政治大學行政管理碩士學程共同必修課課程名稱：社會科學研究方法（量化分析）授課老師：黃智聰授課內容：簡單線性迴歸模型：非線性模型、異質變異、自我相關

政治大學行政管理碩士學程共同必修課 課程名稱：社會科學研究方法（量化分析）授課老師：黃智聰授課內容：簡單線性迴歸模型：非線性模型、異質變異、自我相關參考書目：Hill, C. R., W. E. Griffiths, and G. G. Judge, (2001), Undergraduate Econometrics. New York: John Wiley & Sons 日期：20011年12月12日

非線性模型 • 第一類模型: 變數為非線性的，但未知參數是線性的。 • Y=αLβK γ lnY=δ+βln(L)+γln(K)

多項式和互動變數 • 迴歸模型中的斜率為連續性的變化。 • TC=α1+α2Q+α3Q2+α4Q3+e • PIZZA=β1+β2AGE+β3Y+e • = β2 :在某一個所得水準之下，預期比薩的支出會隨著年齡增加一歲而變動 β2的量。 PIZZA AGE

PIZZA Y • = β3 :在某一年齡之下，所得每增加＄1預期比薩支出會增加β3。 • 例: 隨著一個人年齡的增長，他們對於比薩的邊際偏好會減少。這是一個所得的影響決定於年齡的例子 AGE × Y PIZZA=β1+β2AGE+β3Y+β4(AGE×Y) +e

E(PIZZA) AGE • =β2+β4 Y AGE的影響取決於所得。 • =β3+β4 Age • 受到所得影響下預期比薩的支出，則決定於AGE。 E(PIZZA) Y

下列兩條式子有何不同 • Pizza=342.8848***-7.5756***AGE+0.0024***Y • Pizza=161.4654-2.9774AGE+0.0091**Y-0.00016**(Y×AGE) • AGE 本身不再是個顯著的解釋因素。 • 這表示AGE會透過與所得的互動來影響比薩的支出---也就是它會影響比薩的邊際支出傾向估計 AGE 的邊際影響

異質變異（Heteroskedasticity） 問題: 放寬這個假設: 然後我們稱這樣的情形為異質變異在使用橫斷面換資料（cross-sectional data）時常會遇到變異數不同或質變異性，這樣的情形也同樣會發生在時間序列資料（time-series data）。

異質變異對最小平方估計式的影響 • 最小平方估計式仍然是線性且不偏的估計式，但它不再是最佳線性不偏估計式(BLUE)。 • 通常以最小平方估計式所計算出的標準誤是不正確的。使用這些不正確的標準誤會誤導假設檢定。

檢測異質變異性 • 1.殘差圖（Residual Plots） • 如果誤差是同質變異的，在殘差裡不應該會有任何種類的類型（patterns）。 • 然而，當我們有一個以上的解釋變數時，估計的最小平方函數不容易被畫在一張圖上。 • 我們可以做的是畫出最小平方殘差相對於各解釋變數的圖。

2. The Goldfeld-Quandt 檢定 • H0: homoskedasticity • a. 將樣本分為大小大約相等的兩個子樣本。若我們相信變異數與 Xt 有關，則應根據Xt 大小將觀察值分為兩類。 • b. 計算每個子樣本的估計誤差變異數及。若兩個樣本之變異數相同的虛無假設不是真的, 那麼預期會很大。

c. 計算 GQ= • 若 GQ＞Fc (T1-K, T2-K) • 拒絕變異數相同的虛無假設 • 若樣本一分為二, 則T1=T2=T /2。

經由模型轉換的一般化最小平方 (1) i=1,…,13 • 一般化最小平方 (2) i=14,…,26 , for i=1,…13 , for i=14,…,26

, 然後計算 , • ∴ 估計 LSE (1)(2) 可得到 , 其中 σj不是 σ1就是 σ2 , 決定於選取的那一半觀察值。然後應用最小平方在轉換整個變數檢定變異數假設

自我相關（ Autocorrelation） • 橫斷面資料（Cross-section data）:隨機樣本誤差項彼此間互不相關。 • 時間序列資料（Time-series data）: 相鄰發生的誤差是有可能會彼此相關。 • 當相鄰發生的誤差項互為相關時，稱為自我相關（autocorrelation）。

for t≠ s 自我相關 for t≠ s but if 例: R2=0.706 (0.169) (0.111) (SE) 從課本的表和圖中可知:負的殘差值傾向於跟隨負的殘差值，而正的殘差值則傾向於跟隨正的殘差值。

一階自我迴歸誤差 • 一階自我迴歸模型 AR(1) for t≠ s 若ρ 由前一期帶到下一期的影響越大，衝擊擴散的速度也越慢。 AR(1) 誤差的統計性質 (1)-1＜ρ＜1，若＞1 Then will ∞ , as t ∞ (2)E(et )=0 et也是同質變異的，因為σe2不隨時間而改變。 (3)

k＞0 因為＜1 ∴ As t ∞ • (4)

對最小平方估計式的影響 • 一個具有自我相關的方程式，若是忽略或沒有察覺到這一點，就會發生下列情形： • 最小平方估計式仍然是線性不偏估計式，但它不再是最佳的。 • 最小平方估計式的標準誤不再是正確的使用這些標準誤會誤導假設檢定。

一般化最小平方（GLS）會比最小平方提供給我們一個更窄、可透露多資訊的信賴區間。一般化最小平方（GLS）會比最小平方提供給我們一個更窄、可透露多資訊的信賴區間。

只計算 (T-1)個變數，忽略第一個觀察值≠>不偏 • 估計 ρ • 轉換第一個觀察值先估然後重新估計 β0,β1 => 在考慮 AR下。

自我相關的檢定 H0:ρ= 0，H1:ρ> 0 • Durbin Watson 檢定 • The Bound Test dLc < d < dUc 若 d < dLc拒絕 H0: ρ= 0 ，接受 H1:ρ> 0 若 d > dUc 無法拒絕 H0: ρ= 0 若 dLc < d < dUc這個檢定是不具決定性的。 T=34 (觀察值個數) K=2(參數個數) β0、β1

Lagrange 乘數檢定 (Lagrange Mulitipler Test) • H0: ρ= 0 ， H1:ρ≠0 • 若 DW 檢定與 LM 檢定不一致時？ • DW 檢定導致型I錯誤。 • LM 檢定導致型II錯誤。

注意: 1.Yt=β0+β1X1+ρet-1+νt，但 t=1,……,T e0=? (1)設定 e0=0 (2)忽略 e0 2.DW 檢定在有限樣本的情況下較精確。 LM 檢定適用在近似於大樣本的情況下。 3.若其中一個解釋變數為延遲變數Yt-1，則不適合用DW檢定。但LW檢定仍然可以用在這種情形之下。 4.在越多時間延遲的情況下，更適合用LM檢定。

用AR(1)誤差做預測 • YT+1=β0+β1XT+1+eT+1 • YT+1=β0+β1XT+1+ρeT+νT+1 + 若我們假設 XT+h=value 則我們就可以預測 h 期!

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