Signalbehandling og matematik 2 (Tidsdiskrete signaler og systemer)

1. Signalbehandling og matematik 2(Tidsdiskrete signaler og systemer) Session 9. Design of digital IIR filters Ved Samuel Schmidt sschmidt@hst.aau.dk http://www.hst.aau.dk/~sschmidt/Mat1/

2. Agend Design of Digital IIR filters • Opfriskning af Analoge IIR filter • Konvertering af analoge filter til digitale filter

3. IIR og FIR filtre • IIR • Systemer med uendelige impuls respons har altid mindst en betydende pol (det vil sige ikke nul poler eller ophævede poler) • FIR • Systemer med endelige impuls respons har ingen betydende poler (det vil sige ikke nul poler eller ophævede poler) General form: Eksempel: Invers transformation:

4. IIR vs FIR filter • Hvorfor IIR filtre? • IIR filter har stejlere ”sidelobes” end et FIR filter med samme antal koefficienter. • Dermed hurtigere og mindre hukommelses krævende • Hvorfor ikke ? • Et IIR filter har ikke lineær fase • Et IIR filter kan være ustabilt • ET IIR filter er mere sensitivt i for hold til afrundingsfejl

5. Design af digitale IIR filtre ved hjælp af IIR analoge filtre Specifikation af filteret i digitalt domæne Konverter specifikationer til analogt Design filteret i det analoge domæne Konverter det analoge filter til det digitale domæne Implementer filteret i det digital domæne

6. Navne af frekevnes variabler i kontinuær og diskret domæne T= samplings perioden

7. Laplace og z-transformation Z-transformtion Z-transformtion

8. Analogt system på rational form Overførsles funktion i laplace domænet

9. Definitioner på filter

10. Typiske analoge IIR filter • Butterworth  • Chebyshev • Elliptic filters

11. Analogt Butterworth filter • Er et ”all pole” filter • Kvadreret frekvens amplitude respons • N:filter orden • Ωc: 3dB knæk frekvens • Laplace transformation Polerne vil ligge spejlet omkring den imaginære akse: Defineret ved

12. Stabile systemer in z og s domænet s: Poler skal være i venstre halvdel • Z: Poler skal være i enhedscirklen Im jΩ 1 1 1 1 σ Re *1/2 *1/3 *1/3

13. 3 metoder til konvertering af analoge IIR filtre til digitale IIR filtre • Approksimation af afledte • Impuls invarians • Bilineær Transformation

14. Digitale IIR filtre ved hjælp af approksimation af afledte (1) • Simple metode: • Analogt filter defineret ved differantial funktion • Til diskret differencs funktion

15. Digitale IIR filtre ved hjælp af approksimation af afledte (2) • Simple metode: • Overførsels funktionen af dy(t)/dt i Laplace • Overførsels funktionen i diskret domæne • Sammenhæng mellem Laplace og z-transformation kth orden:

16. Digitale IIR filtre ved hjælp af approksimation af afledte (3) • Sammenhæng mellem Laplace og z-transformation kth orden: • Sammenhæng mellem overførsels funktion i Laplace og z domænet

17. Mapping fra s-plan til z-plan Substituers=jΩ Adskil den reelle del og den imaginære del Real Img. S-planet mappes til et mindre område omkring den positive reelle akse

18. Begrænsning af approksimation af afledte S-planet mappes til et mindre område omkring den positive reelle akse Derfor er metoden kun velegnet til lavpas og båndpas filtre med lave knæk frekvenser

19. Eksempel • Proakis 10.3.1

20. IIR filter ved hjælp af Impuls invarians • Metode: Sample impuls responsen • Implus respons fra analogt filter efter partial brøksopspaltning • Samplet implus respons

21. genvej fra poler i s domænet til poler i z domænet (1/2) • Ved at substituere i z-tranformationen fåes Z-transformtion

22. genvej fra poler i s domænet til poler i z domænet (2/2) • Derfor gælder det at hvis laplace transformatioen har formen • Har z-transformationen følgende form • Derfor

23. Mapping fra s til z planet • Punkt på s planet • Fra s til z • Punkt på z planet (polar form) • Dermed har vi :

24. Aliasing af i frekvens spektrum a impuls respons • Sammenhængen mellem Diskret og analogt frekvens spectrum • Hvis: • Så

25. Eksempel • Proakis10.3.3

26. Bilineær Transformation • Bevis baseret på analog integrator:

27. Bilineær Transformation • Ved den Bilineær Transformation sættes s lig med • Det betyder at:

28. Karakteristika ved Bilineær Transformation (1) • Sammenhæng mellem σ og ω • Set z på polar form z=rejω jΩ 1 1 σ σ jΩ Hvis r<1: er σ<0 Hvis r>1: er σ>0

29. Karakteristika ved Bilineær Transformation (2) • Poler fra højre side i s-planet ligger udenfor enhedscirkelen. • Modsat poler fra venstre side i s-planet som ligger indenfor enhedscirklen Im jΩ 1 1 1 1 σ Re

30. Karakteristika ved Bilineær Transformation (3) • Sammenhæng mellem ΩT og ω

31. Karakteristika ved Bilineær Transformation (4) Im jΩ 1 1 1 1 σ Re

32. Eksempel 10.3.4