Grenzen des Computereinsatzes oder

Grenzen des Computereinsatzes oder Bad news aus der Computerwelt Lutz Voelkel, Institut für Mathematik und Informatik der Universität Greifswald (Der zweite Titel ist nicht von mir – er stammt aus dem Untertitel des Buches von Harel, siehe Folie 4) Gliederung: 1. Einführung (Folien 2 – 5) 2. Allgemeine Probleme (Folie 6) 3. Betrachtungen zur Komplexität und Effizienz (Folien 7 – 30) 3.1. Beispiel 2: Das Affenpuzzle (Folien 10 – 27) 3.2. Ausblick auf das P-NP-Problem (Folien 28 – 30) 4. Schlußbemerkungen (Folie 31) Anhang 1: Ausblick auf die Kryptologie (Folien 32 – 33) Anhang 2: Mehr zum Sudoku-Spiel (Beispiel 3; Folien 34 – 40) 24-Stunden-Vorlesung 2006 revidiert: Grenzen des Computereinsatzes

1. Einführung In dem schönen Buch „Was ist Informatik?“ schreibt Peter Rechenberg im Abschnitt „Informatik als Schulfach?“ (Nr. 12.6, S. 292 in der 3. Auflage): „Eine wünschenswerte Auswirkung der Beschäftigung mit Computern und Informatik in der Schule *) scheint mir vor allem in vier Dingen zu liegen: – In der Einübung des algorithmischen Denkens, – in der Verwendung des Computers zur Simulation (als ausführbares Gedankenexperiment in den verschiedensten Fächern, das Einsichten vermittelt, die sich auf keine andere Weise vermitteln lassen), – in der Erlernung der Ausnutzung von Standardprogrammen wie Textverarbeitung und Tabellenkalkulation und – in derBeseitigung derComputermystik: Wenn jeder Mensch schon in seiner Jugend erfährt, wie Computer im Prinzip arbeiten und daß sie nichts als komplizierte Maschinen sind, daß sie nicht denken können und keine Aura des Geheimnisses sie umgibt, dann wäre viel Aufklärungsarbeit geleistet. ______________________ *) : auch (noch) zutreffend für die Hochschule! L.V. 24-Stunden-Vorlesung 2006 revidiert: Grenzen des Computereinsatzes

Auf den ersten (algorithmisches Denken) und dritten Punkt (Standardprogramme) wird hier nicht weiter eingegangen. Für den zweiten Punkt (Computersimulationen) ist folgendes zu beachten. Voraussetzung dafür, daß ein Problem aus irgendeinem Anwendungsgebiet überhaupt erfolgreich durch den Einsatz von Computern bearbeitet werden kann, ist die Existenz eines mathematischen Modells für das Gebiet bzw. das spezielle Problem. Die Erstellung eines solchen Modells ist oft das größte Hindernis für den Computereinsatz. In den folgenden Betrachtungen wird aber auf solche „Modellierungsfragen“ gar nicht mehr eingegangen. Demgegenüber hat es den Anschein, daß die Aufklärungsarbeit zur Beseitigung derComputermystik (vierter Punkt) bisher immer noch erst zu einem recht geringen Teil geleistet worden ist. Gestützt wird dies durch die Zitate auf den beiden nächsten Seiten, und ich bin sicher, daß man ähnliche Aussagen auch aus den Jahren 2000 bis 2005/6 finden dürfte. 24-Stunden-Vorlesung 2006 revidiert: Grenzen des Computereinsatzes

Die Hauptquelle für diesen Vortrag ist das lesenswerte Buch D. Harel: „Das Affenpuzzle und weitere bad news aus der Computerwelt“ Springer 2002, 207 Seiten, 19,95 Euro; ISBN 3-540-42307-9. Originalausgabe:Computers Ltd. What They Really Can't Do. Oxford University Press 2000; 22,50 €; 240 Seiten, ISBN 0-19-850555-8; Taschenbuch: 2003; 14,95 €, 222 Seiten, ISBN 0-19-860442-4. Zitat aus dem Vorwort: 1984 brachte das TIME-Magazin eine Titelgeschichte über Computersoftware. In dem (sonst) ausgezeichneten Artikel wurde der Herausgeber einer Software-Zeitschrift zitiert: Geben Sie einem Computer die richtige Software, und er wird tun, was immer Sie wünschen. Die Maschine selbst mag ihre Grenzen haben, doch für die Möglichkeiten von Software gibt es keine Grenzen. Das ist falsch. Vollkommen falsch. 24-Stunden-Vorlesung 2006 revidiert: Grenzen des Computereinsatzes

Deutsches Analogon zu Harels „Aufhänger“; aus„Spiegel Special“, Heft 3/1995 (Abenteuer Computer), Beitrag „Problemdesign” (von Peter Glaser); Seite 3, unter „Spots“. Danny Hillis, Gründer der Supercomputer-Firma Thinking Machines in Cambridge (US-Staat Massachusetts), hatte eine bemerkenswerte Vision. In der von ihm gebauten Connection Machine führt die Zusammenarbeit einiger zehntausend herkömmlicher Mikroprozessoren zu einer nach heutigen Maßstäben atemberaubenden Rechenleistung („massiv parallel“). Es sei bereits heute technisch machbar, sagt Hillis, eine tausendmal größere Connection Machine zu bauen. Sie wäre wuchtig wie ein Haus, aber Eniac, der erste Röhrenrechner von 1946, hatte auch eine Grundfläche von 140 Quadratmetern. Das eigentliche Problem sind die Probleme. Sämtliche derzeit computergerecht formulierten Probleme wären angesichts der Leistungsfähigkeit einer solchen Maschine trivial. Man könnte mit Urknallsimulationen spielen und wäre immer noch beschämt über die brachliegenden Ressourcen. ... Auch dafür gilt: Das ist falsch. Vollkommen falsch. 24-Stunden-Vorlesung 2006 revidiert: Grenzen des Computereinsatzes

2. Allgemeine Probleme In beiden Fällen haben die Journalisten gröblichst die Komplexität von Problemen unterschätzt! Beim Problemlösen mit dem Computer muß man immer auf folgende „Unglücksfälle“ bzw. „Widrigkeiten“ gefaßt sein: A. Nicht jedes Problem, das formuliert werden kann, ist auch „effektiv“ (durch einen Algorithmus bzw. ein Programm) lösbar. Darauf wird hier nicht weiter eingegangen; mehr findet sich bei Harel in Kapitel 2: „Manchmal können wir es nicht”. B. Nicht jedes effektiv lösbare Problem kann auch „effizient“, d.h. mit vertretbarem Aufwand an Rechenzeit und Speicherplatz gelöst werden. Darauf kommen wir gleich zurück! C. Die Software-Produktion ist ein sehr komplexer Prozeß, der längst noch nicht so gut beherrscht wird wie die „klassischen“ Ingenieursdisziplinen. Dies ist Gegenstand der Softwaretechnik (Software Engineering), einer Kerndisziplin der Praktischen Informatik. Als Einstieg in diese sei ein schöner Vortrag von JochenLudewig aus Stuttgart erwähnt. 24-Stunden-Vorlesung 2006 revidiert: Grenzen des Computereinsatzes

3. Betrachtungen zur Komplexität und Effizienz Nun konzentrieren wir uns auf die Rechenzeit als Maß der Effizienz und gehenvon einemhypothetischen Computer aus, der seine Grundoperationen in jeweils einer Mikrosekunde bewältigt. Die folgende Übersicht zeigt die Zeiten, die dieser Computer für vier Algorithmen mit unterschiedlichen Zeitkomplexitätsfunktionen bei Eingaben verschiedener Größen (n = 10, 20, 30, 40, 50, 60) benötigt. Die Funktionen seien Tlin(n) = n, Tquad(n) = n2, Tkub(n) = n3, Texp(n) = 2n . Komplexitäts- | Rechenzeit für die Eingabegröße n = …, meist in Sekunden Funktion | 10 20 30 40 50 60 Tlin0,00001 0,00002 0,00003 0,00004 0,00005 0,00006 Tquad0,0001 0,0004 0,0009 0,0016 0,0025 0,0036 Tkub0,001 0,008 0,027 0,064 0,125 0,216 Texp0,001 1 Sek. 17,9Min. 12,7 Tage 35,7 Jahre 36533Jahre (Quelle – auch für die folgende Seite): Garey, M.; Johnson D.: Computers and Intractability. A Guide to the Theory of NP-Completeness. San Francisco, 1979, S.7/8 24-Stunden-Vorlesung 2006 revidiert: Grenzen des Computereinsatzes

Möglicher Einwand: „Eine Mikrosekunde ist doch viel zu viel – eine verbesserte Rechnertechnologie führt sicher zu einem großen Zeitgewinn!“ Aber: Maximale Größe für Eingaben, die noch in einer Stunde bearbeitet werden können Angenomm. Wert für den „guten alten“ Computer: Nlin Nquad Nkub Nexp Wert für einen hundertmal schnelleren Computer: 100 *Nlin 10 *Nqua 4,64 *Nkub Wert für einen tausendmal schnelleren Computer: 1000 *Nlin 31,6 *Nquad 10 *Nkub Komple- xitäts- funktion: Tlin Tquad Tkub Texp Nexp+6,64 Nexp+9,97. Für den auf der vorigen Folie beschriebenen Computer gilt z.B. Tkub(50) = 0,125 s ==> Nkub = 1 440 000 (8*50*3600)), aber Texp(30) = 17,9 Min. ==> Nexp~32. Bei dem Algorithmus mit expontieller Komplexität kommt also  der hundertmal schnellere Computer in einer Stunde nur knapp bis zur Größe 39,  der tausendmal schnellere nur bis etwa 42 – wahrlich kein großer Zugewinn ! 24-Stunden-Vorlesung 2006 revidiert: Grenzen des Computereinsatzes

Hieran erkennt man leicht, daß zwischen den drei ersten Algorithmen, deren Schrittzahl jeweils polynomiell ist (d.h. durch ein Polynom in der Größe der Eingaben beschränkt wird), und dem vierten, dessen Schrittzahl exponentiell wächst, ein gewaltiger Qualitätsunterschied besteht. Es gibt zahlreiche Probleme, von denen bekannt ist, daß es für sie keinen Lösungsalgorithmus gibt, dessen Schrittzahl schwächer als exponentiell wächst. Mehr bei Harel, Kapitel 3: „Manchmal ist es zu teuer“. Beispiel 1:Die Türme von Hanoi– in der Literatur und im WWW vielfach behandelt ! Auf der anderen Seite gibt es eine Vielzahl von Problemen aus den verschiedensten Anwendungsgebieten, von denen man (immer noch!) nicht weiß, ob sie polynomielllösbar sind. Mehr bei Harel, Kapitel 4: „Manchmal wissen wir es nicht“. Beispiel 2: „Affenpuzzle” – kommt gleich (ab Folie 10), Beispiel 3: „Sudoku” – kann „bei Bedarf“ noch kurz vorgestellt werden (Folien 34 – 40 im Anhang 2). 24-Stunden-Vorlesung 2006 revidiert: Grenzen des Computereinsatzes

3.1. Das Affenpuzzle (1) – hier als „Schweineknobelei“ mit 3´3 Karten 24-Stunden-Vorlesung 2006 revidiert: Grenzen des Computereinsatzes

Das Affenpuzzle (2) – allgemeine Beschreibung Das Spiel besteht aus einer Anzahl von quadratischen Karten mit Mustern an allen vier Kanten. Die Anzahl ist eine Quadratzahl (n2 = 4, 9, 16, ...). Jedes Muster ist eines von je vier vorgegebenen Vorder- und Hinterteilen, z.B. von Affen– wie im Buch von Harel, daher stammt der (deutsche) Titel des Buches. Hexen1), Hunde, Katzen, Schildkröten- oder Schweine (hier verwendet!) sind ebenfalls in gegenständlichen Realisierungen dieses Spielesmit n = 9 zu finden. [Auch P f e i le(áTitel des Buches „Algorithmik“) kommen vor!] 2) __________________________________________________________ Ziel des Spieles ist es, zu überprüfen, ob die Karten so zusammengelegt werden können, daß immer das Vorder- und das Hinterteil benachbarter Karten zusammenpassen. Ist das der Fall, so soll eine solche „zulässige“ Anordnung auch angegeben werden. Die Reihenfolge, in der die Karten angelegt werden dürfen, ist beliebig. Jede Karte kann überdies noch (um 90°, 180° oder 270°) gedreht werden. __________________________________________________________________________________________ 1)Unter „http://www.lsdonline.de/autoren/tube/hexenspiel.htm“ ist eine sehr schöne Beschreibung zum Hexenspiel zu finden, auch ein Simulator dazu. 2) Nachtrag zum Vortrag: áFolie 30! 24-Stunden-Vorlesung 2006 revidiert: Grenzen des Computereinsatzes

Das Affenpuzzle (3) – Fortsetzung der Beschreibung Mit eine kleinen Kartenanzahl und einem spezielles Muster kann ein gewiefter Knobler recht schnell zu einer Lösung kommen. Eine auch für „ernsthafte“ Anwendungen wichtige Strategie ist als „Backtracking“ bekannt. Dabei muß man die erreichten „Konfigurationen“, hier also die bisher erreichten zulässigen Teil-Anordnungen von Karten abspeichern. Wenn sich im weiteren Verlauf herausstellt, daß eine Konfiguration nicht zu einer zulässigen Gesamt-Anordnung aller Karten fortgesetzt werden kann, so muß man einige Schritte zurückgehen. Im schlimmsten Fall kann das einen ganz neuen Spielbeginn zur Folge haben. Die folgenden Seiten illustrieren das, wobei wir hier mit nur einem „Rückschritt“ auskommen – danach kommt bald das „happy end“. 24-Stunden-Vorlesung 2006 revidiert: Grenzen des Computereinsatzes

Hier liegt schon eine Lösung für das (2 ´2)-Teilproblem vor; fünf Karten sind noch anzuordnen. 24-Stunden-Vorlesung 2006 revidiert: Grenzen des Computereinsatzes

1. • Diese Karte, um 90° im Uhrzeigersinn gedreht, soll rechts oben angefügt werden. 24-Stunden-Vorlesung 2006 revidiert: Grenzen des Computereinsatzes

Das ist aber eine „Sackgasse“; denn es gibt keine Karte mit je einem „Frischlings-“Vorder- und -Hinterteil. Also einen Schritt zurück ! 24-Stunden-Vorlesung 2006 revidiert: Grenzen des Computereinsatzes

Wir wählen zum Ansetzen an diese Position nun die Karte (2) von rechts oben, die aber noch um 90° gegen den Uhrzeigersinn zu drehen ist. 2 24-Stunden-Vorlesung 2006 revidiert: Grenzen des Computereinsatzes

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Hierher paßt nun offenbar Karte 3 von links unten, um 90° im Uhrzeigersinn gedreht 3 24-Stunden-Vorlesung 2006 revidiert: Grenzen des Computereinsatzes

Jetzt kann auch die letzte Reihe noch aufgefüllt werden. 24-Stunden-Vorlesung 2006 revidiert: Grenzen des Computereinsatzes

4. 24-Stunden-Vorlesung 2006 revidiert: Grenzen des Computereinsatzes

Zu dieser (3x3)-Schweineknobelei ist somit eine … …Lösung gefunden! 24-Stunden-Vorlesung 2006 revidiert: Grenzen des Computereinsatzes

Das allgemeine Problem dagegen ist außerordentlich komplex ! Die Ursache dafür liegt nicht etwa an der Schwierigkeit, die Zulässigkeit einer vorliegenden Anordnung zu überprüfen. Das geht sogar recht einfach – man muß dazu nur höchstens alle vorhandenen Grenzen zwischen benachbarten Karten auf Übereinstimmung testen. Es ist leicht zu sehen, daß dazu in einem (n ´ n)-Spiel gerade 2n(n-1) solche Tests auszuführen sind. Hier sei es am Beispiel der Schweineknobelei demonstriert: 24-Stunden-Vorlesung 2006 revidiert: Grenzen des Computereinsatzes

1 2 7 8 9 3 4 10 12 11 5 6 24-Stunden-Vorlesung 2006 revidiert: Grenzen des Computereinsatzes

Der hohe Zeitaufwand aller bisher bekannten Lösungen des Problems liegt vielmehr darin, daß noch keine wesentlich bessere Strategie bekannt ist, als die „brutale“, bei der alle möglichen Anordnungen der n2 Karten des allgemeinen (n ´ n)-Affenpuzzlesauf ihre Zulässigkeit untersucht werden. Das sind aber wahrlich nicht wenige: Die Anzahl aller Anordnungen ergibt sich durch den Ausdruck n2! ´ 4n2-1, dessen Wert mit wachsendem n ungeheuer schnell zunimmt. Schon in dem doch sehr übersichtlichen Fall n = 2 erhält man 4! ´ 43 = 24´64 = 1 536. 24-Stunden-Vorlesung 2006 revidiert: Grenzen des Computereinsatzes

Für n = 3, also auch für die Schweineknobelei, sind das schon 23 781 703 680; unser „1msComputer“ von Folie 5 müßte 6:36 Stunden rechnen, um alle diese Kombinationen zu erzeugen. n = 4 führt zu der „Wahnsinnszahl“ 22 465 674 577 509 875 712 000, das würde den Computer knapp 712 Millionen Jahre beschäftigen. DerFall n = 5 (auch von Harel behandelt) würde das Testen von 4,366 ´ 1039 Anordnungen erfordern; daraus ergäbe sich eine Rechenzeit von 3,46 ´ 1025 Jahren. Dazu bemerkt Harel: „Und denken Sie bitte daran, daß der Urknall gerade mal 12 bis 15 Milliarden Jahre her ist …“ 24-Stunden-Vorlesung 2006 revidiert: Grenzen des Computereinsatzes

3.2.Ausblick auf das P-NP-Problem Seit gut 30 Jahren sind zahlreiche (über 1000) Probleme bekannt, die aus verschiedenen Anwendungsgebieten stammen und alle mit dem Affenpuzzle folgendes gemeinsam haben. Zu jeder Eingabe lassen sich einerseits auf effiziente Weise(d.h. polynomiell in der Eingabegröße!) „Lösungskandidaten“ erzeugen. Andererseits kann man für jeden dieser Kandidaten auf effiziente Weiseentscheiden, ob ertatsächlich eine Lösung liefert. Dabei wächst die Anzahl aller möglichen Kandidaten aber leider mindestens exponentiell mit der Eingabegröße an. Die naheliegende Strategie, alleLösungskandidaten nacheinander zu überprüfen, führt somit zu einer exponentiellen Schrittzahl . 24-Stunden-Vorlesung 2006 revidiert: Grenzen des Computereinsatzes

Die schlechte Nachricht dazu: Man weiß man von keinem dieser Probleme, ob es dafür überhaupt ein polynomielles Lösungsverfahren gibt. Diese Ungewißheit wird im wesentlichen ausgedrückt durch das P-NP-Problem, das seit 1971 bekannt und immer noch ungelöst ist. Es ist eines von sieben berühmten „Millenniums-Problemen“, für deren Lösung im Jahr 2000 anläßlich des hundertsten Jahrestages der Vorstellung der HilbertschenProbleme ein Preis von jeweils einer Million Dollar . ausgeschrieben wurde. Nähere Informationen dazu im WWW: http://www.claymath.org/millennium/P_vs_NP/ 24-Stunden-Vorlesung 2006 revidiert: Grenzen des Computereinsatzes

Interessant ist die folgende Tatsache: Wenn es gelingt, auch nur für ein einziges der auf Folie 28 erwähnten Probleme, z. B. das Affenpuzzle, ein polynomielles Lösungsverfahren zu finden, so kommt man dann auch für alle anderen dieser Probleme zu polynomiellen Lösungsalgorithmen. Für diese Probleme hat sich die Bezeichnung „NP-vollständig“ eingebürgert, ihr Studium hat sich zu einem Kerngebiet der Theoretischen Informatik entwickelt Noch aber winkt die Million denjenigen, die zuerst für ein NP-vollständigesProblem entweder einen polynomiellen Algorithmuskonstruieren oder aber beweisen können, daß ein solcher nicht existiert. ============================================ 24-Stunden-Vorlesung 2006 revidiert: Grenzen des Computereinsatzes

Zur Fußnote 2) von Folie 9: Für das Verständnis dieser Animation ist es hilfreich, die Erzählung „Die Kuh im Propeller“ von M. Sostschenko zu kennen, am besten aus dem Vortrag von Manfred Krug auf der „Kult“-Platte bzw. -CD „Jazz – Lyrik – Prosa“: „Aauch Pfeeeerde …“ Weitere Verweise Verlags-Webseiten: zum Buch „Algorithmik“ von Uwe Schöning, zum Buch „Was ist Informatik“ von Peter Rechenberg, zum Buch „Das Affenpuzzle“; Webseite des Autors David Harel ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ende des „offiziellen“ Teiles ! 24-Stunden-Vorlesung 2006 revidiert: Grenzen des Computereinsatzes

Anhang 1 Aus dem Affenpuzzle,Kapitel 6: Schlechtes in Gutes verwandeln „Der modernen Kryptologie kommt in Hinblick auf dieses Buch eine besondere Bedeutung zu ... Sie nutzt nämlich geistreich und unverfroren die schlechten Nachrichten der Berechenbarkeitstheorie aus! Dies ist überraschend.“ Eine wichtige Rolle spielen dabei die sogenannten Einwegfunktionen. Eine solche Funktion sollte leicht (d.h. polynomiell) zu berechnen sein und außerdem eine Umkehrfunktion besitzen, für die aber kein polynomieller Algorithmus existieren bzw. bekannt sein darf. 24-Stunden-Vorlesung 2006 revidiert: Grenzen des Computereinsatzes

Im Rahmen der „Public-Key-Krptographie” können dann die Korrespondenzpartner Alice und Bob... ihre so verschlüsselten Botschaften weitgehend unbesorgt austauschen. Eine dritte Person, die ihren Dialog unbefugt mitverfolgen möchte, ... sollte nicht in der Lage sein, das mit vertretbarem Aufwand zu tun! ======================================================= Das „Alice-Bob-Erich-Schema“ stammt aus dem Buch „Complexity Theory and Cryptology. An Introduction to Cryptocomplexity.“vonJörg Rothe, Springer2005, ISBN: 3-540-22147-6. Webseiten zum Buch: Verlag und Autor . Einen guten Einstieg in die Kryptologie ermöglicht das Buch „Geheime Botschaften. Die Kunst der Verschlüsselung von der Antike bis in die Zeiten des Internet“ von Simon Singh; DTV 2002; ISBN 3-423-33071-6. 24-Stunden-Vorlesung 2006 revidiert: Grenzen des Computereinsatzes

Anhang 2 Zum Sudoku-Spiel (1): Allgemeine Beschreibung (von der Webseite „SudokuMania”) Sudoku (japan.: Su=Ziffer, Doku=einzeln) ist ein Zahlenpuzzle. Das Puzzlefeld besteht aus einem Quadrat, das in 3 ´ 3 Unterquadrate eingeteilt ist. Jedes Unterquadrat ist wieder in 3 ´ 3 Felder eingeteilt, so dass das Gesamtquadrat also 81 Felder (= 9 ´ 9 Felder) besitzt. In einige dieser Felder sind zu Beginn die Ziffern 1 bis 9 eingetragen. Je nach Schwierigkeitsgrad sind 22 bis 36 Felder von 81 möglichen vorgegeben. Das Puzzle muss nun so vervollständigt werden, dass in jeder Zeile, in jeder Spalte und in jedem der neun Unter- quadrate jede Ziffer von 1 bis 9 genau einmal auftritt. ------------------------------------------------------------------------------------ Eine Vervollständigung, die diese Bedingungen erfüllt, wird im folgenden eine „zulässige Belegung” genannt. 24-Stunden-Vorlesung 2006 revidiert: Grenzen des Computereinsatzes

Zum Sudoku-Spiel (2): Fortsetzung der Beschreibung Ursprung: Das Rätselspiel wurde unter dem Namen Carré latin vom Schweizer Mathematiker Leonhard Euler im 18. Jahrhundert erfunden. Seinen Durchbruch erlangte das Sudoku jedoch erst, als die japanische Zeitschrift Nikoli solche Rätsel regelmäßig abdruckte. Zu diesem Zeitpunkt erhielt das Zahlenrätsel seinen heutigen Namen. Diese Rätselart ist seit 2005 über die britische Zeitschrift "The Times" auch in Europa populär geworden und gehört inzwischen zum Standard von vielen Rätselseiten in Zeitungen. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Wird dieses Spiel auf (n2 ´n2)-Feldermit n2 „Ziffern“ verallgemeinert, so erweist sich das Problem, zu entscheiden, ob eine vorgegebene Anfangsbelegung zu einer zuläsigen Belegung erweitert werden kann, ebenfalls als NP-vollständig – wie das Affenpuzzle. Näheres dazu ist in der Präsentation „FoSemPraes4neu.ppt “ zu finden. 24-Stunden-Vorlesung 2006 revidiert: Grenzen des Computereinsatzes

Zum Sudoku-Spiel (3): Beispiel – Feld mit 24 Anfangswerten. Mit der „brutalen“ Strategie müßte man hier im schlimmsten Fall alle „Belegungen“ der 57 (= 81-24) freien Felder mit den Werten 1, 2, ..., 9 durchgehen und auf ihre Zulässigkeit testen. Die Anzahl aller Belegungen ist leider aber „recht groß“: \S 1 2 3|4 5 6 7 8 9 Z ------------------ 1 |9 8|2 5 | | 2 | 2 5| | 1| 3 | 6 |7 | | 4 | |8 2 |6 | 5 | |6 | 3 | 6 | | |9 5 8| 7 | 3 | 1 | 7| 8 | | 8| | 9 |5 7 6||| 957 (= 9 ´ 9 ´ ... ´ 9) > 2,4 ´ 1054 (!!) (Hier könnte man noch – wie beim Affenpuzzle – mit Überlegungen über die Zeit, in der man eine Belegung erzeugen und testen kann, den gesamten Zeitaufwand schätzen!) 24-Stunden-Vorlesung 2006 revidiert: Grenzen des Computereinsatzes

Zum Sudoku-Spiel (4): Beispielfortsetzung Ein spielender Mensch wird aber mit sorgfältigen Analysen der jeweiligen Belegungen weit schneller an das Ziel gelangen, eine zulässige Belegung zu finden – falls eine solche überhaupt existiert. \S 1 2 3|4 5 6 7 8 9 Z ------------------ 1 |9 # 8|2 5 | | 2 |7 2 5| | 1| 3 |# 6 #|7 | | 4 | |8 2 |6 | 5 | |6 | 3 | 6 | | |9 5 8| 7 | 3 | 1 | 7| 8 | | 8| | 9 |5 7 6| | | Als erstes kann z.B. das (schon fünffach bestückte) linke obere Teilquadrat untersucht werden: |9 8| | 2 5| | 6 | 7 Durch Ausschluß der dritten Zeile (s.o) und auch der mittleren Spalte zeigt sich, daß die dort noch fehlende Sieben in eindeutiger Weise eingetragen werden kann. 24-Stunden-Vorlesung 2006 revidiert: Grenzen des Computereinsatzes

Zum Sudoku-Spiel (5): Beispielfortsetzung Von diesem Zwischenresultat … \S 1 2 3|4 5 6 7 8 9 Z ------------------ 1 |9 8|2 5 | | 2 |7 2 5| | 1| 3 | 6 |7 | | 4 | |8 2 |6 | 5 | |6 | 3 | 6 | | |9 5 8| 7 | 3 | 1 | 7| 8 | | 8| | 9 |5 7 6| | | \S 1 2 3|4 5 6 7 8 9 Z ------------------ 1 |9 8|2 5 | | 2 |7 2 5| | 1| 3 |6 |7 | | 4 |###|8 2 |6 | 5 |###|6 | 3 | 6 |6##| |9 5 8| 7 | 3 | 1 | 7| 8 | | 8| | 9 |5 76| | | ===> ... kommt man (überraschenderweise!) einen Schritt weiter, wenn man das leere Teilquadrat links in der Mitte daraufhin untersucht, wo dort die Sechs eingetragen werden könnte: 24-Stunden-Vorlesung 2006 revidiert: Grenzen des Computereinsatzes

Zum Sudoku-Spiel (6): Beispielfortsetzung Von dieser Belegung, in der nun schon 26 Felder besetzt sind,… \S 1 2 3|4 5 6 7 8 9 Z ------------------ 1 |9 8|2 5 | | 2 |7 2 5| | 1| 3 |6 |7 | | 4 | |8 2 |6 | 5 ||6 | 3 | 6 |6| |9 5 8| 7 | 3 | 1 | 7| 8 | | 8| | 9 |5 76| | | \S|1 2 3|4 5 6|7 8 9| Z ------------------| 1 |9 8|2 5 | | 2 |7 2 5| 6 | 1| 3 | 6 3|7 8 | | 4 |35 |8 2 |6 | 5 |8|6 5| 3 | 6 |62| |9 5 8| 7 |8 3 4| 1 6| 7| 8 |2 9 1| 7 8| | 9 |5 7 6| 2| | kommt man mit 16 weiteren Schritten (die alle ein- deutig aus- führbar sind!) nach und nach zu ... dieser Belegung, in der immer- hin schon 42 (von 81) Zahlen anzutreffen sind. 24-Stunden-Vorlesung 2006 revidiert: Grenzen des Computereinsatzes

Zum Sudoku-Spiel (7): Beispielfortsetzung Für die fehlenden 39 Schritte ist zu beachten, daß in solchen Fällen, in denen mehrere Fortsetzungen möglich sind, vielleicht wieder ein „Backtracking” ausgeführt werden muß. Die weiteren Schritte auf der Suche nach einer voll- ständigen zulässigen Belegung, also zu einer Lösung unseres Sudoku, wollen wir nicht mehr im einzelnen darstellen. Wichtig ist aber: Unser Beispiel ist (glücklicherweise) lösbar ! \S 1 2 3|4 5 6 7 8 9 Z ------------------ 1 |9 1 8|2 5 4|3 7 6| 2 |72 5|9 6 3|8 4 1| 3 |4 6 3|7 8 1|5 2 9| 4 |3 5 7|8 2 9|6 1 4| 5 |1 8 9|6 4 5|7 3 2| 6 |6 4 2|1 3 7|9 5 8| 7 |8 3 4|5 1 6|2 9 7| 8 |2 9 1|3 7 8|4 6 5| 9 |5 7 6|4 9 2|1 8 3| 24-Stunden-Vorlesung 2006 revidiert: Grenzen des Computereinsatzes

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