توزیع های احتمالی

1. توزیع های احتمالی سعید موسوی musavi.stat@gmail.com http://biostat.niloblog.com

2. توزیع برنولی ویژگی ها : 1- آزمایش فقط یک بار صورت می گیرد 2- فقط دو پیامد ممکن دارد 3- احتمال موفقیت و شکست ثابت است ( البته در صورت تکرار آزمایش ) 4- آزمایش ها مستقل از یکدیگر انجام می شوند

3. مفاهیم p و q درتوزیع برنولی • P یعنی احتمال موفقیت ( احتمال وقوع پیشامد مورد نظر ) • q یعنی احتمال شکست ( احتمال عدم وقوع پیشامد مورد نظر ) • p و q مکمل یکدیگر هستند

4. P(x) = px(1 - p)1-x where x = 0 or 1 E(X) = p Var(X) = pq

5. توزیع دو جمله ای ویژگیها: 1- تکرار آزمایش ( n بار ) 2- هر آزمایشی فقط دو پیامد دارد 3- ثابت بودن p و q در هر آزمایش 4- مستقل بودن آزمایش ها از همدیگر

6. فرمول توزیع دو جمله ای میانگین و واریانس توزیع دو جمله ای 1- E(X) = np 2- V(X) = npq n و p و q پارامترهای توزیع دو جمله ای هستند

7. اجزاء تشکیل دهنده توزیع دو جمله ای تعداد آزمایش ها = n تعداد موفقیت های مورد نظر = x احتمال موفقیت در هر آزمایش = p احتمال شکست در هر آزمایش = q

8. مقدار p و نوع توزیع 1- اگر p = 0/5 باشد ، توزیع متقارن 2- اگر p > 0/5 باشد ، توزیع چوله به چپ 3- و اگر p < 0/5 باشد ، توزیع چوله به راست است

9. جداول توزیع دو جمله ای وقتی که n نسبتاً بزرگ است ، محاسبه احتمال از طریق فرمول کار خسته کننده ای می شود ، لذا برای رفع این مشکل از جدول های مخصوصی استفاده می شود

10. توزیع پواسون متغیر هایی که بیانگر تعداد برآمدها در واحد زمان،طول، مساحت یا حجم باشند.

11. فرمول توزیع پواسون بعنوان پارامتر توزیع و

12. امید ریاضی و واریانس توزیع پواسون از بین کلیه توزیع های رایج ، توزیع پواسون تنها توزیعی است که میانگین و واریانس آن با هم برابرند

13. کاربردهای توزیع پواسون 1- بعنوان تقریب یا برآورد کننده میزان احتمال توزیع های دو جمله ای تحت شرایط خاص اگر n به سمت بی نهایت و p به سمت صفر میل کند و در عین حال مقدار np ثابت بماند ، می توان بجای توزیع دو جمله ای از توزیع پواسون استفاده نمود 2- محاسـبه احتمالات مربـوط به تعـداد مراجعات به سیستم با میانگین λدر واحد زمان ( t )

14. توزیع پواسون برای تعداد مراجعات فرمول میانگین مراجعات در واحد زمانی معین

15. توابع احتمال پیوسته

16. احتمال در توابع پیوسته بخاطر این که میزان احتمال در توابع پیوسته در یک نقطه معین مساوی صفر است ، لذا در این گونه توابع ، احتمال همیشه در قالب یک فاصله تعیین می شود

17. تابع چگالی احتمال احتمال این که متغیر تصادفی پیوسته x مقداری بین دو نقطه a و b را بگیرد برابر است با

18. نقش علامت مساوی در احتمالات پیوسته پس علامت مساوی در این توزیع ها نقشی ایفاء نمی کند

19. امید ریاضی متغیر تصادفی پیوسته یعنی ضرب متغیر تصادفی در تابع چگالی خود و سپس انتگرال گیری به ازای مقادیر ممکن متغیر

20. واریانس متغیر تصادفی پیوسته یعنی کسر متغـیر تصادفـی از میانگین خود ، به توان 2 رساندن نتیجه و ضرب نتیجه حاصله به تابع چگالی و انتگرال گیری

21. توزیع نرمال

22. تعریف توزیع نرمال متغیر تصادفی پیوسته x در صورت داشتن تابع چگالی زیر دارای توزیع نرمال است

23. پارامترهای توزیع نرمال X N ( µ , σ) µ ( میانگین ) و σ( انحراف معیار ) دو پارامتر توزیع نرمال بوده و با مشخص بودن آنها ، منحنی توزیع قابل ترسیم می باشد

24. نقش میانگین در منحنی توزیع نرمال در یک توزیع نرمال هر قدر میانگین افزایش یابد ، باعث می شود که منحنی آن بیشتر به سمت راست انتقال یابد f(x) x

25. نقش انحراف معیار در توزیع نرمال هر قدر انحراف معیار افزایش یابد ، منحنی توزیع نرمال کوتاه تر (بعبارتی پهن تر) می شود f(x) > x =

26. خصوصیات توزیع نرمال 1- سطح زیر منحنی همیشه برابر یک است 2- f(x) همیشه بزرگتر یا مساوی صفر است 3- حداکثر مقدار تابع در X = µ می باشد 4- تابع حول میانگین ، متقارن است 5- میانگین ، میانه و مد با هم برابرند

27. احتمال x با توجه به انحراف معیارهای مختلف بشرح ذیل است :

28. توزیع نرمال استاندارد یعنی استاندارد کردن متغیر X ≈ N ( µ , σ) با استفاده از متغیر نرمالی که میانگین آن صفر و واریانس اش یک است و سپس استفاده از جدول مربوطه

29. نحوه تبدیل متغیر x به متغیر نرمال استاندارد z با کم کردن میانگین از متغیر x و تقسیم نتیجه آن بر انحراف معیار ، z بدست می آید X=μ+zσ

30. روش های استفاده از جدول توزیع نرمال استاندارد 1- استفاده مستقیم : مقدار Z مشخص است و احتمال آن را بدست می آوریم 2- استفاده معکوس : احتمال Z مشخص است و مقدار آن را بدست می آوریم

31. P(z<-4)≈0 P(z<-1.96)=0.025 P(z<-1.02)=0.1539

32. P(z<0)=0.5 P(z<1.02)=0.8461 P(z<1.96)=0.975

33. 2. مساحت ناحیه مورد نظر برابر است با 0.8907 z 0 1.23 • در جدول توزیع نرمال احتمال اینکه z کمتر از 1.23 باشد چقدر است؟ 1. از جدول توزیع نرمال احتمال مورد نظر را پیدا کنید.

34. 3. Subtract to find the area to the right of z = 1.23: 1  0.8907 = 0.1093. 2. The area to the left of z = 1.23 is 0.8907. 1. Use the table to find the area for the z-score. • در جدول توزیع نرمال احتمال اینکه zبیشتر از 1.23 باشد چقدر است؟ 1.23

35. 4. Subtract to find the area of the region between the two z-scores: 0.8907  0.2266 = 0.6641. 2. The area to the left of z = 1.23 is 0.8907. 3. The area to the left of z = 0.75 is 0.2266. z 0 1.23 0.75 1. Use the table to find the area for the z-score. • در جدول توزیع نرمال احتمال اینکه zبین 0.75 - و 1.23 باشد چقدر است؟

36. μ = 10 σ = 5 P(x < 15) x μ =10 15 • اگر متغیر تصافی x توزیع نرمال با میانگین 10 و انحراف معیار 5 داشته باشد احتمال اینکه x کمتر از 15 باشد چقدر است؟

37. Normal Distribution Standard Normal Distribution μ = 10 σ = 5 μ = 0 σ = 1 P(z < 1) P(x < 15) z x μ =10 15 μ =0 1 Same area

38. μ = 78 σ = 8 P(x < 90) x μ =78 90 z μ =0 ? • اگر نمرات درسی با میانگین 78 و انحراف معیار 8 توزیع شده باشند احتمال اینکه نمره دانشجویی کمتر از 90 باشد چقدر است؟ احتمال اینکه نمره دانشجویی کمتر از 90 باشد 0.9332 است 1.5 P(x < 90) = P(z < 1.5) = 0.9332

39. P(60 < x < 80) μ = 78 σ = 8 x 60 μ =78 80 z μ =0 ? ? • در مثال قبل احتمال زیر را پیدا کنید P(60 < x < 80) 0.25 2.25 احتمال مورد نظر برابر است با P(60 < x < 80) = P(2.25 < z < 0.25) = P(z < 0.25)  P(z <2.25) = 0.5987  0.0122 = 0.5865