heltal

20. Diskrete sinus signaler • For sinus signaler gælder at • Højeste svingningshastighed opnås ved ω0=π eller ω0=-π og det interessante frekvens interval er -π ω0 π • Se Matlab Demo

21. Session 1. • Sekvenser • Diskrete systemer • Lineære systemer • Foldning og impuls respons

22. Tidsdiskrete systemer • Defination: • Transformation eller operation af et tidsdiskrete input x[n] til et tidsdiskrete output y[n] • Eksempler: • Filtrer • Operatorer Multiplications system

23. Det ideelle delay system • Delay y[n]=x[n-n0] hvor n0 er delay’et er repræsenteret ved et heltal

24. Moving average system

25. Grafik repræsentation af tidsdiskrete systemer Addering af 2 signaler s.56

26. Grafik repræsentation af tidsdiskrete systemer • Multiplikation med en konstant • Multiplikation mellem signaler

27. Grafik repræsentation af tidsdiskrete systemer • Forsinkelse (Delay) Tavle ex.2.2.3 a side 57

28. Systemkarakteristika • Hukommelesesløst (Statisk): • Y[n] er kun afhængig af x[n] • Hukommeles system (Dynamisk): • Akkumulator Akkumulator s.59

29. Session 1. • Sekvenser • Diskrete systemer • Lineære systemer • Foldning og impuls respons

30. Lineært system s.62

31. Lineært system Additiv egenskab: X1[n] + T{∙} X2[n] X1[n] T{∙} + X2[n] T{∙}

32. Lineært system Skalerings egenskab x X1[n] T{∙} a x X1[n] T{∙} a

33. Lineært system Defineret ud fra superposition

34. Eksemple • y[n]=x[n]^2 Test: Additiv egenskab x1[1]=2 og x2[1]=6 Tavle ex.2.2.5 a side 63

35. Tidsinvariante systemer • Et tidsinvariant system er uafhængigt af eksplicit tid (Koefficienterne er uafhængig af tid) • Det vil sige hvis x2[n]=x1[n-k] så er y2[n]=y1[n-k] Det samme i går, i dag, i morgen og om 1000 år Ikke tidsinvariant system 20 år 45 år 70 år s.59 Tavle ex.2.2.4 a side 60

36. Kausalitet • Et kausalt system kun afhængig af input fra fortid og nutid. • y[n1] er kun afhængig af x[n] hvor nn1 • Kausalt system (Bagudrettet difference) • Ikke Kausalt system (Forudrettet difference) s.65

37. Stabilitet • Et stabilt system et system med en begrænset output interval såfremt inputtet er begrænset • Bounded input Bounded output (BIBO) Givet s.66

38. Session 1. • Sekvenser • Diskrete systemer • Lineære systemer • Foldning og impuls respons

39. LTI systemer • Lineær og tidsinvariant systemer • Superposition+uafhængig af tid

40. Introduktion til analyse af linaer og tidsinvariante systemer • Formålet med analyse af LTI systemer tidsdomænet er at kunne beskriver systemtes egneskaber og at kunne beregne et output hvis et input er givet. System Input Output

41. Impuls respons Unit sample bruges som impuls T{∙} Side 23 Oppenheim

42. Unit sample egenskaber Alle signaler kan udtrykkes som en sum af vægtede og forskudte Unit samples Side 11 Oppenheim

43. Impulsrespons og Lineære tidsinvariante systemer (LTI) Hvis vi antager T{∙} som er lineær kan vi bruge superposition Hvis vi antager tidsinvarians Side 23 Oppenheim

44. Betyding af foldning • Et hvilket som helst LTI system kan beskrives alene fra implusresponsen h[n].

45. Folding (Convolution) • Foldings sum • Generel notation Side 23 Oppenheim

46. Trin i foldning • Flip det ene signal • Forskyd • Multiplicer alle sample sammen • Addere multiplikations resultaterne

47. Folding: eksample

48. Regneregler for foldning • Foldning er kommutativ • Derfor • Foldning er distributiv med hensyn til addition Side 76

49. Op summering 2 metoder til beskrivelse aflineære tidsinvariante systemer (LTI) • Input output relationen: • Beskrivelse af et systemt output til et kendt systemt input:

50. Session 1. • Sekvenser • Diskrete systemer • Lineære systemer • Foldning og impuls respons