Grenzen der Berechenbarkeit

1. Grenzen der Berechenbarkeit Erstellt von J. Rudolf, April 2001 j.rudolf@web.de www.rudolf-web.de

2. Fortschritte Die Fortschritte im Einsatz des Computers sind augenscheinlich 1946: ENIAC: Pro Sekunde 38 neunstellige Divisionen 1990: 30.000 mal schneller als 1950 Moores Law: Alle 18 Monate Verdoppelung der Rechner Leistung Sind dem Computer doch Grenzen gesetzt?

3. Grenzen Grenzen aus moral-politischen Gründen Medizinische Entscheidungen von Ärzten und nicht vom PC! Nicht alles ist formalisierbar und somit in die Sprache eines Computers übersetzbar! Können Computer Gedichte Schreiben? Sind Übersetzungen möglich? Praktische Grenzen der Berechenbarkeit Travelling-Salesman-Problem (TSP) Prinzipielle Grenzen

4. Formale Grenzen (1) Diktierprogramme wie ViaVoice müssen auf einen Sprecher trainiert werden, berücksichtigen Syntax und Grammatik, aber nicht den Sinn: Sprecher: Er isst eine leckere Gans. ViaVoice: Er ist eine leckere Gans. Übersetzungsprogramme wie Babelfish (www.babelfish.altavista.com ): M. Dietrich: „Ich bin von Kopf bis Fuß auf Liebe eingestellt.“ D->E: „Im adjusted, from heading to foot to love.“ E->D: „Ich werde, von der Überschrift auf Fuß auf Liebe justiert.“ ¾ werden „annähernd richtig übersetzt“

5. Formale Grenzen (2) Alan Turing (1950): „In 2000 können Computer Menschen über ihr Maschinen-Wesen täuschen“ Turing-Test: 5 Minuten unterhalten sich Versuchspersonen schriftlich mit einem unsichtbaren Gegenüber, dann entscheiden sie: „Mensch oder Rechner?“ Preis für das erste Programm: 100.000 Dollar! Probleme z. B. bei Fangfragen wie: „Welche Farbe hat mein blaues Auto?“ PC-Tricks z. B. von „Eliza“: „Können Sie das genauer ausführen?“ (www-ai.ijs.si/eliza/eliza.html )

6. Praktische Grenzen: TSP (1) Ein Handlungsreisender sucht die kürzeste Route zwischen n Städten. (Praxis: Müllabfuhr, Krankentransporte, Post, Bohren von Löchern in einer Platine, ...) Zeitbedarf: Bei n Städten gibt es 1*2* .. * n mögliche Routen: t(n) = n! n = 8 t(n) = 40320 (mit PC max. 1 Sek.) n = 15 t(n) = 1,3 * 1012 (Pentium 1 GHz: Tage) n = 69 t(n) = 1,7 * 1098 (alle Rechner im Universum rechnen bis ans Ende der Zeiten)

7. Praktische Grenzen: NP Bis heute gibt es keinen wesentlich schnelleren Algorithmus – das TSP ist praktisch unlösbar! Ein Algorithmus mit diesem Zeitaufwand wird in der theoretischen Informatik NP genannt. Ungelöstes Problem der Informatik: Gibt es für NP-Probleme schnellere Algorithmen (also z. B. mit quadratischem Zeitaufwand)? In der Praxis, z. B. um 10.000 Löcher in einer Platine zu bohren, behilft man sich mit Näherungslösungen, die bis auf wenige Prozent an eine nicht aufzufindende beste Lösung heranreichen.

8. Prinzipielle Grenzen: „Entscheidbar“ Goldbach-Problem (1742): Ist jede gerade Zahl größer 2 als Summe zweier Primzahlen darstellbar? (z. B. 8 = 5 + 3, ...) Mathematik: Bis heute ungelöst Informatik: Für jede Zahl n lösbar: Für k von 2 bis n: Wenn k und (n-k) prim Dann „Ja“ Sonst „Nein“ Wir nennen solch ein Problem „entscheidbar“, da nach endlich vielen Schritten feststeht, ob die Eigenschaft zutrifft oder nicht.

9. Prinzipielle Grenzen: „Partiell Entscheidbar“ Wundersame Zahlen (Collatz-Folge): Start bei n Wenn n ungerade: 3*n+1 ...; Wenn n gerade: n/2 ... Wundersam: Folge endet bei 1! Bsp.: 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, also ist die 3 wundersam Wenn eine Zahl wundersam ist, so bekommen wir das heraus, die Folge endet ja auf 1. Bis heute fehlt aber der Nachweis, wann eine Zahl nicht wundersam ist – da die Folge dann nicht aufhört. Wir nennen solch ein Problem „partiell entscheidbar“: Nach endlich vielen Schritten steht nicht fest, ob die Eigenschaft nicht zutrifft.

10. Prinzipielle Grenzen: „Unentscheidbar“ Satz: Es gibt unentscheidbare Probleme (die zwar partiell entscheidbar, aber nicht entscheidbar sind)! Beispiel: Ein Halte-Programm für DELPHI-Programme (prüft, wann ein Programm in eine Endlosschleife gerät) Wenn das DELPHI-Programm anhält: ok Wenn nicht: Vielleicht hält es gleich / morgen / ... an? Weiteres Beispiel: Game of Life (Conway), z. B: www.univie.ac.at/future.media/mo/galerie/modsim/modsim.html

11. Prinzipielle Grenzen: Hilbert - Gödel David Hilbert stellt 1928 drei Fragen? Ist die Mathematik vollständig? (d. h. jede Behauptung kann entweder bewiesen oder widerlegt werden) Ist die Mathematik widerspruchsfrei? Ist die Mathematik entscheidbar? Wir haben bisher die Antwort auf 3. gefunden: Nein! Aber der Mathematiker Gödel „verschlimmerte“ die Lage noch mit seinen beiden Sätzen: Zu 1. Es wird immer Probleme geben, die niemals werden bewiesen werden können! Zu. 2. Es ist unbeweisbar, dass die Mathematik widerspruchsfrei ist!(Es ist also möglich, dass z. B. 2+2=5 ist!)

12. Quellenangabe Baumann, Rüdeger: Informatik Band 2. Klett. Tügel, H.: „Bitte versteh mich doch“, in: Geo Wissen Nr. 27, S. 86 ff. Praktische Grenzen: members.tripod.de/InformatikLk/praktulprbl.htm Game of Life: www.univie.ac.at/future.media/mo/galerie/modsim/modsim.html Prinzip. Grenzen: www.zum.de/Faecher/Inf/Saar/material/grenzen/grenzen1.htm